第十四章---整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习).docx
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第十四章---整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习).docx
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整式乘除及因式分解
知识点梳理
一、幂的运算:
1、同底数幂的乘法法则:
(都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘方法则:
(都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:
幂的乘方法则可以逆用:
即如:
3、积的乘方法则:
(是正整数)。
积的乘方,等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则:
(都是正整数,且同底数幂相除,底数不变,指数相减。
5、零指数;,即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算:
6、单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
如:
。
7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)。
如:
=。
8、多项式与多项式相乘,用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
9、平方差公式:
注意平方差公式展开只有两项
公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如:
=
10、完全平方公式:
三项式的完全平方公式:
11、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
如:
12、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
三、因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)会找多项式中的公因式;公因式的构成一般情况下有三部分:
①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;
(2)提公因式法的步骤:
第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(3)注意点:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是:
把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:
①平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
3、在数学学习过程中,学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。
如:
对于任意自然数n,都能被动24整除。
四、乘法公式的变式运用
1、位置变化,(x+y)(-y+x)
2、符号变化,(-x+y)(-x-y)
3、指数变化,(x2+y2)(x2-y2)
4、系数变化,(2a+b)(2a-b)
5、换式变化,[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
6、增项变化,(x-y+z)(x-y-z)
7、连用公式变化,(x+y)(x-y)(x2+y2)
8、逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2
整式的乘法和因式分解
考点1、考查整式的有关概念
1.(2016•常德)若﹣x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( )
A.2B.3C.4D.5
2.(2016•上海)下列单项式中,与a2b是同类项的是( )
A.2a2bB.a2b2C.ab2D.3ab
3.(2015•崇左)下列各组中,不是同类项的是( )
A.52与25B.﹣ab与baC.0.2a2b与﹣a2bD.a2b3与﹣a3b2
4.(2015•柳州)在下列单项式中,与2xy是同类项的是( )
A.2x2y2B.3yC.xyD.4x
5.(2014•毕节)若与可以合并成一项,则的值是()
A.2 B. 0 C.﹣1 D.1
6.(2012•梅州)若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项,则常数n的值为 .
7.(2013江苏)若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是.
考点2、去括号、化简绝对值
1.(2012•济宁)下列运算正确的是( )
A.﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣1B.﹣2(3x﹣1)=﹣6x+1
C.﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣2D.﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2
