常微分方程期末模拟试题Word格式.docx
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答案:
方程化为
令,则,代入上式,得
分离变量,积分,通解为
∴原方程通解为
2、
特征方程为即。
特征根为,
对应特征向量应满足可确定出
同样可算出对应的特征向量为
∴原方程组的通解为。
3、
齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为
代入原方程,确定出原方程的通解为+
4、;
是一个变量分离方程
变量分离得
两边同时积分得(其中c为任意常数)
5、
积分:
故通解为:
6、
两边同除以得,即,
故原方程的解为
7、.
方程组的特征方程为
即,即
特征根为,
对应特征向量应满足,可得
同样可算出时,对应特征向量为
∴原方程组的通解为
8、
线性方程的特征方程故特征根
是特征单根,
原方程有特解代入原方程A=-B=0
不是特征根,
原方程有特解代入原方程B=0
所以原方程的解为
9、
,令z=x+y,则
所以–z+3ln|z+1|=x+,ln=x+z+
即
10、
所给方程是二阶常系数齐线性方程。
其特征方程为
∴方程的通解为
11、
(x-y+1)dx-(x++3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0
所以
三、证明题(共160分)
1、(12分)证明如果满足初始条件的解,那么。
证明:
设的形式为=
(1)(C为待定的常向量)
则由初始条件得=
又=所以C==
代入
(1)得=即命题得证。
2、(12分)设在区间上连续.试证明方程的所有解的存在区间必为。
证明:
由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。
显然是方程的两个常数解。
任取初值,其中,。
记过该点的解为,
由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;
另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与惟一性矛盾;
故该解的存在区间必为。
3、(12分)设,是方程的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:
存在常数C使得=C.
设,是方程的两个解,则它们在上有定义,
其朗斯基行列式为
由已知条件,得
故这两个解是线性相关的;
由线性相关定义,存在不全为零的常数,
使得,
由于,可知.
否则,若,则有,而,则,
这与,线性相关矛盾.故
4、(12分)叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容,并给出唯一性的证明。
定理:
设.
(1)在上连续,
(2)在上关于满足利普希茨条件:
,总有.
则初值问题存在唯一的解,定义于区间上,
连续且满足初值条件,这里.
唯一性:
设是积分方程在区间上的解,则.
,,
首先估计.
,
设成立,则
这就证明了对任意的,总成立估计式:
.
因此,一致收敛于,由极限的唯一性,必有.
5、(10分)求解方程组的奇点,并判断奇点的类型及稳定性。
解:
令,得,即奇点为(2,-3)
令,代入原方程组得,
因为,又由,
解得,为两个相异的实根,
所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定。
6、(12分)求方程组满足初始条件的解.
方程组的特征方程为,
所以特征根为(二重),
对应齐次方程组的基解矩阵,
满足初始条件的特解
7、(10分)假设不是矩阵的特征值,试证非齐线性方程组有一解形如其中,是常数向量。
设方程有形如的解,则是可以确定出来的。
事实上,将代入方程得,
因为,所以,
(1)
又不是矩阵的特征值,
所以存在,于是由
(1)得存在。
故方程有一解
8、(12分)试求方程组的一个基解矩阵,并计算,其中.
,均为单根,
设对应的特征向量为,则由,得,.
取,同理可得对应的特征向量为,
则,均为方程组的解,
令,又,
∴即为所求基解矩阵.
9、(12分)试证明:
对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在.
∵,在全平面上连续
∴原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.
又显然是方程的两个特解.
现任取,,记为过的解,
那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展,又上不能穿越,下不能穿越,
因此它的存在区间必为.
10、(10分)求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点的连线相互垂直.
设曲线方程为,切点为,切点到点的连线的斜率为,
则由题意可得如下初值问题:
分离变量,积分并整理后可得,
代入初始条件可得,
因此得所求曲线为.
11、(12分)在方程中,已知,在上连续,且.求证:
对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为.
由已知条件可知,该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件,又存在常数解.
对平面内任一点,若,则过该点的解是,显然是在上有定义.
若,则,记过该点的解为,
那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展;
另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和,否则与解的惟一性矛盾.
因此解的存在区间必为.
12、(10分)设是方程的任意两个解,求证:
它们的朗斯基行列式,其中为常数.
由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件.
显然是方程的两个常数解.
任取初值,其中,,记过该点的解为,
由上面分析可知,一方面可以向平面无穷处无限延展;
另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与唯一性矛盾,
故该解的存在区间必为.
13、(12分)试证:
在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。
如M、N都是n次齐次函数,
则因为x+y=nM,x+y=nN,
故有=
=
==0.
故命题成立。
10
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