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投资组合的标准差
两项资产投资组合的标准差的大小取决于三个因素:
在其他条件不变的情况下,相关系数与组合的标准差是同方向变动的,相关系数越大,组合的标准差越大,组合后剩余的风险程度就越大,说明风险分散化效果比较差。
所以,要分散非系统风险,选择股票组合时,尽可能选相关系数小的。
从理论上讲,当
=-1时,相关系数最小,组合的标准差最小,组合的风险分散化效果最好。
(三)β系数与资本资产定价模型
1.单项资产的β系数
2.资产组合的β系数
资产组合的β系数是所有单项资产β系数的加权平均数权数,权数为各种资产在资产组合中所占的价值比例。
其计算公式为:
3.资本资产定价模型(※)
该公式既可以计算单项资产的必要收益率,也可以计算投资组合的必要收益率。
证券市场线就是将资本资产定价模型放在直角坐标系中,这条直线反映的是必要收益率与β系数(系统性风险)的线性关系,自变量是β系数,因变量是必要收益率,斜
。
称作风险溢酬,风险溢酬越大,斜率就越大,证券市场线就越来越陡;
风险溢酬越小,斜率就越小,证券市场线就变得比较平滑。
风险溢酬的大小取决于整个市场上所有投资者的风险偏好程度,如果市场上所有的投资者都偏好风险,风险就得到很好的分散,风险程度就小,风险报酬率就低,证券市场线斜率就小。
(四)市场均衡
在资本资产定价模型的理论框架下,假设市场是均衡的,则资本资产定价模型还可以描述为:
预期收益率=必要收益率。
无风险资产的β系数等于0。
市场组合的β系数等于1。
二、例题
1.某企业拟进行股票投资,现有甲、乙两只股票可供选择,具体资料如下:
要求:
(1)分别计算甲、乙股票收益率的期望值、标准差和标准离差率,并比较其风险大小;
(2)如果无风险报酬率为4%,风险价值系数为8%,请分别计算甲、乙股票的必要投资收益率。
(3)假设投资者将全部资金按照60%和40%的比例分别投资购买甲、乙股票构成投资组合,已知甲、乙股票的β系数分别为1.4和1.8,市场组合的收益率为10%,无风险收益率为4%,请计算投资组合的β系数和组合的风险收益率;
(4)根据资本资产定价模型计算组合的必要收益率。
【答案】
(1)甲、乙股票收益率的期望值、标准差和标准离差率:
甲股票收益率的期望值=0.3×
60%+0.2×
40%+0.3×
20%+0.2×
(-10%)=30%
乙股票收益率的期望值=0.3×
50%+0.2×
30%+0.3×
10%+0.2×
(-15%)=21%
甲股票收益率的标准差=
=25.30%
乙股票收益率的标准差=
=23.75%
甲股票收益率的标准离差率=25.30%/30%=0.84
乙股票收益率的标准离差率=23.75%/21%=1.13
由于甲股票的标准离差率小于乙股票的标准离差率,所以,甲股票的风险小。
(2)甲、乙股票的必要投资收益率:
甲股票的必要投资收益率=4%+0.84×
8%=10.72%
乙股票的必要投资收益率=4%+1.13×
8%=13.04%
(3)投资组合的β系数和组合的风险收益率:
组合的β系数=60%×
1.4+40%×
1.8=1.56
组合的风险收益率=1.56×
(10%-4%)=9.36%。
(4)组合的必要收益率=4%+9.36%=13.36%。
2.已知甲股票的期望收益率为12%,收益率的标准差为16%;
乙股票的期望收益率为15%,收益率的标准差为18%。
市场组合的收益率为10%,市场组合的标准差为8%,无风险收益率为4%。
假设市场达到均衡。
(1)分别计算甲、乙股票的必要收益率;
(2)分别计算甲、乙股票的β值;
(3)分别计算甲、乙股票的收益率与市场组合收益率的相关系数;
(4)假设投资者将全部资金按照60%和40%的比例投资购买甲、乙股票构成投资组合,计算该组合的β系数、组合的风险收益率和组合的必要收益率。
(1)计算甲、乙股票的必要收益率:
由于市场达到均衡,则期望收益率=必要收益率
甲股票的必要收益率=甲股票的期望收益率=12%
乙股票的必要收益率=乙股票的期望收益率=15%
(2)计算甲、乙股票的β值:
根据资本资产定价模型:
甲股票:
12%=4%+β(10%-4%),则β=1.33
乙股票:
15%=4%+β(10%-4%),则β=1.83
(3)甲、乙股票的收益率与市场组合收益率的相关系数:
(4)组合的β系数、组合的风险收益率和组合的必要收益率:
1.33+40%×
1.83=1.53
组合的风险收益率=1.53(10%-4%)=9.18%
组合的必要收益率=4%+9.18%=13.18%。
3.假定甲、乙两只股票最近3年收益率的有关资料如下:
