初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第二部.doc
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初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第二部.doc
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初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题
第二部
例11、(想一想、思一思、多种方法全等)如图,在△ABC中,,,为的中点,分别交、于、.
想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.
证明:
过点P作AC,BC的垂线,垂足为M,N
∴△PEM≌△PFN(AAS)
PE和PF是相等的关系
例12、(想一想、思一思、多种方法相似)如图,在△ABC中,,,为上一点,且,分别交、于、.
想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.
证明:
过点P作AC,BC的垂线,垂足为M,N
∴△PEM∽△PFN(AAA)
PE=k·PF
例13、(想一想、思一思、多种方法相似)如图,在△ABC中,,为上一点,且,,的两边分别交、于、.
想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.
证明:
MP∥BCPN∥ACMP=PQ
∠EPQ=∠NPF∠EQP=∠PNF
∴△EPQ∽△FPN
MP:
PN=EP:
PF
△AMP∽△PNB
AM=MP
AP:
PB=EP:
PF
EP=k·PF
例14、(想一想、思一思、多种方法全等)如图,,,.
想一想、思一思、咱来探究:
与之间的数量关系
证明:
过点E作AB的平行线交BD于G
平行三角相等,EG=ED=AB
∴△ABF≌△EGF(AAS)
AF=EF
证明二:
在BD上取一点G,使BG=DG
由角证AB与EG平行,从而全等
证明三:
延长AB、DE交于G,模型就改变了
例15、(想一想、思一思、多种方法相似)如图,,,.
想一想、思一思、咱来探究:
与之间的数量关系
证明:
过点E作AB的平行线交BD于G
平行三角相等,
∴△ABF∽△EGF
AF=k·EF
例16、如图,直线L1、L2相交于点A,点B、点C分别在直线L1、L2上,AB=k﹒AC,连结BC,点D是线段AC上任意一点(不与A、C重合),作∠BDE=∠BAC=α,与∠ECF的一边交于点E,且∠ECF=∠ABC.
⑴如图1,若k=1,且∠α=90°时,猜想线段BD与DE的数量关系,并加以证明;
⑵如图2,若,时,猜想线段与的数量关系,并加以证明.
证明:
(1)连接BE.
∵∠ECF=∠ABC,
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
∴∠BCE=∠BAC;
∵∠BDE=∠BAC=α=90°,
∴B、E、D、C四点共圆,
∴∠BED=∠BCA,
∴△BED∽△BCA,
∴BD:
DE=AB:
AC=k=1,
∴BD=DE.
(2)连接BE.
∵∠ECF=∠ABC,
∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
∴∠BCE=∠BAC;
∵∠BDE=∠BAC=α,
∴B、E、D、C四点共圆,
∴∠BED=∠BCA,
∴△BED∽△BCA,
∴BD:
DE=AB:
AC=k,
∴BD=k•DE.
问题解析
(1)连接BE.若k=1,且∠α=90°时,要求线段BD与DE的数量关系,可以通过证明△BED∽△BCA得出;
(2)连接BE.若k≠1,且∠α≠90°时,要求线段BD与DE的数量关系,可以通过证明△BED∽△BCA得出.
名师点评
本题考点:
确定圆的条件;圆周角定理.
考点点评:
本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,综合性较强,有一定的难度.解题的关键是确定B、E、D、C四点共圆.
二.倍长中线法:
例17、(想一想、思一思、多种方法全等)如图,点是中点,,求证:
例18、(想一想、思一思、多种方法相似)如图,AD是△ABC的中线,AB=k﹒AC,点E是AC延长线上一点,且∠AEF=∠BAD,EF交BA延长线于点F.想一想、思一思、咱来探究AE、AF的数量关系.
AE=kAF
证明:
延长AD到G,使DG=AD,连接BG、CG,
则ABGC是平行四边形,AB∥=CG
∴∠BAG=∠AGC就是∠BAD=∠AGC
而∠BAD=∠AEF
∴∠AGC=∠AEF
又∠FAE=∠ACG(平行线内错角相等)
∴△AEF∼△CGA
∴AE/AF=CG/AC
∴AE/AF=AB/AC
因为AB=kAC
∴AE=kAF
例19、(想一想、思一思、多种方法全等)如图,在△ABC中,,,是边的中线.求证:
证明:
延长AE到F,使EF=AE
∠ADC=∠B+∠BAD=∠BDA+∠BDF=∠ADF
AB=BD=CD=DF
∴△ADF≌△ADC(SAS)
AC=2AE
例20、(想一想、思一思、多种方法相似)如图,在△ABC中,,,是边的中线,且.
想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.
证明:
延长AE到F,使EF=AE
∠ADC=∠B+∠BAD=∠BDA+∠BDF=∠ADF
∴△FDA∽△ADC
AE=k·AC
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