范德蒙德行列式的研究与应用文档格式.doc

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与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

毕业设计（论文）作者（签字）：

年月日

重庆科技学院本科生毕业设计摘要

摘要

行列式最早出现于16世纪线性方程组的求解问题中。

范德蒙德行列式是《线性代数》的重要内容和研究工具。

同时是近代线性代数的一个重要分支。

在许多方面都有着广泛的应用，它是后续课程，线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。

范德蒙德行列式不仅是形式优美，同时有着广泛的应用。

首先明确什么是范德蒙德行列式。

了解范德蒙德行列式的证明过程。

然后探讨它在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式计算中的应用，对范德蒙德行列式应用于阶行列式的计算进行探讨。

在向量空间理论中，会经常遇到需要用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化很容易就能够得到所需结论的方法进行探讨。

在线性变换中巧妙的使用范德蒙德行列式的方法进行探讨。

在多项式理论中利用范德蒙德行列式涉及到求根方法进行探讨。

关键字：

范德蒙德行列式线性方程组向量空间线性变换

重庆科技学院本科生毕业设计ABSTRACT

ABSTRACT

Thedeterminantappearedattheearliestwhichwasusedtosolvetheproblemconcerningthelinerequationsin16centuries,butthedaywasuptonowthetheoreticalapplicationindeterminantwasfarusedinlotsofdomains.Vandermonde’sdeterminantisregardedanakindofspecialdeterminant,whichnotonlyhavethespecialformbutalsohavetheextensiveapplication.

Firstly,weshouldknowwhatistheVandermonde’sdeterminant,then，understandingtheproofofVandermonde’sdeterminant’sprocess,finally,weinquiredintotheVandermonde’sdeterminantinvectorspace、lineartransformation、polynomialtheoriesanddeterminant’scalculationofapplication.ForVandermonde’sdeterminantusedindeterminantcalculationinordertoexploring.Inthevectorspacetheory,itwilloftenencounterproblemswhichneedVandermonde’sdeterminanttotransformating.Byconverting,itisveryeasytobeabletogetthenecessaryconclusionstoexploringways.LineartransformationincleverwaystouseVandermonde’sdeterminanttoexplore.UsingVandermonde’sdeterminantinvolvesrootingmethodsarediscussedinthepolynomialtheory.

Keywords:

Vandermonde’sdeterminant；

linerequations；

vectorspace；

lineartransformation

II

重庆科技学院本科生毕业设计目录

目录

摘要 I

ABSTRACT II

目录 III

1绪论 IV

2问题分析 5

3.1范德蒙德行列式的定义以及它的计算方法 6

3.2范德蒙德行列式的化简 7

3.3范德蒙德行列式的应用 11

3.3.1向量空间理论中的应用 11

3.3.2在线性变换理论中的应用 12

4范德蒙德行列式的引理和定理 15

4.1缺少若干行且改变某行数据的广义范德蒙德行列式的引理和定理 15

5总结 20

参考文献 21

致谢 22

1

重庆科技学院本科生毕业设计绪论

1绪论

这个论文就是议论和概括范德蒙德行列式的算法、推广和应用。

范德蒙德行列式的证明过程是行列式定义与数学归纳法的综合应用，是线性代数中著名的行列式。

范德蒙德行列式的应用就是：

探讨它的计算方法，各种位置变化规律，如何应用范得蒙行列式计算行列式，它在向量空间理论、线性变换理论及微积分中的计算。

如何将给定行列式化成范德蒙德行列式的标准形式是其中最重要的。

利用范德蒙德行列式结论计算并不复杂。

首先，通过探讨范德蒙德行列式的计算方法、各种位置变化规律、以及应用范德蒙德行列式计算行列式，将给定行列式化成范德蒙德行列式的标准形式，然后，把它在线性变换理论、微积分中、向量空间理论的应用辅以实例加以研究。

在1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法，但是卡当并没有给出行列式的概念，于1693年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。

在1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念，为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。

行列式理论就是：

莱布尼茨这种解决方程组的方法。

然后在1771年，范德蒙德不仅对行列式理论的开创性工作本身进行研究，而且把行列式应用于线性方程组的解，同时他也是行列式的奠基人。

也为群的概念奠定了研究基础研究以拉格朗日的预解式和置换理论为理论基础。

范德蒙德行列式就是由他研究并总结出来的。

开创了将方程组与行列式分离开来的先河就是范德蒙德。

单独阐述了行列式理论的数学家是范德蒙德。

首次给出二阶子式及其余子式的系统概念的也是范德蒙德，同时第一次给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行相应地展开得到相应地结果法则，并用专门的符号记录行列式的也是范德蒙德。

1772年，皮诶尔-西蒙.拉普拉斯在他的论文中给出了余子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。

