山东省临沂市中考数学试卷及答案与解析.doc

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2017年山东省临沂市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）

1．（3分）（2017•临沂）﹣的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017

【解答】解：

﹣的相反数是：

．

故选：

A．

2．（3分）（2017•临沂）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【解答】解：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，

∴∠BEF=∠1+∠F=50°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠BEF=50°，

故选A．

3．（3分）（2017•临沂）下列计算正确的是（　　）

A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4

【解答】解：

A、括号前是负号，去括号全变号，故A不符合题意；

B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B不符合题意；

C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；

D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；

故选：

D．

4．（3分）（2017•临沂）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

解不等式①，得：

x＜1，

解不等式②，得：

x≥﹣3，

则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，

故选：

B．

5．（3分）（2017•临沂）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

该几何体的三视图如下：

主视图：

；俯视图：

；左视图：

，

故选：

D．

6．（3分）（2017•临沂）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

∴小华获胜的概率是：

=．

故选C．

7．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形

【解答】解：

设所求正n边形边数为n，由题意得

（n﹣2）•180°=360°×2

解得n=6．

则这个多边形是六边形．

故选：

C．

8．（3分）（2017•临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　）

A．= B．= C．= D．=

【解答】解：

设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，

根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得

=，

故选：

B．

9．（3分）（2017•临沂）某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：

部门

人数

每人创年利润（万元）

A

1

10

B

3

8

C

7

5

D

4

3

这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　）

A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5

【解答】解：

由题意可得，

这15名员工的每人创年利润为：

10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，

∴这组数据的众数是5，中位数是5，

故选D．

10．（3分）（2017•临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2 B．﹣π C．1 D．+π

【解答】解：

∵BT是⊙O的切线；

设AT交⊙O于D，连结BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

而∠ATB=45°，

∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，

∴AD=BD=TD=AB=，

∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，

∴阴影部分的面积=S△BTD=××=1．

故选C．

11．（3分）（2017•临沂）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

【解答】解：

第1个图形有1个小圆；

第2个图形有1+2=3个小圆；

第3个图形有1+2+3=6个小圆；

第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；

第n个图形有1+2+3+…+n=个小圆；

∵第n个图形中“○”的个数是78，

∴78=，

解得：

n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），

故选：

B．

12．（3分）（2017•临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

【解答】解：

若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；

若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；

若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；

若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：

D．

13．（3分）（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：

m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：

s）之间的关系如下表：

t

0

1

2

3

4

5

6

7

…

h

0

8

14

18

20

20

18

14

…

下列结论：

①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：

由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故选B．

14．（3分）（2017•临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）

A．6 B．10 C．2 D．2

【解答】解：

∵正方形OABC的边长是6，

∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，

∴M（6，），N（，6），

∴BN=6﹣，BM=6﹣，

∵△OMN的面积为10，

∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2=10，

∴k=24，

∴M（6，4），N（4，6），

作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，

∵AM=AM′=4，

∴BM′=10，BN=2，

∴NM′===2，

故选C．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

15．（3分）（2017•临沂）分解因式：

m3﹣9m=　m（m+3）（m﹣3）　．

【解答】解：

m3﹣9m，

=m（m2﹣9），

=m（m+3）（m﹣3）．

故答案为：

m（m+3）（m﹣3）．

16．（3分）（2017•临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=　4　．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴==，即=，

解得，AO=4，

故答案为：

4．

17．（3分）（2017•临沂）计算：

÷（x﹣）=　　．

【解答】解：

原式=÷

=•

=，

故答案为：

．

18．（3分）（2017•临沂）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是　24　．

【解答】解：

作OE⊥CD于E，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，

∵sin∠BDC==，

∴OE=3，

∴DE==4，

∵CD=4，

∴点E与点C重合，

∴AC⊥CD，OC=3，

∴AC=2OC=6，

∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；

故答案为：

24．

19．（3分）（2017•临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）．

已知：

=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：

①=（2，1），=（﹣1，2）；

②=（cos30°，tan45°），=（1，sin60°）；

③=（﹣，﹣2），=（+，）；

④=（π0，2），=（2，﹣1）．

其中互相垂直的是　①③④　（填上所有正确答案的符号）．

【解答】解：

①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以与互相垂直；

②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=×1+1×=≠0，所以与不互相垂直；

③因为（﹣）（+）+（﹣2）×=3﹣2﹣1=0，所以与互相垂直；

④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与互相垂直．

综上所述，①③④互相垂直．

故答案是：

①③④．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

20．（7分）（2017•临沂）计算：

|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1．

【解答】解：

|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1

=﹣1+2×﹣2+2

=﹣1+﹣2+2

=1．

21．（7分）（2017•临沂）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目

人数（名）

百分比

最强大脑

5

10%

朗读者

15

b%

中国诗词大会

a

40%

出彩中国人

10

20%

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）x=　50　，a=　20　，b=　30　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

【解答】解：

（1）根据题意得：

x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=×100=30；

故答案为：

50；20；30；

（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：

1000×40%=400（名），

则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．

22．（7分）（2017•临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

【解答】解：

延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，

∴ED=AEtan30°=10m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，

∴AB=30m，

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．

23．（9分）（2017•临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，

（1）求证：

DE=DB；

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．

【解答】

（1）证明：

∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∴，

∴∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB；

（2）解：

连接CD，如图所示：

由

（1）得：

，

∴CD=BD=4，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴BC==4，

∴△ABC外接圆的半径=×4=2．

24．（9分）（2017•临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？

【解答】解：

（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，

15k=27，得k=1.8，

即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，

当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，

，得，

即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，

由上可得，y与x的函数关系式为y=；

（2）设二月份的用水量是xm3，

当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，

解得，x无解，

当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，

解得，x=12，

∴40﹣x=28，

答：

该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．

25．（11分）（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：

如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：

如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：

如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：

如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

【解答】解：

（1）BC+CD=AC；

理由：

如图1，

延长CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，

∵∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACB+∠ACD=45°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴CE=AC，

∵CE=CE+DE=CD+BC，

∴BC+CD=AC；

（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：

如图2，

延长CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=α，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，

∵∠ACB=∠ACD=α，

∴∠ACB+∠ACD=2α，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，

∴∠AEC=α，

过点A作AF⊥CE于F，

∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，

∴CE=2CF=2AC•cosα，

∵CE=CD+DE=CD+BC，

∴BC+CD=2AC•cosα．

26．（13分）（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x轴，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°，

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±1，

∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；

（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

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