市场组合的收益率为12%,市场组合的标准差为0.6%,无风险收益率为5%。
(1)计算甲、乙两只股票的期望收益率;
(2)计算甲、乙两只股票收益率的标准差;
(3)计算甲、乙两只股票收益率的标准离差率;
(4)计算甲、乙两只股票的β值;
(5)计算甲、乙股票的收益率与市场组合收益率的相关系数;
(6)投资者将全部资金按照30%和70%的比例投资购买甲、乙股票构成投资组合,计算该组合的β系数、组合的风险收益率和组合的必要收益率。
(1)甲、乙两只股票的期望收益率:
甲股票的期望收益率=(10%+6%+8%)/3=8%
乙股票的期望收益率=(7%+13%+10%)/3=10%
(2)甲、乙两只股票收益率的标准差:
=2%
=3%
(3)甲、乙两只股票收益率的标准离差率:
甲股票收益率的标准离差率=2%/8%=0.25
乙股票收益率的标准离差率=3%/10%=0.3
(4)甲、乙两只股票的β值:
8%=5%+β(12%-5%),则β=0.4286
10%=5%+β(12%-5%),则β=0.7143
(5)甲、乙股票的收益率与市场组合收益率的相关系数:
(6)组合的β系数、组合的风险收益率和组合的必要收益率:
组合的β系数=30%×
0.4286+70%×
0.7143=0.6286
组合的风险收益率=0.6286×
(12%-5%)=4.4%
组合的必要收益率=5%+4.4%=9.4%。
4.假定甲、乙两只股票最近4年收益率的有关资料如下:
(4)假设甲、乙两只股票收益率的相关系数为1,投资者将全部资金按照80%和20%的比例投资购买甲、乙股票构成投资组合,计算该组合的期望收益率和组合的标准差。
甲股票的期望收益率=(5%+8%+12%+7%)/4=8%
乙股票的期望收益率=(10%+9%+6%+11%)/4=9%
=2.94%
=2.16%
甲股票收益率的标准离差率=2.94%/8%=0.3675
乙股票收益率的标准离差率=2.16%/9%=0.24
(4)组合的期望收益率和组合的标准差:
组合的期望收益率=80%×
8%+20%×
9%=8.2%
组合的标准差=80%×
2.94%+20%×
2.16%=2.78%。
第三章资金时间价值与证券评价
一、主要计算公式
(一)资金时间价值计算
1.复利求现值
2.普通年金求现值
普通年金现值的计算公式:
P=A·
(P/A,i,n)
如果已知年金现值,求年金A,此时求出的年金A就称作资本回收额,也称投资回收额。
3.递延年金求现值
(1)递延年金的现值=年金A×
(n期总的年金现值系数-递延期的年金现值系数)
(2)递延年金的现值=年金A×
年金现值系数×
复利现值系数
(二)股票收益率和普通股价值的计算
1.股票收益率的计算
(1)本期收益率
(2)持有期收益率
①短期持有期收益率
持有期收益率=
持有期年均收益率=
②长期持有期收益率(内插法)
2.股票价值的计算
(1)股利固定模型(零成长股票的模型)
P=
D为各年收到的固定股息,K为股东要求的必要报酬率
(2)股利固定增长模型
=
(3)三阶段模型(新增)
重点掌握两阶段模型:
①高速增长后的零增长
②高速增长后的固定增长
(三)债券的价值和收益率的计算
1.债券收益率的计算
(1)票面收益率(名义收益率)
(2)本期收益率
(3)持有期收益率
①短期分期付息债券:
持有年限=
②持有较长期限、到期一次还本付息、单利计息债券:
式中:
P为债券买入价;
M为债券到期得到的本金和利息或者提前出售时的卖出价;
t为债券实际持有年限。
③持有较长期限、分期付息、到期还本债券:
(内插法)
2.债券价值的计算
(1)分期付息债券
(2)到期一次还本付息,单利计息债券
二、例题
5.甲公司欲投资购买A、B、C三只股票构成投资组合,这三只股票目前的市价分别为8元/股、10元/股和12元/股,β系数分别为1.2、1.9和2,在组合中所占的投资比例分别为20%、45%、35%,目前的股利分别为0.4元/股、0.6元/股和0.7元/股,A股票为固定股利股票,B股票为固定增长股票,股利的固定增长率为5%,C股票前2年的股利增长率为18%,2年后的股利增长率固定为6%。
假设目前股票市场的平均收益率为16%,无风险收益率为4%。
(1)计算投资A、B、C三只股票构成的投资组合的β系数和风险收益率;
(2)计算投资A、B、C三只股票构成的投资组合的必要收益率;
(3)分别计算A、B、C三只股票的必要收益率;
(4)分别计算A、B、C三只股票目前的市场价值;
(5)若按照目前市价投资于A股票,估计半年后其市价可以涨到12元/股,若持有半年后将其出售,假设持有期间得到0.6元/股的现金股利,计算A股票的持有期收益率和持有期年均收益率;
