离散数学图论与关系中有图题目docxWord文档下载推荐.docx
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n;
对于二
部图G
V1,V2,E,E
时即
1,E
G2
;
在彼得森图G中,
存在奇数长的基本回路,因而G3,又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基
本回路,且G3,由定理G3,故G3)
例2给右边三个图的顶点正常着色,每个图至少需要几种颜色。
答案:
(1)
2;
(2
)
3;
(3)
4
例3
有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T
(3)
要放进贮藏室保管。
出于安全原因,
下列各组药品不能贮在同一个室内:
A-R,A-C,A-T,R-P,P-S,S-T,T-B,B-D,D-C,R-S,R-B,
P-D,S-C,S-D,问贮藏这8种药品至少需要多少个房间?
S
TRP
CT
解以8种药品作为结点,若两种药品不能贮在同一个室
RP
C
内,则它们之间有一条边,这样得右图,转化为图的正常着
D
B
色问题。
(1)对各结点按度数的递减顺序排列为
SRDPCTAB;
A
(2)对S及不与之相邻点A,B着c色;
(3)对R及不与之
K1
K2
1
K9
J2
J3
J4
J1
相邻点D着c2色;
(4)对P和C着c3色。
故着色数
G3;
K8
K3
K4
K7
B1
B2
B3
B4
B5
又因为因S,D,P为K3子图,故着色数
3,从而
K6
K5
G3。
因此贮藏这8种药品至少需要
3个房间。
贮藏方式之一为
SAB,RDT,PC。
(考试排考或老师排课让选修的学生避免冲突的问题类似处理!
)
二、强连通一定单向连通,单向连通一定弱连通!
弱连通图单向连通图单向连通图
强连通图强连通图强连通图
弱连通图、单向连通图和强连通图
三、
哈密顿图欧拉图
同构的无向图
欧拉图
哈密顿图
均不是
同构的有向图
1、设G为无向欧拉图,求G中一条欧拉回路的Fleury算法如下:
第1步,任取G中的一
个结点v0,令P0v0;
第2步,假设Pi
v0e1v1e2Lviei已选好,按下面方法从
E
e1,e2,L,ei
中选ei1:
(1)ei1与ei相关联,
(2)除非无别的边可供选择,否则
ei1不
应该是GiG
e1,e2
L,ei的断边;
第3步,当第2步不能执行时,算法停止。
(有向欧拉图的欧拉回路可类似求出,可用于解决邮路问题)
邮路问题用图论的概念描述如下:
在一个带权图
G中,怎样找到一条回路
C,使得C包含
G中的每一条边至少一次,而且回路
C具有最小权。
C分以下三种情况:
(1)如果G是欧
拉图,必定有欧拉回路,
C即可找到;
(2)如果G是具有从vi到vj的欧拉通路的半欧拉图,
的构造如下:
找到从
vi到vj的欧拉通路及vi到vj的最小权通路(即最短路径)
--这两条
通路和并在一起就是最小权回路;
(3)如果G不是半欧拉图,一般说来,
G中包含多条边
的回路,其中夫的边数与奇数结点数目有关,若奇数结点多于
2,则回路中会出现更多的重
复的边。
问题是怎样使重复边的权综合最小。
在理论上已证明:
一条包括
G的所有边的回
路C具有最小权当且仅当:
(1,每条边最多重复一次,(2,在G的每个回路上,有重复边的权之和小于回路权的一半。
例:
求右图所示的带权图中最优投递路线,
邮局
40
在D点。
50
6
8G
E,F两个。
用标
35
解先观察奇度结点,此图中有
19
号法求出其间最短路径
EGF,其权为28。
然后
12D
23
20
将最短路径上的边重复一次,
于是得欧拉图G*,
30
10
F
求从D
出的一条欧拉回路,如
DEGFGEBACBDCFD
,其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23
。
2、求接近最小权哈密顿回路的“最邻近”算法:
设
V,E,W
是有n个顶点的无向完
全图,
(1)任取v0
V作为始点,令L
为v0
,k
0;
(2)令
wvk,x
min
wvk,vv不在L中,置vk1
x。
置Lv0v1Lvk
1,k
k
1;
(3)若
n1,转
(2);
(4)置Lv0v1Lvkv0
,结束。
(可近似解决货郎担问题)
例1
用最邻近算法求下图的最短哈密尔顿回路。
a
8
e
14
b
5
7
c
d
所得长度为14+6+5+5+7=37,与最短7+8+5+10+6=36很接近了!
