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841
900
961
1089
立
立方
1000
1331
多
次
方
次方
2048
3125
1296
7776
数目较大的数字没有在空格中标出,因为数字推理中涉及的数字不会特别大。
(二)基本数列的表现形式
数列名称数列构成元素描述数列形式
自然数列 略1,2,3,4,5,6,…
偶数数列 偶数:
整数中,能被2整除的数2,4,6,8,10,12,…
奇数数列 奇数:
整数中,不能被2整除的数1,3,5,7,9,11,…
质数数列 质数:
只有1和其本身两个约数2,3,5,7,11,13,…
(考试中出现的机率大)
合数数列 合数:
除了1和它本身之外还有其他的约数的数4,6,8,9,10,12,…
平方数列 略1,4,9,16,25,36,…
立方数列 略1,8,27,64,125,216,…
(三)四个特征包含:
长列,特征为“7项以上”,口诀为“交叉组合三项和”;
分数列,特征为“含分数项”,口诀为“分数多拆分通分,分数少负次相除”;
次幂列,特征为“含次幂数”,口诀为“常见数敏感,通常考修正”;
质数列与合数列,特征为“由质数或合数组成”。
(四)相邻关系包括:
相邻两项的差,相邻两项的除,相邻两项的和(和数列),以及相邻两项的积(积数列)。
二、数列命题规律总结
数字推理主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律,从而得出最后的答案。
在实际解题过程中,根据相邻数之间的关系分为两大类规律:
(一)相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系,产生规律,主要有以下几种规律:
1.相邻两个数加、减、乘、除等于第三个数
2.相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三个数
3.等差数列:
数列中数字相减差为一个常数或为一组循环的常数
4.二级等差:
数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列
5.等比数列:
数列中相邻两个数的比值相等
6.二级等比:
数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列
7.前一个数的平方等于第二个数
8.前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数
9.前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数
10.隔项数列:
数列相隔两项呈现一定规律
11.全奇、全偶数列
12.排序数列
(二)数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。
1.数列中每一个数字都是n的平方构成或者是n的平方加减一个常数构成,或者是n的平方加减n构成。
2.每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成,或者是n的立方加减n构成。
3.数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数。
第二节题型透视与多维解题法
数项分类法:
第一类:
数项在五项以上的
1、隔项数列或分组数列
一般情况下,数项在五项以上多为隔项数列或分组数列。
2、非隔项或分组数列的
如果不是隔项数列,那么从数字的相邻关系入手,看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律,然后得出答案。
第二类:
数项在五项以下的
寻找数列中每一个数字在构成上的特点,寻找规律
数项变化分析法:
1、数列中的数项呈变化幅度不大,依次递增或递减
这一类的数列多为等差、等比、和数列
2、数列中的数项变化幅度大
这一类的数列多为幂数列、积数列
这里所介绍的是数字推理的总体规律,下面针对各种题型我给大家讲解规律和技巧。
数字推理题型与口诀
数字推理的总口诀是:
先看4个特征,再做4个相邻关系,最后考虑4个三项关系。
4个特征包含:
长列,特征为“7项以上”,口诀为“交叉组合三项和”;
分数列,特征为“含分数项”,口诀为“分数多拆分通分,分数少负次相除”;
次幂列,特征为“含次幂数”,口诀为“常见数敏感,通常考修正”;
质数列与合数列,特征为“由质数或合数组成”
4个相邻关系包括:
运算递推数列
数列的规律就是从第三项开始,每项都等于它的前面两项之和
在公务员考试中,对于运算递推数列的变形应用是多种多样的。
一、把运算递推规律改成减法
【例题1】
25,15,10,5,5,(
)
A.10
B.5
C.0
D.-5
【解析】
本题的数列规律是第一项减去第二项得到第三项。
即:
25-15=10,15-10=5,10-5=5
按照这个规律,(
)内的数应该是5-5=0。
所以,正确选项是C。
二、把运算递推规律改成乘法
【例题2】
3,4,6,12,36,(
A.8
B.72
C.108
D.216
本题的数列规律是前两项的乘积除以2得到后一项。
(3×
4)÷
2=6,(4×
6)÷
2=12,(6×
12)÷
2=36
)内的数应该是(12×
36)÷
2=216。
所以,正确选项是D。
三、把运算递推规律综合运用
【例题3】
1,3,4,1,9( )
A.5
B.11
C.14
D.64
本题的数列规律是前两项差的平方得到后一项。
(1-3)2=4,(3-4)2=1,(4-1)2=9
)内的数应该是(9-1)2=64。
所以,正确选项为D。
运算递推数列的变式虽然有很多,但是其变形主要有两种方法:
一是运算规律的变化,把单一的加法运算变成减法、乘法、除法、乘方,或者是这些运算的混合运算;
二是添加了常数项,比如上面的例题2,在乘法运算之后又添加了除以“2”这个常数项的运算。
随机组合数列
