流体的有旋流动和无旋流动Word格式文档下载.docx
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B点在
x轴方向的分速度不同于
x轴方向的分
速度时,流体微团才会发生旋转。
y轴方向的分速度和
x轴方向的分速度可按
泰勒级数展开,并略去高阶无穷小量而得到,它们分别为
uy
uy
dx和ux
ux
dy,它
x
y
dx和
dy,所以它们相对
们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度)分别为
于O点的角速度(逆时针方向旋转为正
)应为
A点上
dx/dx
B点上
uxdy/dy
而对于微团中其它各点绕
z轴转动的角速度(如C点等)则是由该点y向的分速度在
x轴方向
的变化量和
x向的分速度在
y轴方向的变化量共同产生的。
因此,我们可以把整个微团绕
z
轴转动的分角速度用
OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示,即
1
(
)
2
同理,可求得流体微团绕
x轴和y轴转动的角速度分量
ωx和ω。
于是流体微团旋转角速度y
的三个分量分别为
uz
1(
uz)
(4-1)
而
(4-2)
写成向量形式为
i
yj
zk
u
1rotu
(4-3)
j
k
(uz
uy)i(ux
uz)j(
ux)k
rout
式中:
k为哈米尔顿算子,
rotu为速度u的旋度,在流体力学中也称
为流场的涡量,一般用表示,即2。
那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为
(4-4)
(4-5)
当涡量
rotu0,即ωx
=ω=ω=0时,流体的流动是无旋的,称为无旋流动,否
yz
则称为有旋流动。
应当指出,判断流体微团是有旋流动还是无旋流动,完全取决于流体微团是否绕其自身
轴旋转,而与流体微团本身的运动轨迹无关。
如图4-3所示,流体微团的运动轨迹均为圆
周线,在(a)中微团自身有转动,是有旋流动;
在(b)中微团自身没有转动,是无旋流动。
(a)有旋流动(b)无旋流动
图4-3流体微团的运动轨迹
对于圆柱坐标系来说
uuriruθiθuziz
因此,用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算
公式,即
r
uθ)
θ
1(ur
(4-6)
1(uθ
uθ
ur)
(4-7)
ur
(4-8)
(4-9)
写成向量式为
rir
θiθ
ziz
(4-6a)
(4-8a)
三、线变形运动
线变形运动是指流体微团的形状随时间在变化,而微团的形心位置和方位并不改变的一
种变形运动。
所以线变形运动又称作体变形运动。
对于不可压缩流体来说,流体微团的线变
形运动并不改变其体积的大小。
图4-4
微团线变形运动分析
流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量
(或缩短量
)来表示
的。
线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用
ε、ε、ε表示。
如图
xyz
4-4所示,在流场中任
取一流体微团,形心点为
O,OA
平行于
x轴,长度为
dx,OB
y轴,长度为
dy,OC
z轴(垂直于纸面
),长度为
dz。
形心
O点处流体质点的速度
u在各坐标轴上的分量为
ux、uy、uz。
A点的x向分速度和B点的y向分速度及C点的z向分速度可按泰勒级数展开
dx、uy
uzdz。
则A
并略去高阶无穷小量得到,它们分别为
dy和uz
点相对O点在x轴方向的相对速度为
uxdx;
B点相对O点在y轴方向的相对速度为
dy;
C点相对O点在z轴方向的相对速度为
dz。
就是由于这些相对速度的存在,
将造成流体微团在各坐标轴方向伸长
(或缩短)。
在
dτ时间内OA在x轴方向的伸长量为
uxdxd;
在dτ时间内OB在y轴方向的缩短量为
uydyd;
在dτ时间内OC在z轴方
向的伸长量(或缩短量)为uz
。
则在x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长
dd
量为
dxd
在y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
dyd
yuy
dydy
同理,在z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)为
dzd
zuz
dzdz
由此得到流体微团的线变形运动速度分量为
(4-10)
如果我们用ε来表示流体微团在单位时间内的体积变形率,或称体积膨胀率,则有
divu
(4-11)
xyz
divu为速度u的散度。
显然,对于不可压缩流体,
ε=0,即体积变形率为零。
四、角变形运动
如果流体微团内各点的受力不均,有切向力存在时,将会使流体微团产生角变形运动。
角变形运动的快慢程度用角变形速度θ来度量。
角变形速度的大小常用流体微团中某一直角
的角度在单位时间内的改变量的一半来表示,它在各坐标轴方向的分量分别用θ,θ,θ表
示。
在流场中任取一流体微团,如图4-5所示。
设O点在x轴和y轴方向的分速度分别为
ux和uy。
A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开,并略去高
uxdy,相对于O点而言,A点在y
阶无穷小量而得到,它们分别为
方向的分速度为
dx;
B
点在x方向的分速度为
dy。
因此,相对于O点的对应的角
速度分别为
uydx/dx
图4-5微团角变形运动分析
在dτ时间内对应的角度变化量分别为
d
,d
uxd
则∠AOB在dτ时间内的总变化量为
uxd(
ux)d
于是,流体微团在xoy平面内的角变形速度为
ux)
同理,可得到流体微团在
yoz平面和xoz平面内的角变形速度。
因此,流体微团在三个不同
平面内的角变形速度分量分别为
uy)
(4-12)
(4-13)
上面我们对流体微团的移动、
转动和变形运动分别进行了讨论和分析,
但在实际情况下,
流体微团的运动一般都同时存在着移动、转动和变形运动。
因此,在分析流体的实际运动状
态时,应当进行综合分析和研究。
例4-1有一平面流场的速度分布为:
,求此流场中在x=1,
ux=xy+y
,uy=x
-xy
y=2点处的旋转角速度、角变形速度和体积膨胀速率。
解旋转角速度为
角变形速度为
2y)
(2x
(xy)
1(x2
y2)
31
2y)
1(x2
3
体积膨胀速率
xy
2xy
由此可知,该流场为稳定流场,在
x=1,y=2
处为顺时针旋转;
角变形减小
(角收缩变形);
没有体膨胀变形,在
x轴方向和y轴方向的线变形速率的绝对值均为
2xy=4。
例4-2试判断下列流场是有旋流场还是无旋流场。
(1)ux=y+z+1,uy=x+z+2,uz=x+y+3
=2rsinθcos,θu=2rsin2
θ,uz
=0
(2)ur
解
(1)
1(1
1)
1(ux
1(11)0
(1
所以此流场是无旋流场。
=ω=0
(2)此流场是二维流场,即ωr
1[2sin2
2sin212r(cos2
sin2)]
2r
3sin
cos
故此流场是有旋流场。
例4-3
若流体质点的运动轨迹是直线,这种流动是否一定是无旋流动
?