2.(2015•济宁)化简﹣16(x﹣0.5)的结果是( )
A.﹣16x﹣0.5B.﹣16x+0.5C.16x﹣8D.﹣16x+8
3.(2016·佛山)化简的结果是().
A.B. C.D.
4.(2013•新疆)若a,b为实数,且|a+1|+=0,则(ab)2013的值是( )
A.0B.1C.-1D.±1
5.若x A.2x-2zB.0C.2x-2yD.2z-2x 6.(2012•广州)下面的计算正确的是() A.6a-5a=1B.a+2a2=3a3C.-(a-b)=-a+bD.2(a+b)=2a+b 7.(2012•浙江)化简: 考点3、根据题意列代数式 1.(2014•盐城)“x的2倍与5的和”用代数式表示为. 2.(2010·嘉兴)用代数式表示“a、b两数的平方和”,结果为_______。 3.(2012•滨州)根据你学习的数学知识,写出一个运算结果为a6的算式. 4.(2012•浙江)某校艺术班同学,每人都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有7人。 设会弹古筝的有人,则该班同学共有_______人(用含有的代数式表示) 5.(2013•安徽)某企业今年3月份产值为万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是() A.(-10%)(+15%)万元B.(1-10%)(1+15%)万元 C.(-10%+15%)万元D.(1-10%+15%)万元 6.(2011•浙江)把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm,宽为ncm)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是( ) A.4mcm B.4ncm C.2(m+n)cm D.4(m-n)cm 考点4、计算 1.如果写成下列各式,正确的共有( ) ①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 2.下列运算正确的是() A. B.C. D. 3.下面的计算正确的是( ) A.6a﹣5a=1 B.a+2a2=3a3 C.﹣(a﹣b)=﹣a+b D.2(a+b)=2a+b 4.下列运算正确的是( ) A.a+a=a2B.(﹣a3)2=a5C.3a•a2=a3D.(a)2=2a2 5.下列运算正确的是() A.x+x=x2B.x2÷x2=x2C.x·x2=x4D.(2x2)2=6x6 6.下列计算正确的是() A.x3·x2=2x6 B.x4·x2=x8 C.(-x2)3=-x6 D.(x3)2=x5 7.下列计算正确的是() A.a2+a4=a6 B.2a+3b=5ab C.(a2)3=a6 D.a6÷a3=a2 8.下列运算正确的是() A.=B.C.D. 9.下列计算正确的是() A.a3·a2=a6B.a2+a4=2a2 C.(a3)2=a6D.(3a)2=a6 10.下列计算正确的是() A.B.C.D. 11.下列计算正确的是() A.B.C.D. 12.下列运算正确的是(). A.B.C.D.= 13.下列计算正确的是() A.a3-a=a2 B.(-2a)2=4a2 C.x3·x-2=x-6 D.x6÷x3=x2 14.下列计算正确的是() A.B.C.D. 15.下列计算正确的是() A.2a2+a2=3a4B.a6÷a2=a3 C.a6·a2=a12 D.(-a6)2=a12 16.下列运算正确的是() A.B.C.D. 17.下列运算正确的是() A.a2·a3=a6B.a3÷a2=a C.(a3)2=a9D.a2+a3=a5 18.下列计算正确的是() A.B.3(a-2b)=3a-2bC.a4+a4=a8D.a5÷a3=a2 19.下列各式计算正确的是() A.(a+1)2=a2+1B.a2+a3=a5C.a8÷a2=a6D.3a2-2a2=1 20.下列计算正确的是() A.3a-a=2B.C..D.. 21.下列计算正确的是() A.B.C.÷=D. 22.下列计算正确的是( ) A.2a+3b=5abB.C.D. 23.下列运算正确的是( ) A.3a+2a=5a2B.(2a)3=6a3C.(x+1)2=x2+1D.x2﹣4=(x+2)(x﹣2) 24.下列运算正确的是(). A. B.C.D. 25.下列运算中,正确的是() A.a3·a4=a12B.(a3)4=a12C.a+a4=a5D.(a+b)(a—b)=a2+b2 26.下列计算正确的是() A.B.C.D. 27.(2014•台湾)计算多项式10x3+7x2+15x﹣5除以5x2后,得余式为何? ( ) A. B.2x2+15x﹣5 C.3x﹣1 D.15x﹣5 28.(2014•扬州)若□×3xy=3x2y,则□内应填的单项式是( ) A.xyB.3xyC.xD.3x 29.若,则n等于( ) A.10 B.5 C.3 D.6 30.已知,则( ) A.m=4,n=3 B.m=4,n=1 C.m=1,n=3 D.m=2,n=3 31.若3×9m×27m=311,则m的值为( ) A.2B.3C.4D.5 32.若,则=__________ 33.已知2x+1×3x-1=144,则x=__________ 34.如果,则. 35.如果(anb·abm)3=a9b15,那么mn的值是 36.已知am=2,an=3,则am+2n=; 37.若,则 36.若,则=. 38.已知10m=3,10n=2,则102m-n=. 39.若,,则的值为() A.B.C. D. 40.已知a-b=1,则代数式2a-2b-3的值是() A.