各种数列关系两两组合,甚至三种关系组合
1,1,3,7,17,41(
)
A.89
B.99
C.109
D.119
本题考查积数列与和数列的组合。
在题干中,任意三个相邻的项,右侧项等于中间项乘以2,然后再加上左侧项。
)内的数应该是(41×
2)+17=99。
所以,正确选项为B。
6,15,35,77,(
A.106
B.117
C.136
D163
本题考查“斐波纳契数列”的变式与等比数列的组合。
在题干中,从左到右两个相邻项的右项等于左项乘以2,并依次加上等比数列3,5,7。
)内的数应该是(77×
2)+9=163。
0,6,24,60,120,()
A.186
B.210
C.220
D.226
本题考查立方数列与项数关系的组合。
在题干中,13-1=0,23-2=6,33-3=24,43-4=60,53-5=120。
)内的数应该是63-6=210。
【例题4】
2,12,36,80,(
A.100
B.125
C.150
D.175
本题考查三级数列的组合应用。
第一步,数列每一项除以项数n,2/1=2,12/2=6,36/3=12,80/4=20,得到一个新的二级数列:
2,6,12,20。
第二步,把新二级数列的相邻项的后项减前项,得到一个简单的三级等差数列:
4,6,8,可知它的下一项为10。
第三步,还原得到数列为:
2,6,12,20,30。
二次还原可得:
2×
1=2,6×
2=12,12×
3=36,20×
4=80,30×
5=150。
)内的数应该是30×
所以,正确选项为C。
【例题5】
0,9,26,65,124,(
A.165
B.193
C.217
D.239
本题的数列规律是:
从左到右,奇、偶数项分别为自然数数列的立方再减1、加1,即:
第一项:
0=13-1
第二项:
9=23+1
第三项:
26=33-1
第四项:
65=43+1
第五项:
124=53-1
)内的数应该是63+1=217。
【例题6】
0,2,10,30,(
A.68
B.74
C.60
D.70
0=(1-1)3+(1-1)
2=(2-1)3+(2-1)
10=(3-1)3+(3-1)
30=(4-1)3+(4-1)
)内的数应该是:
(5-1)3+(5-1)=68。
所以,正确选项为A
(一)等差数列
知识要点提示:
数列中从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个常数叫做等差数列的公差,整个数字序列依次递增或递减,等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
公式:
an=an-1+d,n≥2(d为公差)
解题技巧一:
邻项相减法
数列中相邻两项相减差为一个常数或一组循环的常数。
【例题】1,4,7,()
A.8 B.9 C.10 D.11
解析:
后一项减去前一项差为常数3
答案为C。
相邻两个数字之间的差是一个常数3,所以括号中的数字应为7+3=10。
【例题】1,3,6,8,10,13,15,17,()
A.19 B.20 C.23 D.25
大家看到数列后首先要观察其特点,那么这个数列有什么特点呢,数项多,那么就有可能是以组为规律的数列。
答案为B,数列的后一项减去前项为一组常数,其规律是每隔三项以2,3,2的规律循环一次,所以括号中的数字应为17+3=20。
解题技巧二:
隔项相减法
数列中隔项相减差为一个常数。
【例题】1,5,2,7,3,9,4,(),()
A.5,6 B.11,5 C.6,9 D.7,12
答案为B。
本题是隔项相减的等差数列,奇数项是公差为1的等差数列,偶数项是公差为2的等差数列,所以括号中的数字应为11,5。
解题技巧三:
分组法
数列中将相关项分为一组,各组两项相减差为一个常数。
【例题】3,5,6,8,7,9,11,()
A.12 B.13 C.14 D.15
本题需进行分组,相邻的奇数项和偶数项为一组,偶数项减奇数项差是一个公差为2的等差数列,所以括号中的数字应为11+2=13。
升华思路——等差数列的变式
相邻项之差虽不是一个常数,但其构成的新的数列有着明显的规律性,这个数列可能是等差数列、等比数列、平方数列或者是加减常数的形式的数列,也称其为二级数列。
【例题】3,4,6,9,( ),18
A.11 B.12 C.13 D.14
本题中的相邻两项之差构成一个公差为1的等差数列,因此很快可以推算出括号内的数字应为9+4=13。
【例题】2,6,14,30,()
A.30 B.38 C.44 D.62
答案为D。
本题中的相邻两项之差构成一个公比为2的等比数列,因此很快可以推算出括号内的数字应为30+32=62。
【例题】2,3,7,16,( ),57
A.25 B.29 C.32 D.41
本题中的相邻两项之差构成一个平方数列,因此很快可以推算出括号内的数字应为16+16=32。
【例题】1,3,4,1,9,()
A.5 B.11 C.14 D.64
本题后项减前项的差的平方等于后一项。
解题法的优化选择:
在等差数列中一道题可能有多种解法,我们通过分析不同方法的优缺点,引导考生因题而选择出奇制胜的解题之法。
(二)等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个常数叫做等比数列的公比,整个数字序列依次递增或递减。
an/an-1=qq≠0(q为公比)
邻项相除法
相邻两项相除的商为一个常数或一组常数。
【例题】3,9,27,81,( )
A.243 B.342 C.433 D.135
答案为A。
运用邻项相除法,后一项除以前一项的商均为常数3,因此可以推算出括号内的数字应为81×
3=243。
隔项相除法
数列中隔项相除的商为一个常数。
【例题】1,1,3,2,9,4,27,( )
A.7 B.8 C.6 D.12
答案为B,此题为隔项等比数列,奇数列公比为3,偶数列公比为2,故答案为4×
2=8。
数列中将相邻项分为一组,各组两项之商为一个常数。
【例题】
,2,
,6,
,()
A.
