选列主元的高斯消去法实验报告2文档格式.docx
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对于非奇异矩阵A,求解线性方程组Ax=b可以使用gauss消去法进行。
但是,gauss消去法要求系数矩阵A的顺序主子式非奇异。
为此做出改进:
每次消元之前,首先选出第i列(i<
=k)中最大的作为列主元,这样,就能保证消元乘数
不仅不被系数矩阵A的顺序主子式非奇异的限制,还这样就能有效的防止误差的传播与放大。
算法:
(1)对增广矩阵[ab]进行第i次消元,首先选取列主元a(i,k)=Max|a(I,i:
n),交换第i行与第k行;
(2)以列主元进行消元,计算公式为
a(k,i)=a(k,i)/a(i,i);
(k=i+1:
n)
a(k,j)=a(k,j)-a(k,i)*a(i,j);
(j=i:
(3)回代法计算结果,计算公式为:
x(n)=b(n)/a(n,n);
x(p)=[b(p)-∑a(p,j)x(j)]/a(p,p)(j=p+1:
注:
gauss(a,b)为选取列主元gauss消去法,gauss2(a,b)为gauss消去法。
三,实验MATLAB程序代码
实验的MATLAB程序代码如下
四,实验结果与分析
1,两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果分析
实验结果(如图一)对于顺序主子式奇异的系数矩阵,使用gauss消去法(gauss2(a,b))不能解出,而使用选列主元的gauss消去法(gauss(a,b))能够解出。
主要是选列主元的gauss消去法每次都选出最大的列主元,从而保证了每次用作除数的a(I,i)≠0.
图一:
两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果
2,两种算法对舍入误差的放大效应分析
用随机生成函数random('
Normal'
1,7,10,10)生成10*10矩阵,分别gauss消去法和选列主元的高斯消去法解出,并用公式erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|估计其误差,结果如下图。
图二:
两种算法对舍入误差的放大效应分析
可以看到,对同一个方程组,选列主元的高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'
-b,inf)=6.6613e-016<
高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'
-b,inf)=7.6605e-015,两者相差一个数量级,由公式erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|可知,对应的误差也就相差一个数量级。
选列主元的高斯消去法因为每次消元之前,首先选出第i列(i<
=k)中最大的作为列主元,这样,就能保证消元乘数小于1,因此选列主元的高斯消去法能有效的防止误差的传播与放大。
3,对于恶性矩阵:
希尔伯特矩阵,选列主元的高斯消去法的表现:
由以下代码生成希尔伯特矩阵:
fori=1:
n
forj=1:
a(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
取方程组Hx=ones(n,1);
当n=5,结果为:
norm(a*ans'
-b,inf)=8.7311e-011;
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=(4.7661e+005*1.4211e-014)/2.2361=3.0290*-09;
可见误差比较小;
结果还可以接受。
当n=10,结果为:
-b,inf)=8.7311e-011;
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=(1.6025e+013*8.7311e-011)/3.1623=4.4720*+02;
此时,误差已经大到无法接受。
对于这样的情况,需要用以下方法改进:
(1)算出残余矩阵r=b-a*x;
(2)解出a*y=r;
(3)X’=x+y;
但是这种改进只对病态不是很严重的矩阵有帮助,对病态严重的矩阵,比如对于H10,我们有:
改进后,解得:
x=(x+y)=1.0e+006*[-0.00000.0010-0.02380.2402-1.26113.7834-6.72607.0006-3.93790.9237],
对应误差为
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=(1.6025e+013*8.0036e-011)/3.1623=4.0558*+02,
可见改进并无很好效果。
五,实验心得
(1)通过具体的实验,我真正明白了gauss消去法的原理,而且明白了选列主元的gauss消去法对于减小系数矩阵的要求和减少舍入误差的传播方面的优点。
(2)由于MATLAB我是才开始接触,因此在编程的时候碰到了许多问题,花了不少时间,但是也让我对MATLAB的使用有了进一步的了解。
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