初中数学竞赛轮换式和对称式.docx
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初一数学联赛班
年级
第2讲轮换式和对称式
知识总结归纳
一.基本轮换式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
二.齐次轮换式:
(1)一次齐次轮换式:
(2)二次齐次轮换式:
(3)三次齐次轮换式:
以上都是待定的常数
二.轮换式与对称式的分解的一般方法:
首先,把它看成一个字母的多项式,用试根法,找出一些因式;然后,根据轮换式的特点,导出更多的因式;最后,用待定系数法求出其余的因式.
非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和,对每个齐次轮换式进行分解,再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法,不一定非用一般的方法去分解.
对于的多项式
在字母与互换时,保持不变,这样的多项式称为的对称式。
类似的,关于的多项式
在字母中任意两字互换时,保持不变.这样的多项式称为的对称式.
关于的多项式
在将字母轮换(即将换成,换成,换成)时,保持不变.这样的多项式称为的轮换式。
显然,关于的对称式一定是的轮换式.但是,关于的轮换式不一定是的对称式.例如就不是对称式.
两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)。
轮换式与对称式反映了数学的美.它们的因式分解也是井然有序的,可以按照一定的规律去做。
典型例题
一.典型方法
【例1】分解因式:
.
【例2】分解因式:
.
【例3】分解因式:
.
【例4】分解因式:
.
【例5】分解因式:
.
二.齐次与非齐次
【例6】分解因式:
.
【例7】分解因式:
.
三.公式
【例8】分解因式:
.
【例9】分解因式:
.
四.综合提高
【例10】分解因式:
.
【例11】证明:
能被整除.
【例12】是大于1的自然数,证明:
能被
整除.
【例13】分解因式:
.
【例14】已知:
.求证:
(为自然数).
【例15】已知有理数、、满足,求证,或,或.
【例16】求证:
.
【例17】求证:
.
【例18】求证:
,其中.
思维飞跃
【例19】分解因式:
.
作业
1.分解因式:
.
2.分解因式:
.
3.分解因式:
.
4.分解因式:
.
5.分解因式:
.
6.分解因式:
.
7.分解因式:
.
8.分解因式:
.
9.分解因式:
.
10.证明:
.
11.已知,,是三边边长.
求证:
.
12.已知:
,求证:
三个数中,一定有两个数的和等于第三个数。
11
思维的发掘能力的飞跃
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- 关 键 词:
- 初中 数学 竞赛 轮换 对称