(6)若按照目前市价投资于B股票,并长期持有,计算其预期收益率。
(1)投资组合的β系数=20%×
1.2+45%×
1.9+35%×
2=1.795
投资组合的风险收益率=1.795×
(16%-4%)=21.54%
(2)投资组合的必要收益率=4%+21.54%=25.54%
(3)A股票的必要收益率=4%+1.2(16%-4%)=18.4%
B股票的必要收益率=4%+1.9(16%-4%)=26.8%
C股票的必要收益率=4%+2(16%-4%)=28%
(4)A股票的市场价值=0.4/18.4%=2.17(元/股)
B股票的市场价值=0.6(1+5%)/(26.8%-5%)=2.89(元/股)
C股票的市场价值=0.7(1+18%)/(1+28%)+0.7
/
+[0.7
×
(1+6%)/(28%-6%)]×
(P/F,28%,2)=0.6453+0.5949+2.8667=4.1069(元/股)
(5)A股票的持有期收益率=[(12-8)+0.6]/8=57.5%
A股票的持有期年均收益率=57.5%/(6/12)=115%
(6)B股票的预期收益率=0.6(1+5%)/10+5%=11.3%。
6.某投资者2007年年初准备投资购买股票,现有甲、乙、丙三家公司可供选择,甲、乙、丙三家公司的有关资料如下:
(1)2007年年初甲公司发放的每股股利为4元,股票每股市价为18元;
预期甲公司未来2年内股利固定增长率为15%,在此以后转为零增长;
(2)2007年年初乙公司发放的每股股利为1元,股票每股市价为6.8元;
预期乙公司股利将持续增长,年固定增长率为6%;
(3)2007年年初丙公司发放的每股股利为2元,股票每股市价为8.2元;
预期丙公司未来2年内股利固定增长率为18%,在此以后转为固定增长,年固定增长率为4%;
假定目前无风险收益率为8%,市场上所有股票的平均收益率为16%,甲、乙、丙三家公司股票的β系数分别为2、1.5和2.5。
(1)分别计算甲、乙、丙三家公司股票的必要收益率;
(2)分别计算甲、乙、丙三家公司股票的市场价值;
(3)通过计算股票价值并与股票市价相比较,判断甲、乙、丙三家公司股票是否应当购买。
(4)假设按照40%、30%和30%的比例投资购买甲、乙、丙三家公司股票构成投资组合,计算该投资组合的综合β系数和组合的必要收益率。
(1)根据资本资产定价模型,计算甲、乙、丙三家公司股票的必要收益率:
甲公司股票的必要收益率=8%+2×
(16%-8%)=24%
乙公司股票的必要收益率=8%+1.5×
(16%-8%)=20%
丙公司股票的必要收益率=8%+2.5×
(16%-8%)=28%
(2)计算甲、乙、丙三家公司股票的市场价值:
甲公司的股票价值=4(1+15%)×
(P/F,24%,1)+4(1+15%)2×
(P/F,24%,2)+[4(1+15%)2/24%]×
(P/F,24%,2)
=3.7099+3.4406+14.3359≈21.49(元)
乙公司的股票价值=1×
(1+6%)÷
(20%-6%)≈7.57(元)
丙公司的股票价值=2×
(1+18%)×
(P/F,28%,1)+2×
(P/F,28%,2)+[2×
(1+4%)/(28%-4%)]×
(P/F,28%,2)
=1.8439+1.6998+7.366≈10.91(元)
(3)由于甲、乙、丙三家公司股票的价值大于其市价,所以应该购买。
(4)综合β系数=2×
40%+1.5×
30%+2.5×
30%=2。
组合的必要收益率=8%+2×
(16%-8%)=24%。
7.A公司2004年6月5日发行公司债券,每张面值1000元,票面利率10%,4年期。
(1)假定每年6月5日付息一次,到期按面值偿还。
B公司2006年6月5日按每张1000元的价格购入该债券并持有到期,计算该债券的持有期收益率。
(2)假定每年6月5日付息一次,到期按面值偿还。
B公司2006年6月5日按每张1020元的价格购入该债券并持有到期,计算该债券的持有期收益率。
(3)假定到期一次还本付息,单利计息。
B公司2006年6月5日按每张1180元的价格购入该债券并持有到期,计算该债券的持有期收益率。
(4)假定每年6月5日付息一次,到期按面值偿还。
B公司2005年6月5日计划购入该债券并持有到期,要求的必要报酬率为12%,计算该债券的价格低于多少时可以购入。
(5)假定到期一次还本付息,单利计息。
(1)由于该债券属于分期付息、到期还本的平价债券,所以,持有期收益率=票面利率=10%。
(2)NPV=1000×
10%×
(P/A,i,2)+1000(P/F,i,2)-1020