B.
C.8 D.12
此数列两项为一组,后一项除以前一项的商均为2,因此可以推算出括号内的数字应为12。
升华思路——等比数列的变式
其规律是相邻两项的商并不是一个常数,但它们的二级数列是按照一定规律排列的。
相邻数之间的比构成一个新的等比数列,或者是自然数列、平方数列、立方数列,或者与加减常数的形式有关。
【例题】4,4,6,12,30,()
A.90 B.120 C.180 D.240
虽然此题中相邻项的商并不是一个常数,但它们是按照一定规律排列的:
1,1.5,2,2.5,3,形成了公差为0.5的等差数列,因此答案应为30×
3=90。
图形规律破解
1.平面图形空间还原-----------特殊的面,上下分区,特殊点。
2..图形叠加变化。
3.角或边的增减变化。
4.轴对称与中心对称。
5.图形相互置换------------数量置换
6.笔画问题-------------一笔画下来的图形,笔画数,特殊元素的笔画数规律。
7.线段问题------------线段间的角度变化
8.汉子问题-------------结构,笔画数的变化规律。
偏旁,部首,叠加。
9.视觉观察
10.九宫行列变化------各种图形的个数,
11.字母新解-----------笔画数,字母顺序
12.数字图形
图形推理“四三四四”特征
特性一:
对称性,有两种情况,一是图形本身具有的轴对称性和中心对称性。
二是格子的对称,比如5+1(题干为5个格子,加上答案的1个格子)、4+1(题干为4个格子,加上答案的1个格子)。
可以从中间划线,两边的格子形成左右对称。
特性二:
封闭性,有封闭和开发两种
特性三:
曲直性,有完全由曲线构成的图形和完全由直线构成的图形两种。
特性四:
立体性,这个非常简单,就是平面图形和立体图形的区别。
题型一:
“数量”题型:
标志是同种图形数量的变化。
比如题目中有几根线、几个面、几个点、几个角,几种图形(种数)等等。
题型二:
“位置”题型:
标志是图形形状数量上不变,只是位置变化。
比如,图形在图中上下移动,旋转等。
题型三:
“样式”题型:
有两种,一是图形形状部分变化(与位置题的区别);
二是样式遍历,也叫做样式守恒。
内外,内外分开看,用于有内外两层的图形。
字母,变化有三种:
一是字母顺序,二是封闭曲直性,三是笔画数。
汉字,也有三种变化,一是结构,比如上下、左右、中间等;
二是笔画;
三是含有同一种部分,比如“旁”、“站”都含有一个“立”字。
题型四:
阴影,就是出现黑白的情况。
平面移动题,把平面图形的几个组成部分拆开,拼成一些新的图形,判断哪个选项是原来的图形。
六面骰子题,就是把一个6面的骰子拆开成平面,然后问组合在一起是什么样子,本来一个骰子只有3面可以被人看到,所以考察的是空间组合后三个面的关系。
这个题考了很多年,考的可能性很大。
部分拼图题,就是给考生4个部分,然后问这4个部分拼在以一起是什么图形。
线段组合题,告诉一些线段,然后问这些线段可以拼成什么图形,选项用4幅图表示。
和平面拼图的差异是,拼图是按把原图拆分成几个更小的图形,线段组合是把原图拆成线段。
图形推理口诀
拿题首先看四性(有没有对称,有没有曲直,有没有封闭,有没有立体),没有四性用数量、位置、样式来解题,解题的过程中注意“内外字母汉字阴影”。
一、数量口诀:
点线角面素,观察数规律。
(一)用点线角面素,把图中的数字挖掘出来:
“点”的意思是:
如果图中交点明显,应该数点的数量,
“线”的意思是:
如果图中全部为线段,应该数线的数量,
“角”的意思是:
如果图中角比较多,应该数角的数量(圆弧在国考里面为0角0边),
“面”的意思是:
如果图中全部是封闭的区域,应该数面的数量
“素”的意思是:
如果图中有几种不同的元素,应该数元素种类的数量
(二)计数之后,观察数字规律。
数字规律有以下几种形式:
排列顺序:
比如偶数列、奇数列、和数列,跳跃列,现在只有递归列没有考过。
结合位置:
