集合概念.docx

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集合概念

1、集合概念、子集

1、集合的表示法

2、集合中的元素

（1）方程x2-5x+6＝0的解集是　　　　　　　

（2）方程组x+y=5

{.x-y=-1　　的解集是　　　　　　

（2）A＝｛xy=2x｝B={yly=x2}，则A∩B＝　　　　　

（3）A＝｛（xy）y=x｝B={（xy）ly=2-x2}，前A∩B＝　　　　　

3、元素与集合，集合与集合之间的关系。

（4）-5ZQZ-2R　　φ　　　A

　　O　　　φ　　　O　　　N　　　　φ　　　｛2.3｝　O　　｛xlx=t2｝

4、集合三要素

（5）A｛2（a+1）2，a2+3a+3｝，且HEA，则a＝　　　　

5、集合相等，A

B，A≥B　　　则A＝B

　两个集合中的元素完全相同。

（6）已知集合A1{xlx=2k-1KEZ}A2={xlx=2k+1KEZ}

A3={yly=2x-1KEZ}A4={xlx=2t-1KEZ*}

A5={xlx=4k±1KEZ}

则与集合A，相等的集合是　　　　　

6、子集，真子集

对任意XEA，若XEB，则A≤B

φ

A，　　　A

A，若XEA，A

B　则XEB　　　　　　　　　　　　　1

7、有关子集问题的一般方法

（1）将抽象问题形象化，将集合中的元素列举出来，观察其特点，为（6）中练习。

（2）通过图像

（7）平行四边形组成的集合为A，正方形组成的集合为B，菱形组成的集合为P，则A、B、P的关系是　　　　　

（3）了集与包含关系，通过图像转化为解不等式（四）

　（8）已知A｛xl（x-a）≤1｝B={xlx+2/x-3≤O}

若A

B，求a的取值范围

8、一个集合中有n个元素，它的子集共有2n个。

（9）写出满足条件M

｛ab｝的所有集合M　　　　　　

9、在A

B，　A∩B＝φ等问题中，特别要注意空集问题。

（10）A={xlx2-x-6=0}B={xlax-1=0}B

A则a=

（11）A＝{xl（x-1）≤4}B={xl2

A，则M的取值范围是　　　

练习：

1、满足条件｛a｝

M

｛a、b、c｝的一个集合M可以是　　　　　

2、下列说法中，不正确的是　　　　　　　。

（1）对任意集合A，总有φ

A　　　　

（2）任何一个集合至少有两个不相等的子集

（3）任何一个集合都有子集

（4）a≤AA

Ba≤B　　　　（5）A

B　A

则　B＝C

3、集合A｛xy｝B{2x2x2}且A＝B，则A＝　　　　　

4、A＝｛xlx2+x-6=0｝B={ylay+2=0}且A≥B，则a=　　　　　

5、集合S＝{1.2}T={xlax2-3x+2=0}且S＝T，则a＝　　　　

6、集合S＝｛1.2｝　T＝{xlax2-3x+2=0}且S≥T，则a的取值范围是　　　　　　

7、集合{（xy）lxy>0，XER，yER}表示的是　　　　　　　　　　　　　　　　　2

2、集合的交、并、补集和子集关系

1、子集定义：

交集定义：

并集定义：

补集定义：

2、交集、并集和补集都是集合，结论一定要写成集合形式。

3、子集、交集、并集、补集都要从图像的角度去考虑。

4、

5、求补集时注意边集值问题

（1）集合A＝｛xlx+3/2-x≤0｝　　　B＝｛xl（x+1）<5｝

则A＝　　　　　　　　　B＝　　　　　　　　CuA＝　　　　　　

A∩B＝　　　　　　　　　　A∪B＝　　　　　

（2）集合A＝｛xlx≤1｝B={xlx≥a}A∪B＝R，则a的取值范围是　　　　　。

6、φ∩A＝　　　　　φ∪A＝　　　　　A∩A＝　　　　　A∪A＝

A∩B　　B∩A　　A∪B　　B∪A　　　CRφ＝　　　　　CRR＝　　　　

A∩B　　　AU　　　AAVB　　Cu（AVB）＝　　　　　Cu（AVB）＝　　　

A∩B＝A

（二）　　　　　　　　　　　　A∩B＝B

（二）　　　　　

AVB＝A

（二）　　　　　　　　　　　　AVB＝B

（二）　　　　　

（3）集合A｛xlx2-3x-15≤0｝　　　　B＝｛xlx-m>0｝

　　若A∩B＝φ　　　则实数M的取值范围是　　　　　　

　　若A

