平行四边形性质证明Word格式.doc
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教学难点:
理解平行四边形的性质并应用它们解决实际问题。
教学过程:
一、复习回顾,引入课题:
初二年级我们已经探索过平行四边形的性质及判别条件,让我们回顾一下:
问题1、什么叫做平行四边形?
平行四边形有哪些性质?
(从四边形的边的关系看,平行四边形有哪些性质)
(从四边形的角的关系看,平行四边形有哪些性质)
(从四边形的对角线的关系看,平行四边形有哪些性质)
问题2、你能利用公理和已有的定理证明它们吗?
本节课老师将和同学们一起来探索平行四边形的性质的证明过程。
二、讲授新课:
平行四边形性质的证明:
(1)定理:
平行四边形的对边相等。
已知:
如图,四边形ABCD是平行四边形。
求证:
AB=CD,AD=BC
分析:
证明线段相等的主要方法有:
“全等三角形的对应边相等”,“等腰三角形的两腰相等”。
连结AC,得到ABC和CDA,只要证明ABC≌CDA.则问题解决。
证明:
法一,如图,连结AC四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC.∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD.
在ABC和CDA中,
∠BAC=∠DCA,AC=CA,∠ACB=∠CAD
∴ABC≌CDA
∴AB=CD,AD=BC
法二,如图,连结BD,四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC.∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD
在△ABD和△CDB中,
∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD
∴ABD≌CDB
∴AB=CD,AD=BC
(2)定理:
平行四边形的对角相等。
问题:
观察上述证明过程,你还能得出什么结论?
(通过以上的证明过程,还能得到平行四边形的对角相等)
证明:
法一,如图,四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠A+∠B=180,∠C+∠D=180,∠A+∠D=180,∠B+∠C=180,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
法二,如图,ABC≌CDA,∠BAC=∠DCA,
∠ACB=∠CAD
∴∠B=∠D,∠BAC+∠CAD=∠DCA+∠ACB
∴∠BAD=∠DCB,即∠A=∠C
法三,(略)
通过以上两个问题的证明过程,学生初步体会了将平行四边形中线段相等,角相等的相关问题转化为全等三角形全等的问题,丰富了探究证明过程的方法和思路。
(3)定理:
平行四边形的对角线互相平分。
如图,在平行四边形ABCD中,连结AC,BD交于点O.
求证:
OA=OC,OB=OD.
分析:
欲证OA=OC,OB=OD,只需要证明△AOD≌△BOC即可
证明:
法一,四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD//BC
∴∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC
在AOD和BOC中,∠OAD=∠OCB,AD=BC,∠ODA=∠OBC
∴△AOD≌△BOC
∴OA=OC,OB=OD.
法二,四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB//CD
∴∠OBA=∠ODC,∠OAB=∠OCD
在△AOB和△COD中,∠OBA=∠ODC,AB=CD,∠OAB=∠OCD
△AOB≌△COD
∴OA=OC,OB=OD
三、课后思考:
是否存在将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分的线段?
如果存在,这样的线段有多少条?
你能发现满足条件的这些线段有什么特征?
根据“平行四边形的对边相等,对角线互相平分”的证明过程,容易得到
ABC≌CDA,ABD≌CDB,对角线AC、BD均符合题意。
设AC、BD交于点O,猜想探究过点O与一组对边相交的线段是否符合题意?
四、总结:
五、作业布置:
六、板书设计:
平行四边形的性质:
1、平行四边形的对边平行.
2、平行四边形的对边相等
3、平行四边形的对角相等.
4、平行四边形的对角线互相平分.
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