当i=10%,NPV=1000×
(P/A,10%,2)+1000(P/F,10%,2)-1020
=-20(元)
当i=8%,NPV=1000×
(P/A,8%,2)+1000(P/F,8%,2)-1020
=100×
1.7833+1000×
0.8573-1020=15.63(元)
i=
=8.88%
(3)债券的持有到期收益率=
=8.92%。
(4)债券的价格=1000×
(P/A,12%,3)+1000(P/F,12%,3)
2.406+1000×
0.712=952.6(元)。
(5)债券的价格=1000×
(1+4×
10%)(P/F,12%,3)=996.8(元)。
8.2006年8月4日,A公司购入B公司同日发行的5年期债券,面值1000元,发行价960元,票面利率9%,每年8月4日付息一次。
(1)计算该债券的本期收益率;
(2)计算2006年12月4日以1015元的价格出售时的持有期收益率和持有期年均收益率;
(3)计算2008年8月4日以1020元的价格出售时的持有期年均收益率;
(4)计算2011年8月4日到期收回时的持有到期收益率。
(1)该债券的本期收益率=1000×
9%/960=9.38%
(2)持有期收益率=(1015-960)÷
960=5.73%
持有期年均收益率=5.73÷
(4/12)=17.19%
(3)设持有期年均收益率为i,则:
NPV=1000×
9%×
(P/A,i,2)+1020×
(P/F,i,2)-960
设i=12%,NPV=1000×
(P/A,12%,2)+1020×
(P/F,12%,2)-960
=90×
1.6901+1020×
0.7972-960=5.25(元)
设i=14%,NPV=1000×
(P/A,14%,2)+1020×
(P/F,14%,2)-960
1.6467+1020×
0.7695-960=-26.91(元)
i=12%+[(0-5.25)/(-26.91-5.25)]×
(14%-12%)=12.33%。
(4)设持有到期收益率为i,则:
(P/A,i,5)+1000×
(P/F,i,5)-960
设i=9%,NPV=1000×
(P/A,9%,5)+1000×
(P/F,9%,5)-960
3.8897+1000×
0.6499-960=40(元)
(P/A,12%,5)+1000×
(P/F,12%,5)-960
3.6048+1000×
0.5674-960=-68.17(元)
i=9%+[(0-40)/(-68.17-40)]×
(12%-9%)=10.11%。
9.某公司在2004年3月8日发行4年期债券,其面值为1000元,票面利率为8%。
要求回答:
(1)确定该债券的名义收益率;
(2)甲公司在2004年3月8日以1010元的价格购入该债券,如果该债券每年3月8日付息一次,计算该债券的本期收益率;
(3)如果该债券属于到期一次还本付息、单利计息债券,甲公司于2006年2月5日以1140元的价格购入该债券,并于2006年7月5日以1180元的价格转让,计算该债券的持有期收益率和持有期年均收益率;
(4)如果该债券每年3月8日付息一次,甲公司于2007年1月6日以1060元的价格购入该债券,并于2007年7月6日以1030元的价格转让,计算该债券的持有期收益率和持有期年均收益率;
(5)如果该债券每年3月8日付息一次,甲公司于2006年3月8日以1010元的价格购入该债券并持有至到期,计算该债券的持有期年均收益率。
(1)名义收益率=票面收益率=8%
(2)本期收益率=(1000×
8%/1010)×
100%=7.92%
(3)持有期收益率=(1180-1140)/1140×
100%=3.51%
持有期年均收益率=3.51%/(5/12)=8.42%
(4)持有期收益率=[1000×
8%+(1030-1060)]/1060×
100%=4.72%
持有期年均收益率=4.72%/(6/12)=9.44%
(5)NPV=1000×
8%×
(P/A,i,2)+1000×
(P/F,i,2)-1010
当i=6%时,NPV=1000×
(P/A,6%,2)+1000×
(P/F,6%,2)-1010
=1000×
1.8334+1000×
0.8900-1010=26.67(元)
当i=8%时,NPV=1000×
(P/A,8%,2)+1000×
(P/F,8%,2)-1010
0.8900-1010=-10(元)
根据插值法:
i=6%+
=7.45%。
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