B，　　　　则实数M的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　3

（4）命题“a>0且b<0则ab<0”的等价命题是

7、A∩B＝A　AVB＝A类型问题的转化

（5）集合A＝｛xlx2-（2a-1）x+a（a-1）

若A∩B＝A求，a的取值范围

交集/等价转换/子集/数形结合/不等式/解不等式，求出范围

8、在A

B，A∩B＝φ　　A∩B＝A中，特别注意空集问题

（6）集合p={xlx2-3x-15≤0}m={xlk+1≤x≤2k-1}

且P∩M＝M，求实数k的取值范围。

练习1、集合V＝{xlx2≤25}A={xl6-x-x2>0}则CuA＝　　　　　　

2、全集U＝｛xlx为不大于20的质数｝，若A∩CuB＝｛3.5｝，（CuA）∩B　　　

｛7.　19｝　　Cu（AVB）＝｛2.　17｝，则A＝　　　　　　B＝　　　　　

3、集合A＝｛1.　4.　x｝，B＝｛1.　x2｝，且AVB＝A，则x＝　　　　

4、A＝｛xlx是平行四边形｝，B＝｛xlx是至少有一组时边平行的四边形｝

　　则CuA＝　　　　　　　　　　　。

5、集合A＝｛xlx<1｝B={xlx≥a}AVB=R，则a的取值范围是　　　　　

　集合A＝｛xlx≤1｝B={xlx＞a}AVB=R，则a的取值范围是　　　　　

　集合A＝｛xlx<1｝B={xlx＞a}AVB=R，则a的取值范围是　　　　　

6、集合A＝｛xl12-x2≥x｝B={xlx2

7、函数f（x）=2-x+3/x+1的定义域为A，不等式（x-a-1）（2a-x）>0的解集为B

（1）求A；　

（2）若B

A，求实数a的取值范围。

　　　　　　　　　　　4

3、命题与充要条件

1、命题：

可以判断真假的语句。

2、判定命题的真假

（1）举反侧（举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子）

（2）确定一个命题是其命题，就必须作出证明

3、判定下列命题的真假

（1）互由补角的两个角不相等（　　）

（2）个位数是5的自然数能被5整除（　　）

（3）若集合A、B满足A∩B＝A，则A≠B（　　）

（4）x是素数，则x是奇数（　　）

（5）两个三角形的面积相等，则它们全等（　　）

4、原命题xβ　互道　　　逆命题　　β　　x

互否　　　　　　　　互逆否　　　　　互否

　否命好　　　x　　β　　互逆　　逆否命题　　β　　x

5、等价命题

6、

（1）写出命题，若x>1，则x>0的逆命题，否命题，逆否命题，并判定哪些是真命题　　　　　逆命题（　　）

　否命题：

（　　）　　逆否命题：

（　　）

（2）写出命题：

若a<0且b>0，则ab<0的等价命题

7、充分条件，必要条件

用x、β分别表示两个命题，如果命题x成立，可以推出命题β也成立，

即x　β，那么x叫β的充分条件，β叫x的必要条件。

　　　　　　　　　5

8、x、β，x是β的充分条件，β是x的必要条件

　x、β，x是β的必要条件，β是x的充分条件

9、练习

（1）x>3是（x-1）2>4的　　　　　　　　条件

（2）a>b是1/a<1/b的　　　　　　　　条件

（3）x2=1是x=-1的　　　　　　　　　条件

（4）“四边形为矩表”是“四边形的两组时边分别相等”的　　　　　　条件

（5）若A是β的必要不充分条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则C是A的　　　　　　条件，A是D的　　　　　条件。

10、全集与推出关系

设A＝｛xlx具有性质x｝　　　B＝｛xlx具有性质β｝

若A

B，则x是β的充分条件，若A≠B，则x是β的充分不必要

　A≥B，则x是β的必要条件，若A≠B，则x是β的充分必要

　A＝B，则x是β的充要条件，若A≠B，则x是β的充分不必要

　A≠B，　A≠B，则x是β的即不充分也不必要条件

11、已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个实数根”的什么条件说明理由。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6

