函数极限与连续习题加答案Word文档下载推荐.docx
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4.若lim(UnVn)=0,则必有limun=0或limvn=0。
n—n—n―jpc
5.若limf(x)二A,则f(x0)=A;
^^0
6.已知f(X。
)不存在,但limf(x)有可能存在;
^jx0
JI
8.limarctanx=
x匸:
2
9.limex=0;
xt*
10.非常小的数是无穷小;
11.零是无穷小;
12.无限变小的变量称为无穷小;
13.无限个无穷小的和还是无穷小。
二、填空题
1.lim(.n1「.n)二
n—
2.lim
n—):
:
n二
sin-
n
(T)n
3.nim」4计"
5.lim(2x-1)=
X—1
6.
lim2
xf'
1x2
7・limcosx二
x)0
,limcosx
x—■
8•设f(x)n
x
e,X"
,则f(o+)=、ax+b,xa0
f(0"
时,Xmof(x)"
。
10.设:
(x)是无穷小量,E(x)是有界变量,则:
(x)E(x)为
11.limf(x)=A的充分必要条件是当Xrx0时,f(x)-A为
;
limxsin—=
X_i2C
x_^0
12.limxsinj0
三、选择题
1•已知下列四数列:
①、xn=2;
②、xn
贝U其中收敛的数列为(
A、①B、①②
2.已知下列四数列:
"
3n1
)
C、①④
③、X
十1)
①②③
;
®
、x”1)"
」刖
②、
111
0…0…
23n'
222
③、1314…2,2,3,3,
则其中发散的数列为
A、①B
、①④
3.Xn=
in
10二
n为奇数
n为偶数
n2...
n1
、①③④
,则必有(
④、
1,2,
n,
D、②④
A、limxn
n—.
-0
limxn=10J
n):
'
0,n为奇数
10—7,n为偶数
、nmxn不存在
4.从limf(x)=1不能推出(
XrX:
f(Xo)=1
A、lim—f(x)=1
C、f(X。
)=1
X>
X0
lim【f(x)—1=0
X)Xo
5•设f(x)=*
]x+1,
2,
0,则limf(x)的值为()
二0x_Q
D、不存在
6.当X—.1时,下列变量中是无穷小的是()
C、2
D、ln(x1)
A、x3-1
B、sinx
7•下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是(
_x^1(x>
1nx/、
C、Inx(x—;
0)
D、一cos(x—‘)
x2
8.若limf(x)「:
:
X—0
limg(x)二:
,则下列极限成立的是(
x典0
A、lim[f(x)g(x)]=:
x0
B、lim[f(x)g(x)]=0
x)X0
C、limxff(x)+g(x)
D、limf(x)g(x)二:
x风0
9•以下命题正确的是()
A、无界变量一定是无穷大
B、无穷大一定是无界变量
C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增
D、不趋于无穷大的变量必有界
10.limex(
x—0
B、等于-:
c、等于1
A、等于0
11•下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是(
2.1
xsin
A、lim-
x10sinx
x-sinx
C、limxT^xsinx
);
1-x
B、limx-11-sinx
D、Jim…x(2-arctanx)
四、设f(x)二
—,回答下列问题:
1•函数f(x)在x=0处的左、右极限是否存在?
2•函
五、下列各题中,指出哪些是无穷小?
哪些是无穷大?
1.1啟(x—;
2.y(x>
0);
4.ex(x>
0)
3.lnx(xt0);
六、当XrY时,下列哪个无穷小与无穷小
-是同阶无穷小?
哪个无穷小与无穷小1
—是等
价无穷小?
哪个无穷小是比无穷小
-高阶的无穷小?
1.-
第三讲:
极限的求法
1.在某过程中,
f(X)有极限,g(x)无极限,
则f(x)g(x)无极限;
2.在某过程中,
f(x),g(x)均无极限,则
f(x)g(x)无极限;
3.在某过程中,
f(x)有极限,g(x)无极限,
则f(x)g(x)无极限;
4.在某过程中,
f(x),g(x)均无极限,则
f(x)g(x)无极限;
必不存在;
limn2=0;
n》:
5.若limf(x)=A,limg(x)=0,贝Vlm
xTo^x0g(x)
1+2+3+…+n12
6.lim2limplim2
n》:
nn》:
nn》:
7.limxsinlimxlimsin0;
x」0xxj0x—0x
22
8.lim(x-3x)=limx-3limx=:
-:
=0;
xX:
x—):
sinx
9.lim1;
10.lim(1-2)x=e.
x匸x
二、计算下列极限
3x+1
1.lim2;
x〜x21
x1
X2-12x2-x
-1
2x+x+1
3.lim厂
x匚3x21
x32x2
5.lim2,
x)2(X_2)2
6.匹(亠-f);
J11一x1-x
7.lim(.x2x1「;
x2「x1)
x.
