实验九无穷级数 数学实验课件习题答案Word文档格式.docx
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4.强制求值命令Evaluate
如果函数是用Norma1命令定义的,则当对它进行作图或其他数值计算时,可能会出现问题,例如输入
fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]
Plot[fx,{x,-3,3}]
则只能得到去掉余项后的展开式,得不到函数的图形,这时要使用强制求值命令Evaluate,改成输入
Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]
便可以得到函数的图形
5.作散点图命令ListPlot
ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStylePointSize[0.012]]
6.用符号“/;
”定义分段函数
符号“/;
”用于定义某种规则,“/;
”后面是条件,例如输入
Clear[g,gf];
g[x_]:
=x/;
0x<
1
=-x/;
-1x<
=g[x-2]/;
x1
gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]
用which命令也可以定义分段函数,从这个例子中看到,用“…(表达式)/;
…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形,但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导,但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数,如:
Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求分段函数的傅里叶系数时,对分段函数的积分往往要分区间来积,在被积函数可以用单位阶跃函数Unitstep的四则运算和复合运算表达时,计算傅里叶系数就比较方便了.
【实验环境】
MicrosoftWindowsXP
Professional
版本2002
ServicePack3
GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07
Intel(R)Core(TM)i3CPU
550@3.20GHz
3.19GHz,1.74GB的内存
Mathematica5.2
二、实验内容:
【实验方案】通过用Mathematica5.2软件,在计算机上操作,计算以下问题:
1.数项级数
2.求幂级数的收敛域
3.函数的幂级数展开
4.傅里叶级数
【实验过程】
(实验步骤、记录、数据、分析)
Sum[1/(4n^2+8n+3),{n,1,Infinity}]
例9.1求级数
的和
例9.2 求级数
Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]
例9.3 设
,求
Clear[a];
a[n_]=10^n/(n!
);
vals=Table[a[n],{n,1,25}];
ListPlot[vals,PlotStylePointSize[0.012]]
Sum[a[n],{n,1,Infinity}]
例9.4 求
收敛域与和函数
Clear[a];
a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);
stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify
steptwo=Limit[stepone,nInfinity]
ydd=Solve[steptwo1,x]
zdd=Solve[steptwo-1,x]
Simplify[a[n]/.x(49/16)]
Simplify[a[n]/.x(47/16)]
Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]
例9.5 求
的6阶麦克劳林展开式
Series[Cos[x],{x,0,6}]
例9.6 求
在
处的6阶泰勒展开式.
Series[Log[x],{x,1,6}]
例9.7 求
的5阶麦克劳林展开式.
ser1=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];
poly=Normal[ser1]
Plot[Evaluate[{ArcTan[x],poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio1]
例9.8 求
处的8阶泰勒展开,并通过作图比较函数和它的近似多项式.
Clear[f];
f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];
poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]
Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.5,1.5},PlotRange{-2,3/2},PlotStyle{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]}]
例9.9 求函数
处的3,5,7,…,9l阶泰勒展开,通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一步观察
Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!
,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]
例9.10 设
是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为
求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项,作出
和它的近似三角级数的图形.
Clear[f,a,b,fs,L];
f[x_]:
=1/;
=f[x-2]/;
1x
gf=Plot[f[x],{x,-1,5}]
Clear[L,a,b,fs,f1,f2];
L=1;
a[n_]:
=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L],{x,-L,0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L],{x,0,L}])/L
b[n_]:
=(Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L],{x,-L,0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L],{x,0,L}])/L
fs[k_,x_]:
=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L]
fourier[n_,x_]:
=a[0]/2+Sum[fs[k,x],{k,1,n}]
f1=fourier[5,x]//N
f2=fourier[10,x]//N
Plot[Evaluate[{f[x],f1}],{x,-1,5},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.4]}]
Plot[Evaluate[{f[x],f2}],{x,-1,5},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.4]}]
例9.11设
是以2Pi为周期的周期函数,它在
的表达式是
,
将
展开成傅里叶级数.
