专题9二次函数与圆综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx
- 文档编号:4340521
- 上传时间:2023-05-07
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:359.11KB
专题9二次函数与圆综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx
《专题9二次函数与圆综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题9二次函数与圆综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
专题9二次函数与圆综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题9二次函数与圆综合问题
解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点,弄清题目的本质,利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似,以便找到对应的解题途径.常见的考法有:
1.直线与圆的位置关系:
平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小,常用的方法有:
(1)利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题
(2)利用勾股定理解决问题
(3)利用相似列出比例式解决问题
2.函数与圆的新定义题目:
利用已掌握的知识和方法理解新定义,化生为熟
3.函数与圆的性质综合类问题:
利用几何性质,结合图形,找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.
【例1】(2021•花都区三模)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC=45°,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M是BC为直径的圆上的动点,将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N,连接NA,求NA的取值范围.
【例2】(2020•遵义)如图,抛物线y=ax2
x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点,过点M作MP∥y轴,交抛物线于点P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)以M为圆心,MP为半径作⊙M,当⊙M与坐标轴相切时,求出⊙M的半径.
【例3】(2020•济宁)我们把方程(x﹣m)2+(y﹣n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如,圆心为(1,﹣2)、半径长为3的圆的标准方程是(x﹣1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中,⊙C与x轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.
(1)求⊙C的标准方程;
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系,并说明理由.
【例4】(2020•西藏)在平面直角坐标系中,二次函数y
x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)如图甲,连接AC,PA,PC,若S△PAC
,求点P的坐标;
(3)如图乙,过A,B,P三点作⊙M,过点P作PE⊥x轴,垂足为D,交⊙M于点E.点P在运动过程中线段DE的长是否变化,若有变化,求出DE的取值范围;若不变,求DE的长.
【例5】(2020•宜宾)如图,已知二次函数的图象顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图象上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)P为平面内一点,当△PMN是等边三角形时,求点P的坐标;
(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点N,且与直线y=﹣1相切.若存在,求出点E的坐标,并求⊙E的半径;若不存在,说明理由.
【例6】(2021•嘉兴二模)定义:
平面直角坐标系xOy中,过二次函数图象与坐标轴交点的圆,称为该二次函数的坐标圆.
(1)已知点P(2,2),以P为圆心,
为半径作圆.请判断⊙P是不是二次函数y=x2﹣4x+3的坐标圆,并说明理由;
(2)已知二次函数y=x2﹣4x+4图象的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求△POA周长的最小值;
(3)已知二次函数y=ax2﹣4x+4(0<a<1)图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,与坐标圆的第四个交点为D,连结PC,PD,如图2.若∠CPD=120°,求a的值.
【题组一】
1.(2020•雨花区校级一模)如图1,已知抛物线y=ax2﹣12ax+32a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.
(1)连接BC,若∠ABC=30°,求a的值.
(2)如图2,已知M为△ABC的外心,试判断弦AB的弦心距d是否有最小值,若有,求出此时a的值,若没有,请说明理由;
(3)如图3,已知动点P(t,t)在第一象限,t为常数.
问:
是否存在一点P,使得∠APB达到最大,若存在,求出此时∠APB的正弦值,若不存在,也请说明理由.
2.(2020•汇川区三模)如图,在平面直角坐标系上,一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,连接BC并延长.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点,过M作MN∥y轴交抛物线于点N.
1°求线段MN的最大值;
2°当MN取最大值时,在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P,连接PM、PN,当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时,求点P的坐标.
3.(2020•望城区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y
x2﹣bx+c交x轴于点A,B,点B的坐标为(4,0),与y轴于交于点C(0,﹣2).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上取点D,若点D的横坐标为5,求点D的坐标及∠ADB的度数;
(3)在
(2)的条件下,设抛物线对称轴l交x轴于点H,△ABD的外接圆圆心为M(如图1),
①求点M的坐标及⊙M的半径;
②过点B作⊙M的切线交于点P(如图2),设Q为⊙M上一动点,则在点运动过程中
的值是否变化?
若不变,求出其值;若变化,请说明理由.
4.(2020•天桥区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴交于A(4,0)、O两点,点D(2,﹣2)为抛物线的顶点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点E为AO的中点,以点E为圆心、以1为半径作⊙E,交x轴于B、C两点,点M为⊙E上一点.
①射线BM交抛物线于点P,设点P的横坐标为m,当tan∠MBC=2时,求m的值;
②如图2,连接OM,取OM的中点N,连接DN,则线段DN的长度是否存在最大值或最小值?
若存在,请求出DN的最值;若不存在,请说明理由.
【题组二】
5.(2021•乐山模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1,0),B(3,2),与x轴交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在y上是否存在一点E,使四边形ABCE为矩形,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)以C为圆心,1为半径作⊙O,D为⊙O上一动点,求DA+
DB的最小值
6.(2021•河北区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+3的对称轴是直线x=2,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点,过点M作MN⊥x轴于点N,交BC于点D,连接CM,当线段CM=CD时,求点M的坐标;
(Ⅲ)以原点O为圆心,AO长为半径作⊙O,点P为⊙O上的一点,连接BP,CP,求2PC+3PB的最小值.
7.(2021•长沙模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,经过C(1,1),且与x轴正半轴交于A,B两点.
