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初等代数
一、实数
(一)绝对值的性质与运算法则
4、
(二)绝对值的非负性
即
归纳:
所有非负的变量
1、正的偶数次方(根式),如:
2、负的偶数次方(根式),如:
3、指数函数
考点:
若干个非负数之和为0,则每个非负数必然都为0.
(三)绝对值的三角不等式
二、代数式的乘法公式与因式分解
(平方差公式)
2、
(二项式的完全平方公式
(巧记:
正负正负)
(立方差公式)
三、
方程与不等式
(一)一元二次方程
设一元二次方程为,则
1、判别式
二次函数的图象的对称轴方程是
,顶点坐标是。
用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有
三种形式,即
,
和(顶点式)。
2、判别式与根的关系之图像表达
△=b2–4ac
△>
△=0
△<
0
f(x)=
ax2+bx+c
(a>
0)
f(x)=0根
无实根
f(x)>
0解集
x<
x1
或x>
x2
X∈R
f(x)<
0解集
x
1
<
x<
x∈f
3、根与系数的关系(韦达定理)
的两个根,则有
利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来:
(1)
(3)
(二)、一元二次不等式
1、一元二次不等式的解,可以根据其对应的二次函数的图像来求解(参见上页的图像)。
2、一般而言,一元二次方程的根都是其对应的一元二次不等式的解集的临界值。
3、注意对任意x都成立的情况
(1)对任意x都成立,则有:
a>
0且△<
(2)ax2
+bx+c<
0对任意x都成立,则有:
a<
4、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点
(三)其他几个重要不等式
1、平均值不等式,都对正数而言:
两个正数:
n个正数:
平均值不等式,等号成立条件是,当且仅当各项相等。
2、两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是(助记:
从小到大依次为:
调和·
几何·
算·
方根)
等号成立条件都是,当且仅当各项相等。
3、双向不等式是:
左边在时取得等号,右边在时取得等号。
四、数列
(一)
公式:
(二)等差数列
1、通项公式
2、前n项和的3种表达方式
第三种表达方式的重要运用:
如果数列前n项和是常数项为0的n的2项式,则该数列是等差数列。
3、特殊的等差数列
常数列
自然数列
奇数列
偶数列
etc.
4、等差数列的通项和前的重要公式及性质
(1)通项(等差数列),有
(2)前的2个重要性质
Ⅰ.仍为等差数列
Ⅱ.等差数列和的前,则:
(三)等比数列
2、前n项和的2种表达方式,
(1)当时
后一种的重要运用,只要是以q的n次幂与一个非0数的表达式,且q的n次幂的系数与该非0常数互为相反数,则该数列为等比数列
(2)当时
3、特殊等比数列
非0常数列
以2、、(-1)为底的自然次数幂
4、当等比数列的公比q满足<
1时,=S=。
5、等比数列的通项和前的重要公式及性质
Ⅰ.
若m、n、p、q∈N,且,那么有。
Ⅱ.