-1B.1C.-5D.5 41.. 42.()2002×(1.5)2003÷(-1)2004=________。 43.已知,求①;② 44.计算: (1) (2)(3) (4)(5)(6) (7)(8)(9) (10)(11)4a2x2·(-a4x3y3)÷(-a5xy2) 考点5: 因式分解求解 【基础应用】 1.解答题: 将下列各式分解因式 提公因式法: x4-x3y12ab+6b3x(m-n)+2(m-n) 3(x-3)2-6(3-x) y2(2x+1)+y(2x+1)2a2b(a-b)+3ab(a-b) y(x-y)2-(y-x)3 2a(x-y)-3b(y-x)-2x2n-4xn 平方差公式 a2-9a2-4b2-m2+n2x2-25 a2-144b216x2-25y2 4a2-9b2(a+b)2-64 (a+m)2-(a+n)2m4-81n4(2a-3b)2-(b+a)2 完全平方公式 (1) 解: 原式=+2()()+()=() (2) 解: 原式=+2()()+()=() (3) 解: 原式=2()()+()=() (4) 解: 原式=()+2()()+()=() (5) 原式=2()()+()=() (6) 原式=2()()+()=() (7) 解: 原式=()+2()()+()=() 解: 原式=()+2()()+()=() (9) 解: =()+2()()+()=() (10) 解: 原式=2()()+()=() (11) 解: 原式=+2()()+()=() (12) 解: 原式=()+2()()+()=() a2-16a+64 a2-6a+9-x2-4y2+4xy 16-8(-)+(-)2 综合应用 2x2-88a2-2ab3-4aba3-ab282﹣2 a4-16a212a6-3a2b22-2m4 a3b-aba3-a2x2+4x+2x2y﹣2xy2+y35x2y+10xy2-15xy ﹣x3y+2x2y﹣xy 4x3+4x2+x 3(x+y)2-27a2(x﹣y)+16(y﹣x)m2(x-y)+n2(y-x)(3m2-n2)2-(m2-3n2)2 (a-b)2-2(a-b)(a+b)+(a+b)2 2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是() A.x2+1 B.x2+2x﹣1C.x2+x+1 D.x2+4x+4 3(2014•安徽)下列四个多项式中,能因式分解的是( ) A.a2+1 B.a2﹣6a+9 C.x2+5y D.x2﹣5y 4.下列式子变形是因式分解的是( ) A.x-5x+6=x(x-5)+6B.x-5x+6=(x-2)(x-3) C.(x-2)(x-3)=x-5x+6D.x-5x+6=(x+2)(x+3) 5.把多项式分解因式,结果正确的是() A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a-2)2-4 6.下面的多项式中,能因式分解的是() A.B.C.D. 7.下列各因式分解正确的是() A.–x2+(–2)2=(x–2)(x+2) B.x2+2x–1=(x–1)2 C.4x2–4x+1=(2x–1)2 D.x2–4x=2(x+2)(x–2) 8.分解因式的正确结果是() A. B.C. D. 9.下列分解因式正确的是() A.﹣+3=﹣(1+2) B.2﹣4+2=2(﹣2) C.2﹣4=(﹣2)2 D.2﹣2+1=(﹣1)2 10.下列因式分解正确的是() A.x3-x=x(x2-1)B.x2+3x+2=x(x+3)+2C.x2-y2=(x-y)2D.x2+2x+1=(x+1)2 11.下列分解因式正确的是() A.﹣+3=﹣(1+2) B.2﹣4+2=2(﹣2)C.2﹣4=(﹣2)2 D.2﹣2+1=(﹣1)2 12.下列因式分解正确的是() A.x3-x=x(x2-1)B.x2+3x+2=x(x+3)+2C.x2-y2=(x-y)2D.x2+2x+1=(x+1)2 【能力提高】 1.(2014•毕节)下列因式分解正确的是() A.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2C.x2+1=(x+1)2D.x2﹣x+2=x(x﹣1)+2 2.(2010•四川)把代数式分解因式,下列结果中正确的是 A.B.C.D. 3.(2014•湖南)下列因式分解中,正确的个数为( ) ①x3+2xy+x=x(x2+2y);②x2+4x+4=(x+2)2;③﹣x2+y2=(x+y)(x﹣y) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4.若x2-y2=20,且x+y=-5,则x-y的值是( ) A.5 B.4C.-4 D.以上都不对 5.若a-b=8,a2+b2=82,则3ab的值为() A.9 B.-9 C.27 D.-27 6.已知(m﹣n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=( ) A.10B.6C.5D.3 7.已知x+y=﹣5,xy=6,则x2+y2= .若,,则_____。 8.若,且,则 .分解因式: 4﹣1= . 9.已知,则。 10.(2010•宁波)、若,,则___________。 11.若则___。 12.已知,=_______。 13.
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- 第十四 整式 乘除 因式分解 知识点 题型 分类 练习
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