(1)如图1,连接OC,将线段OC绕点O顺时针旋转,使得C落在y轴的负半轴上,求点C的路径长;
(2)如图2,延长线段OC至N,使得ON=
,若∠OBN=∠ONA,且
,求抛物线的解析式;
(3)如图3,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线
,与y轴交于(0,5),经过点C的直线l:
y=kx+m(k>0)与抛物线交于点C、D,若在x轴上存在P1、P2,使∠CP1D=∠CP2D=90°,求k的取值范围.
8.(2020•东海县二模)如图,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1:
y=
x2+
x上,点A的坐标为(﹣4,m),点B的坐标为(n,﹣2).(点A在点B的左侧)
(1)则m= ﹣4 ,n= ﹣1 .
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线C2:
y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,延长OB'交抛物线C2于点C,连接A'C.设△OA'C的外接圆为⊙M.
①求圆心M的坐标;
②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A'、C除外).
【题组三】
9.(2019•鄂尔多斯)如图,抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x与该抛物线交于E,F两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值.
(3)以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?
若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由.
10.(2019•日照)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC
PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
11.(2018•宿迁)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x﹣a)(x﹣3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP⊥x轴,垂足为点P,连接AD、BC.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)若△AOD与△BPC相似,求a的值;
(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上?
若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
12.(2018•福建)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).
(1)若点(
,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:
当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
①求抛物线的解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:
PA平分∠MPN.
【题组四】
13.(2018•长沙模拟)如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);
(2)若以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的函数关系式;
②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF:
BF=1:
2,求点M、N的坐标;
③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.
14.(2018•济宁)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;
(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15.(2018•遵义)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2
x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.
(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.
(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.
(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.
16.(2018•福建)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:
当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若MN与直线y=﹣2
x平行,且M,N位于直线BC的两侧,y1>y2,解决以下问题:
①求证:
BC平分∠MBN;
②求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
【题组五】
17.(2021•常州二模)如图1:
抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.动点E(m,0)(0<m<3),过点E作直线l⊥x轴,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式及C点坐标;
(2)连接BM并延长交y轴于点N,连接AN,OM,若AN∥OM,求m的值.
(3)如图2.当m=1时,P是直线l上的点,以P为圆心,PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方),若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE=90°,求点P纵坐标的取值范围.
18.(2021•靖江市一模)如图,抛物线y=mx2﹣4mx+n(m>0)与x轴交于A,B两点,点B在点A的右侧,抛物线与y轴正半轴交于点C,连接CA、CB,已知tan∠CAO=3,sin∠CBO=
.
(1)求抛物线的对称轴与抛物线的解析式;
(2)设D为抛物线对称轴上一点,
①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时,求点D的坐标;
②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D纵坐标的取值范围.
19.(2019秋•江都区期末)已知二次函数y
bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0,﹣1)和点A(4,1).
(1)求b、c的值;
(2)如图1,点C(10,m)在抛物线上,点M是y轴上的一个动点,过点M平行于x轴的直线l平分∠AMC,求点M的坐标;
(3)如图2,在
(2)的条件下,点P是抛物线上的一动点,以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点,若△PEF的面积为2
,请直接写出点P的坐标.
20.(2020•越秀区校级模拟)已知:
二次函数y=ax2﹣2ax﹣3(a>0),当2≤x≤4时,函数有最大值5.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点;
(2)将函数y=ax2﹣2ax﹣3(a>0)图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,得到的新图象与直线y=n恒有四个交点,从左到右,四个交点依次记为A,B,C,D,当以BC为直径的圆与x轴相切时,求n的值.
(3)若点P(x0,y0)是
(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点,若关于m的一元二次方程m2﹣y0m+k﹣4+y0=0恒有实数根时,求实数k的最大值.
【题组六】
21.(2021•雨花区二模)如图1,已知圆O的圆心为原点,半径为2,与坐标轴交于A,C,D,E四点,B为OD中点.
(1)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(2)如图2,连接BC,AC.点P在第一象限且为圆O上一动点,连接BP,交AC于点M,交OC于点N,当MC2=MN•MB时,求M点的坐标;
(3)如图3,若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H,F,请判断四边形CFEH的形状,并说明理由.
22.(2021秋•西湖区校级期中)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”.如图所示,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,﹣3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长;
(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A,点B重合),点E关于x轴的对称点是点F,若点F也在“蛋圆”上,求点E坐标;
(3)点P是“蛋圆”外一点,满足∠BPC=60°,当BP最大时,直接写出点P的坐标.
23.(2021秋•上城区校级期中)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C,⊙M是△ABC的外接圆.若抛物线的顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式,及A、B、C三点的坐标;
(2)求⊙M的半径和圆心M的坐标;
(3)如图2,在x轴上有点P(7,0),试在直线BC上找点Q,使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似.若存在,请直接写出点坐标;若不存在,请说明理由.
24.(2021•黔西南州)如图,直线l:
y=2x+1与抛物线C:
y=2x2+bx+c相交于点A(0,m),B(n,7).
(1)填空:
m= 1 ,n= 3 ,抛物线的解析式为 y=2x2﹣4x+1 .
(2)将直线l向下移a(a>0)个单位长度后,直线l与抛物线C仍有公共点,求a的取值范围.
(3)Q是抛物线上的一个动点,是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 二次 函数 综合 问题 挑战 中考 数学 压轴 秘笈 揭秘 原卷版
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)