1+2+3+…+(n_1)8.lim-
n:
9.lim
x—JPC
(2x-1)300(3x-2)200
(2x1)500
10.lim
2xsinx
x2
1arctan—
11.xim0
sinx3x
tanx2x'
13.lim2nsinn(x0)n,2
=sinx)
15.lim
x「0
tanx—sinx
x3
三、求函数的极限
(1)xm空罟4
2x+cosx
lim
(2)x—工:
x—sinx;
\17
tan3x
xsin2x;
limsin5xcot3x
(4)x>
7:
(5)
1—2x-lim(-仝)xx—Q1x;
申1*5x—£
1一3x
lim2
(6)x—qx22x
四、求数列的极限:
[j1+n2、
n—1
lim
limn
v1
n_jPC
n_^C
Jn十1
<
J
(2)
(1)
limarcsin—arctanx
(4)x->
limn(en-en)
(3)n,其中a,b为正的常数。
五、用洛必达法则求下列函数的极限
X3-3x2
lim32,
x1x-x-x1
2.
sin3xlimx刃tan5x
3.
ln(11)
lim,
x—'
arccotx
4.
1);
Inx
5.limx(ex-1);
x_[:
Inx)x;
sin3x
7.lim,
xftan3x
8.lim
X2-3x2.
x3-1
9.
limsinx—sina
x)a
11.
x21
x—xlnx
12.limxnInx(n0);
x]0■
专插本数学复习题(兰星)
13.lixm公;
14.lim(tanx)sinx;
tanx—x
xt0x—sinx
16.liming
xt:
ln(3x4)
sinx-e+1
17.lim
x101-J-x2
18.limxcot2x;
—
19.lim(Inx)x‘;
X
20.lim(sincos2x)x;
XT2
21.加-站;
xtsinx
22.
o
-cosx
六、求a,b之值使協3-扯十%+1)=2
七、已知
limXaxb*,求常数a与b的值。
x11-x
八、已知
lim(x)x=2,求c。
xr:
x—c
12
九、证明:
当Xr0时,tan2x〜2x,1-cosx〜x2。
4
二、填空题
第四讲:
函数的连续性
1.若f(x),g(x)在点x0处均不连续,则f(x)g(x)在点X。
处亦不连续;
2•若f(x)在点Xo处连续,g(x)在点Xo处不连续,则f(x)g(x)在点x°
处必不连续;
3.若f(x)与g(x)在点xo处均不连续,则f(x)g(x)在点x°
4.y=x在x二0处不连续;
5.f(x)在X。
处连续当且仅当f(x)在X。
处既左连续又右连续;
6.设y=f(x)在(a,b)内连续,则f(x)在(a,b)内必有界;
7.设y=f(x)在[a,b]上连续,且无零点,则f(x)在[a,b]上恒为正或恒为负;
i3_-3-
8.tan—,tan1:
0,所以tanx=0在(一,)内有根。
44
2.x=0是函数
型间断点;
,则f(x)在x=0处连续;
3.设f(x)=丄1n(1-x),若定义f(0)二
)anaxxH0
4.若函数f(x)x'
在x=0处连续,则a等于
i2,x=0
7.函数y=x■x-2,当x=1,=0.5时,丄y二
当x=1,--0.5时,
5.f(x「R的连续区间是
五、指出下列函数的间断点,并指明是哪一类型间断点。
1.f(X)=2,;
x-1
2.f(x)=ex
制题人:
兰星
16
第一章函数、极限与连续
X,X
3.f(X)»
X
=1
X,
、•1
4.f(X)二
(X—1)SF
X:
-1,
-1_X_1,
X1.
六、求下列极限
1.limIn(e*+x);
2.lim
X卅x-2-,2
2X-1
4.lim—
xQ-1
2X1
七、证明方程4x_2x=0在(0,—)内至少有一个实根。
八、设f(x)=/
x_10<
x<
,试判定f(x)在x=—,x=1,x=2处的连续性,并求出
x+1,XA12
连续区间。
第一章:
单元测试题
、填空题
21sin3x
3.lim(xsin2)口
4.lim(1+k)x=
x匚x
5.设f(x)在x=1处连续,且f
(1)=3,贝ylimf(x)([
间断点;
6.x=0是函数f(x)二xsin的
二、选择题
跳跃间断点是
C、y=_x_1,x[1,:
2.当*—;
时,下列函数中有极限的是
e
A、sinx
C、
X2-1
D、arctanx
3.f(x)二1「在点x=0不连续是因为
f(0-0)不存在
B、f(00)不存在
f(00)=f(0)
D、f(0-0)=f(0)
21
4.设f(x)二xarccot,则x=1是f(x)的();
X-1
A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点
「COSX—1,X£
5.设f(x)=」,贝yk=0是limf(x)存在的();
k,xa07
A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
6.当X-;
x0时,:
•和:
(=0)都是无穷小。
当X-;
x0时,下列变量中可能不是无穷小的是
();
A、很亠卩B-C、卅FD、—
7.当n“时,若sin与匚是等价无穷小,则k=();
nn
A、2B、一C、1D、3
8.当x—;
0时,下列函数中为X的高阶无穷小的是();
A、1-cosxB、xx2C、sinxD、、.x
9.当nr时,nsin是();
A、无穷大量B、无穷小量C、无界变量D、有界变量
10.方程Xpx^0(p-0)的实根个数是();
A、一个B、二个C、三个D、零个
22
11.当xr0时,(1-cosx)是sinx的();
(x1)95(ax1)5
12.设他X1严
A、1B、2C、58D、A、B、C均不对
三、求下列函数的极限
1.lim2x・3;
…x-2
2’x-1x2—);
.3
sinx
4.lim3;
xe(sinx)
5.lim1^/-x;
sin3x
x+3
6.lim2(sinx2);
xr-x
7.lim
sinx-sina
x—a
sin兀x
x4(x-1)
呷丿厂一^);
5n-
(2)n
104叭畀1(一2厂1
四、设limxax-x"
=b(常数),求a,b。
五、证明下列方程在(0,1)之间均有一实根。
1.