例2求下图的最短哈密尔顿回路。
12
18
11
三条比较,最小权为47。
例3已知A,B,C,D,E,F,G7
dc
个人中,A会讲英语,B会讲英语和汉语,B
C会讲英语、意大利语和俄语,D会讲日语和汉语,E会讲意大利语A和德语,F会讲俄语,G会讲俄语、日语和法语。
能否将他们的座位
安排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?
(按哈密尔顿回路安排就是了!
)FE例411个学生要共进晚餐,他们将坐成一个圆桌,计划要求每次晚
餐上每个学生有完全不同的邻座,这样能攻进晚餐几天?
(
K11共有10
9
1111
55条边,每条哈密尔顿回路有
11条边,因而共有
5条没有公
2
共边的哈密尔顿回路,可吃
5天!
分别用
2,3,4,5与11互素,以它们为步长能找到!
半哈密顿图与哈密顿图补例:
彼德森图
补充内容:
设G是无向完全图,若对G的每条边指定一个方向,所得的图称为竞赛图。
证明:
在无又
向回路(或有向圈)的竞赛图D
VD,ED中,对任意u,vVD,dudv
(用反证法,见于《离散数学习题与解析》胡辛启清华第
2版)
可以证明:
对于每个竞赛图
D,至多改变一条边的方向后就可以变成哈密尔顿图。
四、求最小生成树
1、破圈法过程演示
(1)令EE;
(2)选取E中的一条简单回路C,设C中权最大的边为e,令EE{e};
(3)重复步骤
(2),直到EV1为止。
1224
91113
107
题目最后结果
2、Kruskal算法过程演示
(1)首先将边按权值由小到大排成序列
S,
令i
1,E
{S[1]};
(2)令i
i
1,选取边S[i]与
E中的边不构成简单回路,
则令E
U{S[i]};
(3)重复步骤
(2),直到E
V
1为止。
13
3、Prim算法过程演示
(1)从V
中任意选取结点
v0,令V
{v0};
(2)在V与V
V之间选一条权最小的边
e(vi,vj
),其中viV,vjV
并且令E
U{e},V
VU{vj};
(3)重复步骤
(2),
直到V
V为止。
增加破圈法一例演示:
4、求下列最小生成树的权值
22
C(T)=1+2+3=6
C(T)=1+2+3+1=7
15
36
28
17
16
C(T)=1+3+4+8+9+23=48
C(T)=1+2+3+5+7=18
617
716
86
1312
C(T)=3+6+6+7=22
911
64
13
C(T)=4+5+6+7=22
v2
v5
v1
v3
10v7
v6
v4
C(T)=2+3+4+5+6+10=30
100
C(T)=2+2+3+5+6+100=118
487
910
2012
C(T)=8+9+4+7=28
C(T)=1+3+3+2+1=10
98
32
5、在右图所示的带权图中,
共有多少棵生成树,他们的权各为多少?
,
其中哪些是图中的最小生成树?
a1b
322
d4c
w=8
w=6
w=7
w=9
五、求最优二叉树
对给定的实数序列
w1w2
L
wt,构造最优r元树的递归算法:
1、求最优二元树的
Huffman
算法:
第一步,连接以
w1,w2
为权的两片树叶,得一个分支点
及其所带的权w1
w2;
第二步,在w1
w2,w3,L,wt中选出两个最小的权,连接它们对应
的结点(不一定都是树叶),又得分支结点及其所带的权;
重复第二步,直到形成
t
1个分
支点,t片树叶为止。
2、求最优rr
元树的Huffman算法:
(1)若t
1为整数,则求法与求最优二元树的
r
Huffman算法类似,只是每次取
r个最小的权;
(2)若t
不为整数,得余数
s
[1,r
1),
将s
1个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的路径上,然后算法同(
1)。
1、找出叶的权分别为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41的最优叶加权二
叉树,并求其加权路径的长度。
wvLv789)
vV
313741
29
2、求带权为2,3,5,7,8的最优二元树T,并给出T对应的二元前缀码集合。
(B={00,010,011,10,11},W(T)=253233272855)
578
23
3、求带权为1,2,3,4,5,6,7,8的最优二元树T,并给出T对应的二元前缀码集合。
(B={000,001,01000,01001,0101,011,10,11},W(T)=102)
78
456
12
345623
4、
(1)求带权为1,1,2,3,3,4,5,6,7的最优三元树;
(2)求带权为1,1,2,3,
3,4,5,6,7,8的最优三元树
32
C(T1)=61,C(T2)=81
六、如图G
v2b
f
gv5
v1v4
图中的边割集有S1{a,f
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