此时起，是人们对行列式单独研究的开端。

人们对行列式理论深入研究的新的开始是从19世纪开始的。

伟大的数学家柯西是第一个给出行列式系统理论的。

是他给出的行列式的乘法定理、双重组标记法等。

而在1832~1833年间，得出了计算行列式的特殊结果是另一著名数学家卡尔·

雅可。

1839年，卡塔兰的雅可比行列式就是在这个基础之上发现的。

一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果就是范德蒙德行列式，所以不仅在数学领域中占据着重要地位，而且也有着广泛的应用在各个领域中，如果我们能够适当的变形化成范德蒙德行列式的形式在进行行列式计算或变换时，就能起到：

简化解题过程或者是减少计算量的效果。

有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙德行列式，我们运用范德蒙德行列式进行计算或者变换的时候；

有些行列式需要增加一行一列才可以应用范德蒙德行列式的相关性质进行计算，还有些行列式则需要经过加边、拆行方可利用范德蒙德行列式。

当我们遇到齐式元素的行列式时，我们则可以考虑利用行列式的乘法后。

当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的行列式时候。

在应用范德蒙德行列式进行计算，我们首先可以借助单位原根以及范德蒙德行列式进行计算。

从而也就出现了范德蒙德行列式的推广形式。

因为其幂次的排列顺序与范德蒙德行列式不完全相同，所以所求的行列式的各行或各列都是某个元素的不同幂次，是常见的化为范德蒙德行列式的方法,需利用行列式的相关性质，例如：

提取公因式、拆行或者拆列、调换各列或各行的顺序等等，把所求行列式化为范德蒙德行列式后进行进一步的计算就是利用这些范德蒙德行列式的计算结果。

范德蒙德行列式和范德蒙德行列式的推广形式与线性泛函逼近、函数插值、数字信号等自然科学与工程技术领域中需要解决的问题密切相关，所以，我们有必要对其性质进行讨论，以便于我们更好的利用范德蒙德行列式及其推广形式的性质和结果来解决相应的问题。

化复杂为简便,化繁琐为简单是利用范德蒙德行列式解题的本质。

可以使研究者对范德蒙德行列式的计算方法及其推广应用等方面的研究达到事半功倍的效果在于正确的使用范德蒙德行列式解题。

总结范得蒙行列式算法、推广及其应用,结合实际例题，找到将给定行列式化成范得蒙行列式标准形式有效途径，提出相应的应用。

19

重庆科技学院本科生毕业设计2问题分析

2问题分析

明确范德蒙德行列式的形式，了解范德蒙德行列式的证明过程，最后探讨范德蒙德行列式在向量空间理论，线性变换理论，行列式计算及微积分中的应用。

在向量空间理论中，当遇到需要应用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化，就会得到所需结论。

在线性变换中巧妙使用范德蒙德行列式的方法进行讨论。

对范德蒙德行列式应用于阶行列式的计算进行探讨。

将范德蒙德行列式应用到多项式理论中的求根问题上。

具体内容如下：

（1）探讨范德蒙德行列式算法、推广；

（2）简要的介绍相关向量空间理论、线性变换理论、微积分基本原理；

（3）利用范德蒙德行列式把给定行列式化成标准形式；

（4）范德蒙德行列式的应用。

重庆科技学院本科生毕业设计3问题求解

3问题求解

3.1范德蒙德行列式的定义以及它的计算方法

当行列式的形式为

时，就被称为阶的范德蒙德行列式。

证明阶范德蒙德行列式等于，，，…，这个数的所有可能的差的乘积是：

，对任意的。

我们对可以用数学归纳法进行计算。

当时，结果明显是对的。

假设对于阶的范德蒙德行列式的结论同时也都是成立的，现在来看阶的情况是什么样的。

在

中，我们可以从最后一行开始依次地让每一行减去它上一行的倍，即第行减第行的倍，第行减第行的倍，有

一个阶的范德蒙德行列式就是后面这个行列式，它就是等于所有可能的差的乘积，就是应用数学归纳假设；

在前面出现了包含的差。

因此，结论对于阶范德蒙德行列式也都是成立。

应用数学归纳法，我们完成了它的证明。

用连乘号，这个结果可以被简写为：

由这个结果得到的结论是：

范德蒙德行列式为零的充要条件是在，，，…，，这个数中至少有两个数相等。

3.2范德蒙德行列式的化简

将所给的行列式化成范德蒙德行列式，再应用这个结果来进行相应的计算是范德蒙德行列式的特点。

经常应用的化法有以下几种：

如果要应用行列式的性质，那就是题中给出了行列式各列或者各行都是某个元素的不同次幂。

因为幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同（如拆项、调换各行或各列的次序、提取公因式的方法等等）将行列式化简成为范德蒙德行列式。

例：

计算

解：

中的每行元素全都分别是一个数的自左向右的按照递升的顺序经行排列，但不是从变到，而是从递升到，例如提取每行的提取每行的公因数则方幂次数便从变到

计算

为了中的每列元素的方幂的次数从第一行开始按照顺序的递升排列，因为范德蒙德行列式的排列规律与题目中的行列式的排列规律是相反的，将第行依次的与上一行进行交换，直至交换到第一行，第行依次的与上一行进行交换，直至第二行……第二行依次的与上一行交换，直至第行，于是共经历过次行的进行交换，得到了阶的范德蒙德行列式：