x5x3=1;
-x
ex;
arctanx=1-x;
■使fO=。
七、设
3x,
f(x)=<
2,
-1:
x:
1,
3x2,
x7求叫心)吧f(x),xmj(x)。
1:
x2.
六、设f(x)在[a,b]上连续,且a■f(x):
b,证明在(a,b)内至少有一点
In(1-x)
八、设f(x)=<
—1,
x0,
x=0,讨论f(x)在x=0处的连续性。
x0.
九、证明方程x=2sinx1至少有一个小于3的正根。
、1•非;
2•是;
3•非;
4•非;
5是;
6•是;
7.非;
8•非。
与二;
5・y=log2U、
1xx4x5
二、1.y轴;
2.‘0;
3.log2L(0:
x:
1);
4.
u=sinx2;
6.1,二,sin2x1。
a2+1
二、1.C;
2.B;
3.A。
四、1.[-1,3];
2.
(1)(-:
1][3,■:
)
(2)(-1,2]
⑶(-2,(4)(2k二,(2k1)二)(kZ);
3.f[g(x)]=e2x,g[f(x)]=e"
f[f(x)]=x4,g[g(x)]=exp(ex);
4.
(1)奇
(2)非奇非
u3
⑶y=2,u=1-x
(4)y=lgu,u=3-x;
6.520。
偶(3)奇(4)偶;
5.
(1)y二u3,u=sinv,v=8x5
(2)y=tanu,u=3v,v=x25
一、1.;
是2.非;
3.非;
4.非;
5.非;
6.是;
8.非;
9.是;
10.非;
11.是;
12.非;
13.非。
二、1.0;
2.0;
3.4;
4.0;
5.1;
6.0;
7.1,不存在;
8.b,1,1;
9.:
「1;
10.无穷小;
11.无穷小;
12.0。
三、1.D;
2.C;
3.D;
4.C;
5.B;
6.A;
7.D;
8.D;
9.B;
10.D。
四、1.f(0-0)=-1,f(00)=1;
2.无极限,因f(0-0)=f(00);
3.limf(x)=1。
xT
五、1.无穷小;
2.无穷大;
3.无穷大(-旳);
4.既不是无穷小也不是无穷大。
六、1.同阶无穷小;
2.高阶无穷小;
3.等价无穷小。
一、1.是;
2.非;
3.非;
4.非;
5.非;
6.非;
9.非;
10.非。
22134
二、1.—1;
2.—;
3.—;
4.0;
5.+处;
6.—1;
7.1;
8.—;
9.(—)2°
°
;
10.0;
11.—;
12.e-6;
33223
1“-4
13.x;
14.1;
15.;
16.e。
七、提示:
由极限乘法运算法则及由分母极限为0,可得分子极限必为0,且分子、分母同
时有x-1的公因式,a=-3,b=2。
八、c=ln2。
九、(略)
一、1.;
非2•非;
5.是;
6•非;
7•是;
75
二、1.第一类,跳跃型;
2.第二类,无穷型;
3.-1;
4.2;
5.(1,2)U(2,畑);
6.无,0;
7.。
44
三、1.C;
2.A;
3.B。
四、a=1,b=1。
五、1.x二1是第二类间断点中的无穷间断点;
2.x=0是第二类间断点中的无穷间断点;
3.x-1为第一类间断点中的可去间断点;
4.X--1为第二类间断点中的无穷间断点,
X=1为第一类间断点中的跳跃间断点。
六、1.1n(e+1);
2.—J2;
3.3logae;
4.-1。
七、(略)
八、在X,2处连续,在X=1处间断,连续区间为[0,1)(1/-)
一、1.[4,2];
2.[0,3);
3.3;
4.ek;
5.;
6.第一类间断点且是可去间断点;
7.X=7,0,
X—1,x=0,-1。
二、1.C;
2.C;
3.B;
4.B;
5.C;
6.D;
7.A;
8.A;
9.D;
10.A;
11.A;
12.C。
.一191二11
三、1.3-.3;
2.;
3.e;
4.1;
6.0;
7.COSa;
8.-;
9.;
10.—。
23445
四、a=-4,b=10。
五、(略)
六、(略)
七、limf(x)=0,limf(x)=3,lim_f(x)=6。
xTxjxr2
八、f(00)=f(0-0)=f(0)=-1,故f(x)在x=0处连续。
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