若流体质点的
运动轨迹是曲线,这种流动是否一定是有旋流动
试举例说明。
解流体的流动是有旋还是无旋,是根据流体质点本身是否具有旋转这一特征来划分
的,而并不涉及流体质点的运动轨迹是直线还是曲线。
流体作直线运动,可以是无旋流动,
也可以是有旋流动;
而流体作曲线运动,可以是有旋流动,也可以是无旋流动。
现举例说明
如下
(a)流体的流动速度为ux=3y-2y2,uy=0,uz=0。
显然,此流场是稳定流场,并且流线和迹线都是直线,即流体在作直线运动,但是
(03
4y)2y
所以,此流动为有旋流动。
(b)流体的流动速度为
=0,u=c
,u=0
(c为常数)。
显然,此流场为稳定流场,并且流线和迹线都是同心圆周线,即流体是作曲线运动,但是
1(uθ
1(c
c
0)0
2r2
r2
所以,此流动为无旋流动。
第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度
在有旋流动的流场中,全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转,于是就形成了一个用
涡量或角速度表示的涡量场,或称为旋涡场。
如同在速度场中曾经引入流线、流管、流束和
流量一样,在涡量场中,我们引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。
涡线是这样一条曲线,在给定瞬时,曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度
方向相重合。
因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的,所以涡线也就是沿曲线各
个流体微团的瞬时转动轴线,如图4-6所示。
一般而言,涡线并不与流线相重合,而是与
流线相交。
在稳定流场中,涡线不随时间而改变。
图4-6涡线图4-7涡管
从概念上讲,涡线和流线两者是很相似的。
其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线
的线速度向量。
从涡线的定义我们知道,涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋
转轴,而其向量代表流体微团的旋转角速度。
于是,我们可用推导流线微分方程类似的方法
得到涡线微分方程,即
dxdydz
(4-14)
在给定的瞬时,在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线,通过该封闭曲线上每一点作涡
线,这些涡线构成一个管状表面,称为涡管,如图4-7所示。
涡管中充满着作旋转运动的
流体,亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族,称为涡束。
在稳定流场中,涡管和涡束的形
状不随时间而改变。
垂直于涡管中所有涡线的截面称为涡旋截面。
涡管中涡量与涡旋截面的
乘积称为旋涡强度,也称为涡管强度或涡通量。
常用I来表示。
对于涡旋截面为dA的微元涡管(或涡束),其旋涡强度为
dI
rotudA
dA
(4-15)
那么,整个涡管的旋涡强度可表示为
Irout
A
xdAxydAyzdAz
(4-16)
在上一章我们讲到,流体的流量和质点的速度可以利用伯努利方程通过测量压力差来计
算,但旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得。
根据实际观察发现,在有旋流动的流场
中,流体环绕某一核心旋转时,旋涡强度越大,旋转速度越快,旋转的范围就越扩大。
因此
可以推断,在有旋流动中,流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的
关系。
为了解决这个问题,我们需要引入速度环量的概念,利用速度环量可以计算流场中的
旋涡强度。
图4-8速度环量
在流场中任取一封闭曲线S,如图4-8所示,则流速u沿此曲线的积分称为曲线S上的速度环量,用Γ表示。
即
Γudsuxdxuydyuzdz(4-17)
ss
速度环量是个标量,它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向。
一般规定积分时以
逆时针方向绕行为正。
即当速度u在积分线路ds上的投影与ds同向时,Γ为正,反之为负。
设封闭曲线S所包围的区域A为单连通域,根据数学分析中的斯托克斯公式,沿封闭曲
线S的线积分可以化为以S为边界的曲面A的面积分。
s
uds
uxdxuydy
)dydz
xdAx
ydAy
uzdz
)dzdx
)dxdy
(4-18)
zdAz
routdA
亦即ΓI(4-18a)
式(4-18)表明,在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度。
这个结论在流体力学中称为斯托克斯定理。
由斯托克斯定理可知,速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在,而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度。
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