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,有。
二、离散型随机变量
1.离散型随机变量及其概率分布律
若随机变量只取一些离散值,且取到这些值的概率满足,则称为离散型随机变量,而称为其概率分布律,记为,也可用下表来表示:
而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。
2.常用离散型分布
⑴.单点分布:
为常数;
⑵.二项分布:
特别当时,二项分布退化为两点分布;
⑶.超几何分布:
⑷.分布:
特别当时,分布退化为几何分布;
⑸.分布:
。
三、连续型随机变量
1.连续型随机变量及其概率密度函数
若随机变量的一切可能取值充满了某一区间,且存在一个实值函数,使其概率分布函数,且,则称为连续型随机变量,而称为其概率密度函数,记为。
连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。
2.常用连续型分布
⑴.分布:
设为常数,则分布的密度函数为:
特别当时,分布即均匀:
⑵.分布:
特别当时,分布即指数分布:
⑶.正态分布:
四、随机变量函数的分布
设为随机变量,而为连续的确定型函数。
⑴.若为离散型随机变量,且,则也是离散型随机变量,其概率分布律为:
;
⑵.若为连续型随机变量,且,则也是连续型随机变量,其概率密度函数为:
。
【第二章作业】
1、从的自然数中随机地取出个数,用表示所取的个数中的最大值,求其概率分布。
解:
发生所取的个数中有一个是,其余个是从中取到的,故
,,即
2、将一枚均匀的硬币连掷次,用表示出现的正、反面次数之差,求其概率分布。
用表示将一枚均匀的硬币连掷次时,正面出现了次,则
,即
3、设随机变量的概率分布如下,求:
1
2
3
4
5
由题设知所求概率为:
,
,。
4、设随机变量的概率分布为,求常数。
由得。
5、设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过盏信号灯,每盏信号灯以的概率允许或禁止汽车通过,用表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的数目,求其概率分布。
由题意知,即
6、设一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能的答案,其中只有一个答案是正确的,某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少?
。
7、对同一目标进行次独立射击,每次射击的命中率为,问这次射击中最可能命中多少次?
其相应的概率是多少?
,,其中,由于
在内是单调递增的,而在内是单调递减的,故的最大值点为:
对于本题,由于,故的最大值点为,
即次射击中最可能命中132次,且相应的概率为:
注:
当时,有斯特林公式。
8、设随机变量服从参数为的分布,且,求。
由知,,而。
9、对同一目标进行独立射击,每次射击的命中率为,直到命中目标为止,用表示命中首次目标时的射击次数,求其概率分布,并计算至少需射击2次才能命中目标的概率。
,而
10、袋中有5个同样大小的球,分别给其编号为,从中同时取出3个球,用表示所取的3个球上号码的最大值,求其概率分布及分布函数。
发生所取的3个球中有一个的号码是,其余2个的号码是从中取到的,故,,即
其分布函数及其图形如下:
,
11、设随机变量的分布函数为,求常数。
由分布函数的性质得:
,解之得,即。
12、设随机变量的概率密度函数为,求常数及。
由概率密度函数的性质得:
,故,而
13、设某电子元件寿命的概率密度函数为,求5个同类型的电子元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。
,。
14、设随机变量的分布函数为,求其概率密度函数。
15、设随机变量的概率密度函数为,求其概率分布函数。
16、设公共汽车站从上午7:
00点到晚上8:
00点间,每隔15分钟来一辆班车,若某乘客到达车站的时间在上午7:
00点到7:
30内均匀分布,求其候车时间不超过5分钟的概率。
由题设知该乘客的到站时间、候车时间之间的关系为:
,,而,故
17、设随机变量,求方程有实根的概率。
由题设知,故方程有实根的概率为:
18、设打一次电话所用的时间服从的指数分布,若某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需要等待分钟的概率。
由题设知,故所求的概率为:
19、设,求。
,
20、设,求。
由于,故,从而
21、设某地区的月降雨量服从的正态分布,求从某月起连续10个的降雨量都不超过的概率。
由于,故,从而所求概率为:
22、设随机变量的概率分布律如下,求的概率分布律。
6
9
15
23、设随机变量的概率分布律如下,求的概率分布律。
由题意知的概率分布律为:
24、设随机变量的概率分布律为,求的概率分布律。
25、设随机变量的概率密度函数为,求的概率密度函数。
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
26、设随机变量的概率密度函数为,求的概率密度函数。
27、设随机变量的概率密度函数为,求的概率密度函数。
28、设随机变量,求的概率密度函数。
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
29、设随机变量,证明,其中为常数。
证明:
,即。
16
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