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150种
排列、组合及简单计数问题;
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,
再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,
则不同的选法共有15×
5=75种;
故选C.
本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.
3.(2014•黄冈模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为( )
36
48
72
120
计算题;
分类讨论.
由题意知本题是一个分类计数问题,按照以5开头的数字,以6开头的数字,依次列举出以9开头的数字,把所有的结果相加
由题意知本题是一个分类计数问题,
以5开头符合要求的数:
5679856978576985789658796589765967859876
以6开头符合要求的数:
65879,65897,65789,65987,67859,67895,67589,67985,69857,69875,69587,69785,共12种情形;
以7开头符合要求的数:
7569875896765987695878596789567965879856
以8开头符合要求的数:
85679856978576985967876598769589657896758756987965
8956789765共12种情形;
以9开头符合要求的数:
9567895876965789675897658978569875698576
用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,
其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为48个
故选B.
本题考查分类计数原理的应用,本题解题的关键是按照一定的顺序,列举出所有符合条件的数字,注意做到不重不漏.
4.(2014•蓟县一模)从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班,每人值2天班,如果甲不安排在星期一,乙不安排在星期六,那么值班方案种数为( )
42
30
60
计算题.
因为甲不安排在星期一,乙不安排在星期六,,所以先排甲乙,而甲若排在星期六,则乙就没有限制,所以可按甲的排法分类,分为两类,一类是甲排在星期六,其他人没有限制,有C41C42种排法,一类是甲不排在星期六,则甲从星期二到星期五之间选一天,有C42种选法,再排乙,不能安排在星期六,所以从剩下的3天中选2天,有C32中选法,最后排丙,没有限制,最后,再把两类相加即可.
解;
分两类
第一类,甲排在星期六,有C41C42=24种排法.
第二类,甲不排在星期六,有C42C32=18种排法
∴值班方案种数为24+18=42种
故选A
本题考查了有限制的排列问题,做题时要按限制条件分类.
5.(2014•张掖三模)我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中,男、女都有的概率为( )
古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
概率与统计.
所有的选法共有种,其中,男、女都有的选法有4×
2种,由此求得男、女都有的概率.
所有的选法共有=15种,其中,男、女都有的选法有4×
2=8种,
故男、女都有的概率为,
故选A.
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.
6.(2014•宜宾一模)已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检,每校至少要分配2名医生和1名护士,则不同的分配方案共有( )
30种
90种
120种
圆锥曲线的定义、性质与方程.
先为第一个学校安排医生和护士,其余的给另一所学校,根据分步计数原理得到结果.
由于每校至少要分配2名医生和1名护士,所以分配的方案为2名医生和1名护士,2名医生和2名护士,其余的给另一所学校.
所以有×
()=120种分法.
故选D.
本题考查排列组合知识,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于基础题.
7.(2014•嘉兴二模)甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排,其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是( )
18
24
先选1人站在甲、乙两人中间,再与其余2人进行全排,即可得出结论.
先选1人站在甲、乙两人中间,再与其余2人进行全排,可得=36种.
本题考查排列组合及简单的计数原理的问题,考查学生的计算能力,属于基础题.
8.(2014•黄冈模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
6种
12种
36种
“至少1门不同”包括两种情况,两门均不同和有且只有1门相同,再利用分步计数原理,即可求得结论.
甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:
1、甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有C42C22=6种.
2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:
①从4门中先任选一门作为相同的课程,有C41=4种选法;
②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法,由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种.
综上,由分类计数原理,甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.
本题考查排列组合知识,合理分类、正确分步是解题的关键.
9.(2014•漳州模拟)用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中,有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( )
432
288
216
144
从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有=6种.先排3个奇数:
用插空法求得结果,再排除1在左右两端的情况,问题得以解决.
从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有=6种,
先排3个奇数,有=6种,形成了4个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中,
方法有=12种.
根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×
6×
12=432种.
若1排在两端,1的排法有•=4种,
形成了3个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中,方法有=6种,
4×
6=144种,
故满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,
则这样的六位数的个数为432﹣144=288种.
本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用,注意不相邻问题用插空法,相邻问题用捆绑法,属于中档题.
10.(2014•达州二模)一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有( )
15种
17种
19种
由分步计数原理可得总的取法由27种,列举可得不合题意得有8种,进而可得符合题意得方法种数.
由题意结合分部计数原理可得,总的取球方式共3×
3×
3=27种,
其中,(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,2,2),
(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)共8种不符合题意,
故取得小球标号最大值是3的取法有27﹣8=19种,
故选D
本题考查计数原理的应用,采用间接的方式结合列举法是解决问题的关键,属中档题.
11.(2014•雅安三模)从1,3,5,7,9这5个奇数中选取3个数字,从2,4,6,8这4个偶数中选取2个数字,再将这5个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位数的个数是( )
180
360
480
720
先按要求取出5个数,再根据奇数数字与偶数数字相间排列,利用插空法,由乘法原理可得结论.
从1,3,5,7,9这5个奇数中选取3个数字,从2,4,6,8这4个偶数中选取2个数字,共有=60个,奇数数字与偶数数字相间排列,利用插空法,共有=12个,所以这样的五位数共有60×
12=720个.
本题考查排列组合知识,考查乘法原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
12.(2014•唐山二模)将6名男生,4名女生分成两组,每组5人,参加两项不同的活动,每组3名男生和2名女生,则不同的分配方法有( )
180种
先分组,因为两组的男生和女生的人数一样,需要除以顺序数,再分配到参加两项不同的活动,求出即可.
先将6名男生,4名女生分成两组,每组5人,有不同的组,然后将这两组分配到两项不同的活动中,则不同的分配方法有=120种.
本题主要考查了排列组合种的分组分配问题,属于中档题.