1、

（1）ac2>bc2是a>b的　　　　　　　　　　　条件

（2）x<3是x2<9的　　　　　　　　　　　　　条件

（3）x>3是x2>9的　　　　　　　　　　　　　条件

（4）lx+yl=lxl+lyl是xy>0的　　　　　　　　　条件

（5）x2+y2>0是xy都不为0的　　　　　　　　　　　　条件

（6）（x-1）（x-2）=0的充要条件是　　　　　　　　　

　　　一个充分不必要条件是　　　　　　，一个必要不充分条件是　　　　　

2、写出a2>b2的一个充分不必要条件是　　　　　　　　　　，一个充要条件是

　　　　　　　　，一个必要不充分条件是　　　　　　　

3、已知x是实数，写出关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个实数根的充要条件是　　　　　　　，一个充分条件是　　　　　　，一个必要条件是　　　　　　　

4、如果A是B的必要条件，C是B充要条件，A是C的充分条件，

则B是C的　　　　　　　条件。

5、已知命题x：

-2≤x≤5，命题β：

k+1≤x≤2k-1

　若x是β的必要条件，求实数k的取值范围

6、已知abEZ，写出命题：

若a　b都是奇数，则a+b是偶数的

　逆命题：

　　　　　　　　　　　　　　　　它是　　　　　命题（真假）

　否命题：

　　　　　　　　　　　　　　　　它是　　　　　命题（真假）

　逆否命题：

　　　　　　　　　　　　　　　　它是　　　　　命题（真假）

7、命题P：

m<-3，y：

方程x2-x-m=0无实根，P是y的什么条件？

说明理由。

7

4、不等式性质，基本不等式

1、不等式性质

（1）基本性质　　　　a>ba=ba

（2）反身性a>b

（3）传递性　　　　a>bb>c

（4）平移性　　　　a>b

（5）伸缩性　　　　a>ba>b

c>0c<0

（6）可加性　　　　a

c

（7）可乘性　　　　a>b>0

c>d>0

（8）平方性　　　　a>b>0

（9）乘方性　　　　a>b>0an——bn（nE+）

a>ba2n+1>b2n+1（nEn*）

（10）开方性　　　a>b>0n/a——n/b（nE）

a>b2n+1/a——2n+1/b（nE）

（11）倒数性　　　a>b>01/a——1/b

a>0>b1/a——1/b

0>a>b1/a——1/b

2、练习：

（1）已a>b，下列各式不恒成立的是　　　　　　　

A、a3>b3B、a2>b2C、1/a>1/bD、a>bE、1/a<1/b

（2）已知a<0，b>0，a+b>0则四个数b,-a,b-a,a-b序是　　　　　　　　　　　8

（3）ab（a-b）>0成立的一个充要条件是（　　　）

A、a<0b>0

（4）2

0

3、基本不等式及其各种变形：

　　　x2≥0/xER

　　a2+b2≥2abab≤a2+b+/2

abER（a+b/2）2≤a2+b+/2

a+b≥2/ab/abER+2≤ab≤a+b/d≤a2+b2/2

4、应用基本不等式ab≤a+b/2注意三具条件　

一五、二定、三相等

特别要注意　等号在什么情况下成立

（1）x+4/x的取值范围是　　　　　　　　　　

（2）x>1，x+9/x-1的最小值是　　　　　　　

（3）x2+17/x2+16的最小值是　　　　　　　　

5、和定积最大，积定和最小

　　基本不等的功能在于“和积互化”

