完整版流体力学NS方程推导过程Word下载.docx
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质量守恒定律的流体表达
根据质量守恒定律,我们知道,在流场取的控制体满足如下物理规律:
控制
体的总质量不随着运动而变化的,在运动过程中控制体始终由相同流体微团组成,
因此利用流场物理量将物理规律用数学公式表达可得:
Dt
dV0
根据引论1中的内容,上式左边随体导数可以采用两种形式的偏导数表示:
dVVt
vvv
qvndSvdV=0
DVt
(1)微元体表达形式:
v
v=0t
根据引论1中微元体的随体导数关系可以得到:
D
v-0或者v=-
(2)张量表达形式:
Xj(uj)=0
3动量方程:
牛顿第二定律的流体表达
根据牛顿第二定律,流场中取出控制体满足如下规律:
某一时刻,控制体中所有流体微团的总动量随时间的变化率=控制体中所有流体微团受到的合力控制体受力主要包括表面力和体积力,表面力作用于物体表面,例如压力等应力,表面力可以分解为法向力和切向力,法向力通常为压力,切向力通常为粘
性力(当然这不是绝对,因为法向力还包括流场可压缩性引起的法向应力);
体积力作用于流场中每一个流体微团,例如重力,电磁力等。
因此,牛顿第二定律可以表达为:
控制体总动量随时间变化率=控制体表面
力合力+控制体体积力合力(为了推导方便,下面将体积力忽略,在重力等法向
力影响较大时,将该项加入即可)。
利用流场变量可以将上述定律表达为数学公式:
其中根据引论1和引论2,可知方程左边具有两种偏导数表达形式,
L
V
R=
(1)微元体表达形式:
Dv=
-P
t
根据引论2,上式左边具有这两种偏导数表达形式(一种根据定义,一种引入质量守恒关系)
Dvvvv
Dt=
+vt
v-
Dui=
Pij
XiXj
根据引论2,上式左边具有两种偏导数表达形式(一种定义,一种引入质量守恒):
Dmuiuiui
=+uj=+—uiuj
DttXjtXj
(3)补充说明1粘性应力表达式
上述公式中,我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式,其中表面压力
为法向力,粘性力由流体粘性引起,包括法向力和切向力,根据各项同性假
设,粘性应力张量可以表达为:
其中,\miu称为动力粘性系数。
粘性应力表达为:
UiUj2Uk
ij
XjXi3Xk
(4)补充说明2:
粘性应力的空间导数
在动量方程中,粘性应力的空间导数可以表达为:
ijUi
Uj
2
Uk
Ui
XjXjXj
X
3
Xk
Xj
Xi
uis
ui
uk
xjxj3xj
如果流场为不可压缩s=0并且粘性系数不随空间改变,即温度不变,可以简化为:
whens0,
(5)补充说明3:
动力粘性系数表达式:
该公式中动力粘性系数是流体的基本变量,该系数表征流体分子之间动量交换的快慢程度,与流场的温度相关,与压力等其他变量关系较小,在温度为
100到1900K范围,可以采用Sutherland公式进行表达:
T15ToTrefT1'
5T01.5
0-/0,whenT[100,1900]K
0T0TTrefTTrefT0Tref
其中,
Tref=110.3,TO和\miu0则可以采用任何温度的结果,例如在常温
288K情况下,动力粘性系数为1.7894X105。
4能量方程:
能量守恒定律的流体表达
根据能量守恒定律,流场中取出控制体满足如下物理规律:
控制体的总能量增加=控制体受到外力做功+外界向控制体热传导
能可以采用定容比热乘以温度得到):
Dtv
12vvtvvv
evdV-pvndSvndSkTndS
SSS
其中,根据引论
1和2可知,方程左边具有两种偏导数表达形式:
12
12v
L=
e—v
dV=
—e
v+
e-vv
dV
tv
pv
kT
(3)微元体表达形式:
e
v=
ev
—
根据引论1和2可知上式具有两种偏导数表达形式:
D12ev=Dt2
(2)张量表达形式
A:
总能公式E=e+V/2
根据引论1和引论2,上式左边具有两种偏导数表达形式:
DE
E
EUjXj
E
EUj
B:
内能公式
e=E-
6/2