比如下面这道06年国考题,把位置和数量揉合在一起进行考察,不仅要考虑每一行三个图形的数的变化,而且要考虑在每行中的三个图形的第一列,点数都是相同的。
缺少数字:
比如下面这道08年国考题,出头的点数形成规律:
3个、5个、1个、2个、0个,在这个自然数列中缺少4这个数字
等效计算:
比如下面这道真题,第一格是2个白圈,第二格是3个白圈,第三格是1个黑圈+2个白圈,推断1个黑圈等于2个白圈,在第四和第五格验证,满足推断,
算式题的解题方法
1.凑整法
2.观察尾数法
3.合并相同项法
4.去掉相同项法
计算题解题思路
步步为营法。
【例2】设有7枚硬币,其中五分、一角、五角的共三种,
且每种至少有一枚。
若这7枚硬币总价值为1.75元,则五
分的至少有几枚?
()
A.
1B.2C.3D.4
【解析】
答案选C
依题意,每种硬币至少有一枚,3种硬币各1枚的值相加为:
5分十10分+50分=65分,总价值已知是175分,从中减去
65分剩110分。
如果5分的再有1枚,那么剩下的105分被10
分和50分怎么也分不均,如果5分的再有2枚,那还剩110分
-10分=100分,正好是2个50分之和。
因此,5分的至少有3
枚为正确答案。
在本题中,一枚不够就两枚,两枚不够就3
枚,这样“一步一步”就叫步步为营。
临界状态法
【例3】一副扑克有四种花色,每种花色各有13张,共52张
(抽出大小王不计)。
现在从中任意抽牌,问最少抽几张牌,
才能保证有4张牌是同一种花色的?
A.12B.13C.15D.16
答案选B。
依题意,从一副朴克牌中最少抽几张,方能保
证有4张是同一花色的?
解题时不能想当然,应严格从给出的4
个选项中挑选正确答案。
四个选项中最小的是12张,这恰好是
每种花色3张的“临界状态”,再多一张将满足设定条件的要求,
即再从中往意抽一张(大小王已经不在内),即可保证有1种是
4张的了,也就是说,到13张时就能保证有4张是同一花色的了。
因此,B选项是正确答案。
【例4】从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌,才能保证至少
6张牌的花色相同?
21B.22C.23D.24
道理同上题.该题与上题不同之处有二∶-是完整的朴克牌将大
小王计算在内,共54张;
二是给出的选项最小的是21张。
那么,该
题的“临界状态”是22张,也就是抽出20张有效牌时正好每种花色的5
张,再加上大小王,正好是22张。
所以再任意抽取一张,即到23张
时,就能保证有一种花色的是6张了。
故正确答案选C。
分段计算的
【例6】某农村产品推销服务公司推销农产品项目所涉及的金额按
一定比例收取推销费,具体标准如下:
1000元(含)以下收5元;
1000元以上5000元(含)以下部分收取3%;
5000元以上,10000
元(含)以下的部分收取2%。
(如一项农产品所涉及金额为5000
元时应收125元)。
现有一农产品价值10000元,问所收取的推销费
为
多少元?
200B.225C.250D.275
1000,5元。
(5000-1000)*0.03=120.(10000-5000)*0.02=100
集合法
【例7】某大学某班有学生50人报名参加校运动会,其中报名参加
田赛项目的有40人,报名参加径赛项目的有25人。
据此可知,该班
报名参加田赛和径赛两项目的有多少人?
A.至少有10人B.有20人
C.至少有15人D.至多有30人
顾名思义,本题将各部分人相加(即集合之意),也就是将该班报
名参加田赛与径赛的人数相加,然后减去全班的实际人数,其差即
两项比赛都报名参加的人数.
倒扣分法
【例题8】某次考试有15道判断题,答对一道得8分,不答或答错
一道倒扣4分,某学生得96分,问该学生答对了几道题?
11B.12C.13D.14
【
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