范德蒙德行列式是由且中含有由个分行或列，任意的相邻的两行或列均含有相同的分行或列所组成的，可以将的第行或列乘以加到第行或列，消除一些分行或列，如果有的第行或列由两个分行或列组成的，即可以化成范德蒙德行列式。

（1）加行加列法：

各行或各列元素均为某一个元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可以用此方法：

计算

做阶的行列式：

根据所给的行列式可以知道的系数是，但是由上面的式子可以知道的是：

通过比较系数，得到：

（2）拉普拉斯展开法：

通过应用公式可以用来计算行列式的值：

计算

取第1、3、…、行，第1、3、…、列被展开，解得：

（3）乘积变换法

设

计算

如何将已经给定的行列式转化成范德蒙德行列式的标准形式是比较困难的，应用范德蒙德行列式的结论来进行计算其实并不是很复杂，这是具有较高的技巧和方法，这是需要我们在今后的学习中同时不断的进行总结，揣测它的规律。

3.3范德蒙德行列式的应用

3.3.1向量空间理论中的应用

我们很轻松的就能通过转化得到所要得到的结论在向量空间理论中，当我们遇到需要用范德蒙德行列式转化的题目时。

设是数域上的维向量空间，任给正整数，则在中存在个向量，其中任取个向量都线性无关。

证明：

因为，所以只须在中考虑即可。

取

令

是范德蒙德行列式，且，所以，线性无关。

的有限个真子空间不能覆盖，设是数域上的维向量空间。

当时，显然成立。

设时，令是的一个基。

设，其中为F中元素之集合。

令

当为单位向量时,则易证是双射。

若中蕴含无穷多个不同的元素。

设为的真子空间，则大于中的元素在中的个数。

否则，若

范德蒙德行列式有时，系数行列式为非零。

进而与前文矛盾，当有，而中蕴含无穷多个元素，中的元素只有有限多个元素在中，但，所以有，即的有限个真子空间不能覆盖其自身。

3.3.2在线性变换理论中的应用

在我们高等代数的学习之中，线性变换都是一直以来的一个重点和难点，题目的变化也是非常多的，那么在有些题目中，我们可以技巧性的运用范德蒙德行列式来解决这样的题目。

设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值则

（1）与可交换的的线性变换是，的线性组合，这里，为恒等变换。

（2）线性无关的充分必要条件是，这里的。

（1）若是的不变子空间，有，是与可交换的线性变换。

令且，则有以下方程组。

（1）

因为范德蒙德行列式是且方程组

（1）的系数行列式，所以，，的线性组合是，故方程组

（1）有唯一解。

（2）充分性

因为，所以

并且

，

所以

是可逆矩阵，又因为是的一组基，线性无关。

（3）必要性

构成的一个基，设是分别属于的特征向量，有。

则是的属于的特征向量若，故结论成立。

不妨设全不为零，而，若存在，使，因而有

由范德蒙德行列式可以知道：

当的一个阶子式不为零，有秩，，有线性无关，因为线性无关与前文矛盾。

从而，这里。

重庆科技学院本科生毕业设计4范德蒙德行列式的引理和定理

4范德蒙德行列式的引理和定理

4.1缺少若干行且改变某行数据的广义范德蒙德行列式的引理和定理

一类特殊的广义的范德蒙德行列式，就是

这一类行列式的特点是：

既缺少范德蒙德行列式中的若干行数据，同时又改变其中的某行的数据。

引理4.1.1

其中有，，是阶的范德蒙德行列式，表示的是多项式函数的一阶导函数在处的值。

由范德蒙德行列式可以知道

则有

引理4.1.2

其中有，表示中所有可能的个数的乘积的和。

定理4.1.3

其中有，，是表示多项式函数的一阶导函数在处的值，表示除了外的个数，，，，...，中的所有可能的个数的乘积的和。

把按照行展开来，得到

由引理4.1.1和引理4.1.2可以知道

故而有

重庆科技学院本科生毕业设计5总结

5总结

了解范德蒙德行列式的证明过程。

然后探讨它在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式计算中的应用。

在向量空间理论中，对范德蒙德行列式应用于阶行列式的计算进行探讨，通过转化就会比较容易的就能够得到所需要的结论的方法进行探讨。

在线性变换中巧妙的使用范德蒙德行列式的方法进行探讨。

我们会经常遇到需要用范德蒙德行列式转化的问题，在多项式理论中利用范德蒙德行列式涉及到求根方法进行探讨。

本文只是对范德蒙德行列式的初步探讨与研究。

以此作为相应的理论基础，我们可以进而研究范德蒙德行列式的其它性质和应用，推广到其它方面的应用。

参考文献

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