DeD
匚1
Du|
Du|DE
pij
U|
i
U|U|-
DtDt
X|Xj
将总能关系式代入上述公式可得:
De
T
pUj
ijU|
——k——
U|U|
ps
Xj右
XXj
Xj%
因此可得内能关系式为:
Deps口』一k丄
Dt为为Xj
根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式,略
C:
焓公式h=e+p/rou
DhDp
一e-
=DeDppD
Dpps
将内能关系式代入上式可得:
Dh一
dp
——k-
T
Dtij
根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式,
略。
D:
总焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou
DhoD12
—K—\/
Dh
Dh
p,,
0I
=hv=uIuIuI
DtDt2DtDtDtXiXj
注意上式中采用了引论2中的内容,将焓关系式代入上式可得:
Dho=DpU|_kT
j
DtDtxjxjxj
于是可得总焓关系式为:
Dho_pijuiT
=k—
DttXjXjXj
E:
熵公式Tds=dh-dp/rou
根据熵公式,可得熵的随体导数为:
DsDhDpui,T
T=ijk-
DtDtDtxjxjxj
根据引论1和引论2,上式左边具有两种偏导数表达形式,略。
根据熵公式,可以知道,熵的增加主要来自两个部分,一是粘性力引起,二是热传导引起,如果流场中粘性应力和热传导都可以忽略,则流场满足等熵关系。
(3)补充说明:
粘性力耗散
几个公式中都存在粘性力的做功项,称之为耗散项fai,该项具体表达式可
以表示为:
u
U
2Uk
2Xj
3Xk
Uju
iUj
Uk_UiUj
iXi
ijc
Xk2XjXi
4A2
14A2
4A33
2(A2
A21)
22(珞A2)22(A31A3)2
4
A1
A22A
53
2A
2A2
2A3
(A2
珞)2
(A23
A32)2(A31A3)22
A22
A33
A21)2
A32)2
(A.1
A3)2
6A216A26焉2
A2)2
2(A1A22)2(A22
A33)2
(A
)A1)2
2222222
(Al2珞)2仏3A32)2(AlA3)2亍(AlA2)2gA33)2(A33Al)2
其中:
5附件:
随体导数的偏导数表达(控制体/微元体?
包含密度?
)
引论1:
控制体和微元体的随体导数表达式
Dv
V一Ui——
Dtttxj
Dvvv
dVdVovndSvdV
DtVvt□vt
利用随体导数物理定义和数学上导数定义(求极限方法)容易得到第一个公式,利用控制体积分量的随体导数物理定义,也容易得到第二个公式,在流体力学教材中也很容易找到这两种随体导数的定义。
为什么这么做,写出这样一个公式?
因为随体导数是拉格朗日观点,随体导数非常符合物理思维,利用随体导数很容易表达物理规律,例如牛顿第二定律F=ma,因此推导公式过程中经常采用随体导数。
不过流场中物理量通常采用随时间和空间变化的四维函数,直接利用该函数无法得到随体导数,只能得到一些偏导数,需要根据随体导数的物理定义将随体导数表达成合成偏导数形式。
引论2:
包含密度的控制体和微元体随体导数
在后续方程推导中经常出现包含密度的随体导数情况,将包含密度的随体导数利用连续性方程进行化简,可以极大简化推导难度。
包含密度的随体导数利用了引论1+连续性方程,也就是随体导数定义和连续性方程两个规律,具体推导如下:
vv
vdV
DdV
vt
vDt
\f
整理一下这两个关系式可以得到:
\/
说明物理是控制体还是微元体,带密度随体导数都包含两种表现形式,一种是引论1中的物理定义形式,另一种是加入了连续性方程以后的变形形式,这两种形式都很重要,为了学好流体力学,都需要牢记。
为什么引入引论2,如引论1中所述的理由一样,利用随体导数表达物理规律更加方便,然而随体导数无法直接利用流场物理量计算得到,于是需要各种化简得到容易处理的结果
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