6、

（1）x≠0时，x+1/x的取值范围是　　　　　　　　　　

　　　x>0时，x+1/x的取值范围是　　　　　　　　　　

x<0时，x+1/x的取值范围是　　　　　　　　　　

x≥4时，x+1/x的取值范围是　　　　　　　　　　

（2）已知xyER+，且x+2y=1，则xy≤　　　　

（3）0＜x＜1，当x=　　　　时，x（1-x）的最　　　值是　　　　

（4）若2x+y=1，则4x+2y的最小值是　　　　　　　　

（5）已知abER且ab=a+b+3，则ab的取值范围是　　　　　　　　　　　　　9

练习1、设实数ab满足0

　　　A、1/2B、a2+b2C、2abD、a

2、若0

3、若a>0，b>0，且2a+b=1，则ab的最大值是　　　　　　

4、已知a>0，b>0，a+2b=1，则1/a+1/b的最小值为　　　　　

5、0

0

6、若a

　　A、1/a>1/bB、1/a-b>1/aC、lal>lblD、a2>b2

7、已知三个不等式：

（1）ab>0；

（2）c/a>d/b；（3）bc>ad

　　以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可以组成　　　个正确命题。

8、abcER+，求证a+b+c≥ab+bc+ca

9、某单位用木料制作为图所示的柜架，桓加析下部

是边长分别为x　y（单位m）的矩形，上部是等腰　　　y

Rt△，要求框架围成的总面积为8㎡，问xy分别

为多少（精确到0.001m）时，用料最省？

　　　　　　　　　　x　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10

5、一元一次不等式　

1、一元一次不等式的解集

ax2+bx+c=0（a≠0）

的根的判别式

△＝b2-4ac＞0

△＝b2-4ac=0

△＝b2-4ac<0

Y=ax2+bx+c

（a>0）的图像

含　ax2+bx+c=0，两根为x1x2且x1

ax2+bx+c>0（a>0）

解集是

解集是

解集是

ax2+bx+c≥0（a>0）

解集是

解集是

解集是

ax2+bx+c<0（a>0）

解集是

解集是

解集是

ax2+bx+c≤0（>0）

解集是

解集是

解集是

2、以（mn）为解集的一元二次不等式是　　　　　　　　　　（m

　以（-xm）v（n+x）为解集的一元二次不等式是　　　　　　　（m

3、不等式ax2+bx+c>0解集为R（函数f（x））=ax2+bx+c图像在x轴上方

不等式ax2+bx+c<0恒成立（函数f（x））＝ax2+bx+c的图像在x轴下方

4、解下列不等式

（1）（x-5）（1-x）≥0　　　　　　　

（2）9≤x2

（3）-x2+4x-2>0（4）x2+x+1≥0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11

（5）1+2x≤-x2（6）2x（x-1）<-1

5、已知A＝（1-31+3）写出一个解集为P的一元二次不等式为

6、已知不等式ax2+2x+c>0的解集为{xl-1/3

（1）求ac；　　

（2）解不等式-cx2+2x-a>0

7、集合A＝｛xlax2-4x+2=0｝

（1）若A中至多一个元素，求a的取值范围；

（2）若A中有两个元素，求a的取值范围；

8、函数f（x）＝mx2-mx+2的图像在x轴上方，求实数的m取值范围

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12

练习：

1、集合A＝｛xl16>x2｝B={xl（x-1）（3-x）≤0}

则A∩CuB＝　　　　　　　　，AVB＝　　　　　　

2、若函数y=kx2-3kx+k-2的图像在x轴下方，则实数k的取值范围是

3、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是（-x1/2）V（2+x），关于x的不等式ax2-bx+c≤0的解集是　　　　　　　　　　　　

4、已知不等组（2x-3）（3x+2）≤0/x-a>0无实数解，则实数a的取值范围是

5、已知集合｛xlax2+2x+1=0xER｝中最多有一个元素，则实数a的取值范围是

6、关于x的不等式x2-3ax+2a2<0的解集为A、B＝｛xlx2-4≤0｝

（1）当a<0时，求A；　　

（2）若A

B，求a的取值范围

7、已知某厂第四季度的生产指标是40000件，10月份完成12000件，今年二个月的月平均增长率至少是多少时，才能完成生产任务？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13

