旋转辅助线技巧培优练习.docx
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旋转辅助线技巧培优练习
旋转辅助线技巧培优练习
1.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证:
△AEM≌△ANM.
(2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.
2.如图,正方形ABCD中,E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,连接EF,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的分析思路.例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系.这可以证明结论“EF=BE+DF”,请补充辅助线的作法,并写出证明过程.
(1)延长CB到点G,使BG= ,连接AG;
(2)证明:
EF=BE+DF.
3.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,正方形A'B'C'O绕点O自由转动,设两个正方形重叠部分的面积为S1,正方形ABCD的面积为S2.
求证:
.
4.如图,在正方形ABCD内有一点P,PA=5,PB=
,PC=
,将△BPC绕点B逆时针旋转90°.
(1)画出旋转后的图形;
(2)求点C和点P′的距离.
5.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
6.阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
(2)基本运用
请你利用第
(1)题的解答思想方法,解答下面问题
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:
EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
7.已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.
(1)求证:
PB=QC;
(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的长度.
8.如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=
,PC=1,求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
①李明同学做了如图乙的辅助线,将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′,从而问题得到解决.你能说明其中理由并完成问题解答吗?
②如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,BP=
,PC=1;求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
9.下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.
(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
解:
将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP´B,连接PP´,则△APP´为等边三角形.
∵PP´=PA=3,PB=4,P´B=PC=5,
∴P´P2+PB2=P´B2.
∴△BPP′为 三角形.
∴∠APB的度数为 .
(2)类比延伸
如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系,并说明理由.
10.已知:
△ABC为等边三角形
(1)若D为△ABC外一点,满足∠CDB=30°,求证:
DC2+DB2=DA2.
(2)若D为△ABC内一点,DC=3,DB=4,DA=5,求∠CDB的度数
(3)若D为△ABC内一点,DA=4,DB=
,DC=
,则AB= (直接写出答案)
11.如图,在平行四边形OABC中,OA=OC=5,∠COA=60°将平行四边形OABC绕点A按顺时针方向旋转角a(0°<a<∠AOC)得到四边形FADE(点O的对应点为点F),EF与OC交于点G,连结AG.
(1)当OG=4时,求AG的长.
(2)求证:
GA平分∠OGE.
(3)连结BD,求证:
∠ABD=∠OGA.
12.如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°.
(1)求AB的长度;
(2)分别以AB、AO为一边作等边△ABE、△AOD,求证:
BD=EO;
(3)在
(2)的条件下,连接DE交AB于F,求证:
F为DE的中点.
13.如图
(1),△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,E是边AC上一点,以AE为对角线作正方形ADEF(点D在△ABC内部),连接BD,CD.
(1)求证:
BD=CD;
(2)若tan∠CDE=
,求
的值;
(3)如图
(2),延长BD交CF于点G,若AB=4,AD=
时,求BG的长.
14.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG
(1)如图1,当点E在BD上时求证:
FD=CD;
(2)当a为何值时,GC=GB?
画出图形,并说明理由.
附加题
如图2,四边形ABCD中∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y.求y与x之间的关系式.
15.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
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