Clear[g];
=-1/;
-Pix<
Pi
=g[x-2Pi]/;
Pix
Plot[g[x],{x,-Pi,5Pi},PlotStyle{RGBColor[0,1,0]}];
Clear[b2,fourier2,tu,tu2,toshow];
b2[n_]:
=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;
fourier2[n_,x_]:
=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];
tu[n_]:
=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]},{x,-Pi,5Pi}, PlotStyle{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunctionIdentity];
tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];
toshow=Partition[tu2,2];
Show[GraphicsArray[toshow]]
【实验结论】
(结果)
通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序,解决了求解数项级数的问题,及相关题目;
求幂级数的收敛域的问题;
函数的幂级数展开的题目;
以及傅里叶级数的求解问题。
【实验小结】
(收获体会)
通过本节的学习,我基本掌握了以下的命令:
1求无穷和的命令Sum[1/n^2,{n,1,Infinity}]
2.把函数展开为幂级数命令Series[y[x],{x,x0,n}]
3.去掉余项的命令Normal
4.强制求值的命令Evaluate
5.作散点图命令ListPlot
以及在计算机上实际操作对求解数项级数,求幂级数的收敛域,函数的幂级数展开,以及傅里叶级数的求解问题有了更深的理解,一边在以后的学习中更好的运用。
三、指导教师评语及成绩:
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻)
4实验结论正确.
成绩:
指导教师签名:
批阅日期:
附录1:
源程序
第1题
Sum[k/(2^k),{k,1,Infinity}]
2
Sum[1/(2k-1)^2,{k,1,Infinity}]
Sum[1/(2k)^2,{k,1,Infinity}]
Sum[(-1)^(k-1)/k,{k,1,Infinity}]
Log[2]
第2题
Clear[a];
a[n_]=((x-1)^(2n+1))/(-5)^n;
stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify
steptwo=Limit[stepone,nInfinity]
y1=Solve[steptwo1,x]
z1=Solve[steptwo-1,x]
第3题
Series[(1+x)*Log[1+x],{x,0,6}]
第4题
Series[ArcSin[x],{x,0,6}]
第5题
Clear[f];
f[x_]=x/(x^2+1);
poly1=Normal[Series[f[x],{x,0,5}]]
poly2=Normal[Series[f[x],{x,0,10}]]
Plot[Evaluate[{poly1,poly2}],{x,-3,3},PlotRange{-6,6},PlotStyle{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0.2]}]
Graphics
第6题
f[x_]:
=1-x^2;
-1/2x<
1/2
=f[x-1]/;
1/2<
=x
gf=Plot[f[x],{x,-1/2,6}]
L=1/2;
=(Integrate[(1-x^2)*Cos[n*Pi*x/L],{x,-L,L}])/L
fourier[n_,x_]:
=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*Pi*x/L],{k,1,n}]
f1=fourier[6,x]//N
0.916667+0.101321Cos[6.28319x]-0.0253303Cos[12.5664x]+0.0112579Cos[18.8496x]-0.00633257Cos[25.1327x]+0.00405285Cos[31.4159x]-0.00281448Cos[37.6991x]
Plot[Evaluate[{f[x],f1}],{x,-1/2,1/2},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.5]}]
第7题Clear[f,a,b,fs,L];
=1/;
=2-x/;
1x<
2
=f[x-2]/;
x2
gf=Plot[f[x],{x,0,4}]
L=1;
=(Integrate[Cos[n*Pi*x/L],{x,0,1}]+Integrate[(2-x)*Cos[n*Pi*x/L],{x,1,2}])/L
b[n_]:
=(Integrate[Sin[n*Pi*x/L],{x,0,1}]+Integrate[(2-x)*Sin[n*Pi*x/L],{x,1,2}])/L
fs[k_,x_]:
=a[0]/2+Sum[fs[k,x],{k,1,n}]
f1=fourier[8,x]//N
0.75-0.202642Cos[3.14159x]-0.0225158Cos[9.42478x]-0.00810569Cos[15.708x]-0.00413556Cos[21.9911x]+0.31831Sin[3.14159x]+0.159155Sin[6.28319x]+0.106103Sin[9.42478x]+0.0795775Sin[12.5664x]+0.063662Sin[15.708x]+0.0530516Sin[18.8496x]+0.0454728Sin[21.9911x]+0.0397887Sin[25.1327x]
Plot[Evaluate[{f[x],f1}],{x,0,4},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.4]}]
第8题
1.0708+0.
附录2:
实验报告填写说明
1.实验项目名称:
要求与实验教学大纲一致。
2.实验目的:
目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。
3.实验原理:
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4.实验环境:
实验用的软、硬件环境。
5.实验方案(思路、步骤和方法等):
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。
对于创新性实验,应注明其创新点、特色。
6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):
写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7.实验结论(结果):
根据实验过程中得到的结果,做出结论。
8.实验小结:
本次实验心得体会、思考和建议。
9.指导教师评语及成绩:
指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。
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