1991全国高考理科数学试题Word文档下载推荐.docx
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,那么六棱锥的棱所在的
12条直线中,
异面直线共
(B)24对
⑸函数y=sin(2x+与)的图像的一条对称轴的方程是
(C)36对
(D)48对
(A)x=—2
(C)x8
(B)x=—-
(D)x
(6)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且
顶点S在底面的射影0在厶ABC内,那么
O>
△ABC的
(A)垂心
(B)重心
(C)外心
(D)内心
a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于
(B)10
(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为p
(C)15
16一,那么它的焦点的极坐标为
53cos
(A)(0,0),(6,n)
(B)(—3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0)(D)(0,0),(6,0)
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1
台,则不同的取法共有()
(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种
(10)
如果AC<
0且BC<
0,那么直线Ax+By+C=0不通过()
(11)设甲、乙、丙是三个命题•如果甲是乙的必要条件;
丙是乙的充分条件但不是乙
的必要条件,那么()
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
1111
(12)lim[n(1—)(1—)(1-)]…(1—)]的值等于()
n345n2
(A)0(B)1(C)2(D)3
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[—7,—3]
上是()
(A)增函数且最小值为—5(B)增函数且最大值为—5
(C)减函数且最小值为—5(D)减函数且最大值为—5
(14)
圆x2+2x+y2+4y—3=0上到直线x+y+仁0的距离为.2的点共有()
{x|f(x)g(x)=0}等于
2
xx2
(17)不等式6x2<
1的解集是
(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45
那么这个正三棱台的体积等于,
(19)(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项•若实数a>
1,那
么a=”
(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC
=a•那么这个球面的面积是.
三、解答题:
本大题共6小题;
共60分.
(21)(本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
(22)
(本小题满分8分)
直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
(24)(本小题满分10分)
根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=—x3+1在(-m,+m)上是减函数.
(25)(本小题满分12分)
已知n为自然数,实数a>
1,解关于x的不等式
(26)(本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为、3的直线交双
\5
曲线于P、Q两点.若OP丄OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的
解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考
生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;
如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.
三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中
合理省略非关键性的推导步骤.
四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五、只给整数分数.
三、解答题
(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.
解:
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x1分
=1sin2x(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+、2sin(2x+).——5分
当sin(2x+)=—1时y取得最小值2—、.2.――6分
3
使y取最小值的x的集合为{x|x=kn—-n,k€Z}.――8分
8
(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.
=3i=F_i
=1—i.
1—i的模r=12
(1)2=、2.
因为1—i对应的点在第四象限且辐角的正切tge=—1,所以辐角的主值
9=7n.8分
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理
和空间想象能力.满分10分.
如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分另U交AC于H、O.因为ABCD是
正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF//BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD//平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B
到平面EFG的距离.一一4分
•/BD丄AC,
•••EF丄HC.
•/GC丄平面ABCD,
•EF丄GC,
•EF丄平面HCG.
•平面EFG丄平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.——6分
作OK丄HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK丄平面EFG,所以线段OK的
长就是点B到平面EFG的距离.
•••AC=4,2,HO=..2,HC=3..2.
•••在Rt△HCG中,HG=3..2?
22y22.
由于RtAHKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKOs\HCG.
HOGC22211
•0K=—
hg42211
注:
未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力•满分10分.
证法一:
在(—8,+g)上任取X1,X2且X1<
X21分
则f(X2)—f(X1)=X;
X;
=(X1—X2)(X:
X1X2X;
)3分
TX1<
X2,
•-X1—X2<
0.4分
22
当X1X2<
0时,有X1X1X2X2=(X1+X2)2—X1X2>
0;
6分
当X1X2>
0时,有X;
X1X2x;
>
0;
•f(X2)—f(X1)=(X1—X2)(X1X1X2X2)<
0.8分
即f(X2)<
f(X1)
所以,函数f(x)=—X3+1在(—8,+8)上是减函数.——10分
证法二:
在(—8,+8)上任取X1,X2,且X1<
X2,1分
3322
则f(X2)—f(X1)=X1—X2=(X1—X2)(X1X1X2X2).3分
•X1—X2<
0.4分
TX1,X2不同时为零,
1(x12
X;
+x;
0.
.2
十X2)>
|X1X2|>
—X1X2
-8分
10分
12
IOgaX
logaan
x;
x1x2
f(X2)—f(X1)=(xi—X2)(x1X-Ix2x2)<
0.
即f(X2)<
f(X1).
所以,函数f(x)=—X3+1在(—8,+g)上是减函数.
(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分
分.
利用对数换底公式,原不等式左端化为
lOgaXIOgaXn—1
logax—4•—2+12•—3+…+n(—2)
logaalogaa
=[1—2+4+…+(—2)n—1]logax
1
(2)n
当n为奇数时,>
0,不等式①等价于
logax>
loga(x2—a).
■■-a
14a
1.14a、、4a一
=a,
1;
i4a
所以,不等式②的解集为{x|..a<
x<
}.
log—a).③
因为a>
1,③式等价于
x2xa0
所以,不等式③的解集为{x|x>
1一14a}.
综合得:
当n为奇数时,原不等式的解集是{x|、.ax1一};
1_■14a
当口为偶数时,原不等式的解集是{x|x—^}
(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基
本知识,以及综合分析能力•满分12分.
解法一:
设双曲线的方程为务-^2=1.
ab
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得
(5b2—3a2)x2+6a2cx—(3a2c2+5a2b2)=0.
设方程③的两个根为xi,X2,若5b2—3a2=0,则3,即直线②与双曲线①的两条
a\'
根据根与系数的关系,有
;
3(3
P(X1,、5(x1—c)),Q(X2,、5(X2—c)).
3(X1c):
3(X2c)由OP丄OQ得一5•—5=—1,
X1x2
整理得3c(X1+x2)—8x1x2—3c2=0.⑥
将④,⑤式及&
=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2—3b4=0,
(a2+3b2)(3a2—b2)=0.
因为a2+3b2z0,解得b2=3a2,
所以c=;
a2b2=2a.
由|PQ|=4,得(X2—X1)2=[J3(X2—c)—\\~(X1—c)]2=42.
\5\5
故所求双曲线方程为x2—丄=1.——12分
解法二:
④式以上同解法一.一一4分
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2—3b4=o,
即(a2+3b2)(3a2—b2)=o.
因a2+3b2z0,解得b2=3a2.——8分
即(x2—x1)2=10.⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2—3a2)2—16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为
12分
X2—L=1.
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- 1991 全国 高考 理科 数学试题