前的重要性质:
仍为等比数列
五、排列、组合
(一)排列、组合
1、排列
2、全排列
3、组合
4、组合的5个性质(只有第一个比较常用)
(2)
(助记:
下加1上取大)
(3)=
(见下面二项式定理)
(4)=
(5)
(二)二项式定理
1、二项式定理:
可以通过二项式的完全平方式来协助记忆各项的变化
2、展开式的特征
(1)通项公式
3、展开式与系数之间的关系
与首末等距的两项系数相等
展开式的各项系数和为
(证明:
,即轻易得到结论)
(3),展开式中奇数项系数和等于偶数项系数和
(三)古典概率问题
1、事件的运算规律(类似集合的运算,建议用文氏图求解)
(1)事件的和、积满足交换律
(2)事件的和、积交满足结合律
(3)交和并的组合运算,满足交换律
(4)徳摩根定律
(6)集合自身以及和空集的运算
(7)
(8)
2、古典概率定义
3、古典概率中最常见的三类概率计算
(1)摸球问题;
(2)分房问题;
(3)随机取数问题
此三类问题一定要灵活运用事件间的运算关系,将一个较复杂的事件分解成若干个比较简单的事件的和、差或积等,再利用概率公式求解,才能比较简便的计算出较复杂的概率。
4、概率的性质
强调:
但是不能从
(2)有限可加性:
若,则
(3)若是一个完备事件组,则,=1,特别的
5、概率运算的四大基本公式
(1)加法公式
加法公式可以推广到任意个事件之和
提示:
各项的符号依次是正负正负交替出现。
(2)减法公式
(3)乘法公式
(4)
徳摩根定律
6、伯努利公式
只有两个试验结果的试验成为伯努利试验。
记为,则在
重伯努利概型中的概率为:
第三部分
几何
一、常见平面几何图形
(一)多边形(包含三角形)之间的相互关系
1、边形的内角和=
边形的外角和一律为,与边数无关
2、平面图形的全等和相似
(1)全等:
两个平面图形的形状和大小都一样,则称为全等,记做。
全等的两个平面图形边数相同,对应角度也相等。
(2)相似:
两个平面图形的形状相同,仅仅大小不一样,则称为相似,记做。
相似的两个平面图形边数对应成比例,对应角度也相等。
对应边之比称为相似比,记为。
(3),即两个相似的的面积比等于相似比的平方。
(二)三角形
1、三角形三内角和
2、三角形各元素的主要计算公式(参见三角函数部分的解三角形)
3、直角三角形
(1)勾股定理:
对于直角三角形,有1
(2)直角三角形的直角边是其外接圆的直径。
(三)平面图形面积
1、任意三角形的6个求面积公式
(1)(已知底和高);
等底等高的三角形面积相等,与三角形的形状无关。
(2)(已知三边和外接圆半径);
(3)(已知三个边)
备注:
(4)(已知半周长和内切圆半径)
另外两个公式由于不考三角,不做要求。
另外2个公式如下
(5)(已知任意两边及夹角);
(6)(已知三个角度和外接圆半径,不考);
2、平行四边形:
3、梯形:
4、扇形:
5、圆:
二、平面解析几何
(一)有线线段的定比分点
1、若点P分有向线段成定比λ,则λ=
2、若点,点P分有向线段
成定比λ,则:
λ==;
=,
=
3、若在三角形中,若,则△ABC的重心G的坐标是。
(二)平面中两点间的距离公式
1、数轴上两点间距离公式:
2、直角坐标系中两点间距离:
(三)直线
1、求直线斜率的定义式为k=,两点式为k=
2、直线方程的5种形式:
点斜式:
,
斜截式:
两点式:
截距式:
一般式:
3、经过两条直线
的交点的直线系方程是:
4、两条直线的位置关系(设直线的斜率为)
()
(3),夹角为。
(了解即可)
Ⅰ若:
,则。
Ⅱ若:
,则:
Ⅲ的交点坐标为:
分母相同,分子的小角标依次变化
5、点到直线的距离公式(重要)
点到直线的距离:
6、平行直线距离:
(四)圆(到某定点的距离相等的点的轨迹)
1、圆的标准方程:
2、圆的一般方程式
其中半径,圆心坐标
思考:
方程在
和时各表示怎样的图形?
关于圆的一些特殊方程:
(1)已知直径坐标的,则:
若,则以线段AB为直径的圆的方程是
(2)经过两个圆交点的,则:
过
的交点的圆系方
(3)经过直线与圆交点的,则:
过与圆的交点的圆的方程是:
(4)过圆切点的切线方程为:
重要推论(已知曲线和切点求其切线方程——就是把其中的一个替换后代入原曲线方程即可):
例如,抛物线的以点为切点的切线方程是:
,即:
。
1、直线与圆的位置关系
相切相离相交
最常用的方法有两种,即:
(1)判别式法:
Δ>
0,=0,<
0,等价于直线与圆相交、相切、相离;
(2)考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:
距离大于半径、等
于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。
2、两个圆的位置关系
相交相切相离
三角函数:
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:
角B是边a和边c的夹角
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