13.(2014•河北模拟)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有( )
24种
间接法:
先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元素的全排列,从中排除数学、理综安排在同一节的情形,可得结论.
由于每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,
先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元素的全排列,共=36种方法,
再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共=6种方法,
故总的方法种数为:
36﹣6=30
本题考查排列组合及简单的计数问题,采用间接法是解决问题的关键,属中档题.
14.(2014•达州一模)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字,且3与4相邻,1与2不相邻的五位数的个数为( )
1120
12
先把3和4捆绑在一起,当做一个数;
再把1和2单独挑出来,其余的2个数排列;
再把1和2插入2个数排列形成的3个空中,求出每一步的方法数,相乘即得所求.
先把3和4捆绑在一起,当做一个数,这样,5个数变成立4个数,方法有种.
再把1和2单独挑出来,其余的2个数排列有种方法.
再把1和2插入2个数排列形成的3个空中,方法有种.
根据分步计数原理,五位数的个数为••=24种,
本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,注意相邻的问题用捆绑法,不相邻的问题用插空法,属于中档题.
15.(2014•金华模拟)已知集合A={1,2,3,4,5,6},在A中任取三个元素,使它们的和小于余下的三个元素的和,则取法种数共有( )
4
10
15
20
直接利用6个数之和为21,分为2组,必要一组数之和是小于另一组,求解即可.
∵1+2+3+4+5+6=21,∴在A中任取三个元素它们的和与余下的三个元素的和,一定不相等,
并且一组数之和是小于另一组,
∴满足题意的求法有:
.
本题考查计数原理的应用,考查学生分析问题解决问题的能力.
16.(2014•郑州模拟)现有4名同学及A、B、C三所大学,每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试,并且每所学校至少有1名同学报名参考,其中同学甲不能参加A学校的考试,则不同的报名方式有( )
72种
分类讨论:
甲在B、C两所大学选一所,其余3位同学,未选甲选的学校;
有一位选甲选的学校,相加后得到结果.
甲在B、C两所大学选一所,其余3位同学,未选甲选的学校,共有=12种;
甲在B、C两所大学选一所,其余3位同学,有一位选甲选的学校,共有=12种,
故共有12+12=24种,
本题考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是其余3位同学,选育未选甲选的学校,要分类讨论.
17.(2013•福建)满足a,b∈{﹣1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为( )
14
13
由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根,所以分两种情况:
(1)当a≠0时,方程为一元二次方程,那么它的判别式大于或等于0,由此即可求出a的取值范围;
(2)当a=0时,方程为2x+b=0,此时一定有解.
(1)当a=0时,方程为2x+b=0,此时一定有解;
此时b=﹣1,0,1,2;
即(0,﹣1),(0,0),(0,1),(0,2);
四种.
(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,
∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0,
∴ab≤1.所以a=﹣1,1,2此时a,b的对数为(﹣1,0),(﹣1,2),(﹣1,﹣1),(﹣1,1),(1,﹣1),(1,0),(1,1);
(2,﹣1),(2,0),共9种,
关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种,
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根,在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.
18.(2014•安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°
的共有( )
24对
30对
48对
60对
异面直线及其所成的角.菁优网版权所有
利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果.
正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有=66条,
同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,
不满足题意的共有:
6=18.
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°
的共有:
66﹣18=48.
本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键.
19.(2014•邢台二模)身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿红色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( )
48种
78种
84种
压轴题.
由题意知先使五个人的全排列,共有A55种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果
由题意知先使五个人的全排列,共有A55种结果.
去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况
∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48
本题是一个简单计数问题,在解题时注意应用排除法,从正面来解题时情况比较复杂,所以可以写出所有的结果,再把不合题意的去掉.
20.(2014•临汾模拟)航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼﹣15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )
16种
先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置,再考虑甲、乙两机,位置交换,即可得出结论.
先考虑甲、乙两机,若甲、乙两机是12位置,则其余3架飞机有=6种方法;
甲、乙两机是23位置,则丁有,其余2架飞机有种方法,共有=4种方法;
同理,甲、乙两机是34、45位置,均分别有4种方法,
甲、乙两机,位置交换,同样有以上各种情况,
故共有2(6+4+4+4)=36种不同的着舰方法.
本题考查排列、组合知识的运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于基础题.
21.(2014•揭阳模拟)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的7个专业中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专业志愿的方法有( )
210种
95种
利用排列组合的方法即可得到结论.
从7个专业选3个,有种选法,
甲乙同时兼报的有种选法,
则专业共有35﹣5=30种选法,
则按照专业顺序进行报考的方法为×
30=180,
B
本题主要考查排列组合的应用,利用对立法是解决本题的关键.
22.(2013•山东)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
243
252
261
279
求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可.
用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:
900,
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:
9×
8=648,
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:
900﹣648=252.
本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.
23.(2014•四川模拟)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼﹣15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )
分两大步:
把甲、乙看作1个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有种方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种,有种方法,由分步计算原理可得答案.
把甲、乙看作1个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有种方法,
再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种,有种方法,
由分步计算原理可得总的方法种数为:
=24
故选C
本题考查简单的排列组合问题,捆绑法和插空法结合是解决问题的关键,属中档题.
24.(2014•马鞍山一模)用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )
108
如果重复数字为0,则须要从1,2,3中选出两个,然后根据首位不能放0,得到个数为••个,如果重复数字不为0,则根据首位不能为0,得到个数为+,综合两个情况可得答案.
用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,
①如果重复数字为0,
则需要从1,2,3中再选取两个不同的数字,且0不能放在首位,
故首位应从两个非零数字中选择一个,而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进行放置,
则共有:
••=3×
2×
3=18个
②如果重复数字不
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