6、分工不等式，绝对值不等式

1、lxl0）的解集是　　　　　　　　　

　lxl>a（a>0）的解集是　　　　　　　　　

2、关于x的不等式ax+4<2x+a2的解集为（a+2+x），则a的取值范围是

3、1/x≤1的解集是　　　　　　　　

x-3/-x2-1

4、若关于x的不等式x-a/x+1>0的解集为（-x-1）V（4+x），则实数a＝　　　　

5、关于x的方程4k-3x/k+2＝2x的解是负数，则k的取值范围是　　　　　　

6、不等式l3x-9/2l≤b的解集是　　　　　　

　　　3

7、已知不等式lax+1l≤2的解集是（-13），则a＝　　　　　

练习：

1、不等式2/x<2/x-3的解集是　　　　　　

2、l1/2-xl≥1/3的解集是　　　　　　　　

3、lx2-3l<2的解集是　　　　　　

4、不等式x2+mx+1/x2+x+1>-2x2-2/x2+x+1的解集为R，则m的取值范围是

5、

（1）解关于x的不等式：

x+2/k>1+x-3/k2（KER且K≠0）

（2）若上述不等式的解为x=（3+x），求k的值；

（3）若x=3在上述不等式的解集中，求k的取值范围　　　　　　　　　　　14

7、函数概念，定义域，函数解析式

1、下列图形表示函数的图像的是　　　　　　　

2、已知函数y=f（x）的图像为图所示：

则函数的定义域是　　　　　，值域

是　　　　，最小值是　　　　，最大值

是　　　　，f（1.5）＝　　　　，f（0）＝　　　　

方程f（x）＝a仅有两个不等实数根，则a的取值范围是　　　　　

3、下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是　　　　

（1）f（x）=x2g（x）=3/3x

（2）f（x）=x2-4g（x）=x+2/x-2

（3）f（x）=lxl+2g（x）=2-x/2+xx≤0x>0

（4）f（x）=x/xg（x）=x-1/2

（5）f（x）=x2+2x/x2-2xx≤0x>0g（x）=lx2-2xl

4、函数f（x）＝x+a/x-a（a<0）的定义域是　　　　　　

5、写出一个定义城为（-31）的函数，它可以是　　　　　　

6、函数f（x）=1/1-mx+2mx2的定义域为R，则实数m的取值范围

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15

7、已知函数f（x）的定义域为（-13），则f（1-2x）的定义域是

8、若f（x）=x+x，则f（x）＝　　　　　

9、若f（x）=x+1/x，g（x）=x3-2x2/x+1

（1）求f（a2+1）；　　　

（2）求f（x）g（x）的解析式并画出图像

10、某企业生产的新产品必须靠广告来打开销路，产品的广告将就是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据市场抽样调查显示，付出100元的广告费，所得的销售额为1000元，问该企业应投入多少广告费，才能获得最大的广告效应？

是否广告做得越多越好？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　16

1、函数概念

1、下列图形表示函数的图像的是　　　　　　　　

2、根据图像，写出下列函数的定义域与值域。

3、已知函数y=f（x）的图像如右图所示，则它的

　　定义域是　　　　　，值域是　　　　，函数

解析式是　　　　　　　　，函数的最大值是

　　　　，最小值是　　　　，图像关于　　　对

F（-1）＝　　　，f（0）=，若f（a）＝2，则a＝　　　　

4、下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是　　　　　

（1）f（x）=x2g（x）=x2

（2）f（x）=x-1g（x）=x2-1/x+1

（3）f（x）=x0g（x）=1

（4）f（x）=x2g（x）=-x/xx<0x≥0

（5）f（x）=x2/lxlg（x）=-x/xxe（-x0）xe（0+x）

（6）f（x）=x+3/x-3g（x）=x+3/x-3　　　　　　　　　　　　　　　1

5、已知f（x）＝x2+2x+1/-x2+2x-1　　　　xe（-x0）xe（0+x）

　则f（-3）=　　　　f（5）=　　　　　　　　f（a2+1）=

6、已知f（x）=x2-2x-3，则f（x-3）＝　　　　　　

7、f（x）=x2+1/-2x　　x≤0x>0若f（x）=10，则x=

8、已知函数f（n）=n-3/f（n+5）　　（n≥0）　（n<10）其中nEN，则f（8）=

9、函数y=2-x/x+4的定义域是　　　　　　　

10、若函数f（x）＝kx2-kx+2的定义域为R，则实数a的取值范围是　　　　

11、某种书包，每只人民币35元，买x只书包所需要的费用为

　f（x）=35x（元），此时，x可取（　　）

　　A、所有实数　　　B、一切有理数　　C、有理数　　D、所有非负整数

*12、已知二次函数y=x2-2x+3在区间（0m）上有最大值3，最小值2，则m的

取值范围是　　　　　　　

13、写出一个定义域为（-30）V（03）的函数式