函数一致连续性的判断及应用毕业论文Word文件下载.doc

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引言 2

1.函数连续与函数一致连续的关系 3

1.1函数连续性与函数一致连续性的区别 3

1.2函数连续性与函数一致连续性的联系 5

2.一元函数一致连续的判断和应用 6

2.1一元函数在有限区间上的一致连续性 6

2.2一元函数在无限区间上的一致连续性 8

2.3一元函数在任意区间上的一致连续性 10

3.二元函数一致连续性 15

3.1二元函数一致连续的概念 15

3.2二元函数的一致连续性的判断及应用 15

结束语 16

参考文献 16

致谢 18

周口师范学院本科毕业论文（设计）

函数一致连续性的判断与应用

摘要：

本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发，对函数的一致连续的定义进行了深入的分析，之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和应用，还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识.

关键词：

连续；

一致连续；

连续函数

ThejudgmentandApplicationofUniformlyContinuousFunction

Abstract:

Thisarticlefromtheconceptofuniformlycontinuousfunctioniscontinuousandrelation.thedefinitionofuniformlycontinuousoffunctioncarriedonthethoroughanalysis,thenweresearchthemethodsofdecisionsofuniformlycontinuousfunctionindifferentkindsofintervals.Moreover,weextendsomeoftheresultstofunctionoftwovariablesindifferentregion.

Keywords:

Continuity;

UniformlyContinuity;

ContinuityFunction

引言

函数一致连续性是数学分析的一个重要概念，理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础，而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系．所以，找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容.因此，本文探讨了函数一致连续性的判定方法，基本性质及其应用，并且对函数一致连续性的判定方法，基本性质及各个应用进行了深入研究，目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性．使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识.

数学概念对数学的发展是不可估量的，函数的概念对于数学发展的影响，可以说是贯穿古今．函数概念的发展历史，不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．17世纪中叶，笛卡尔引入变数的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；

19世纪中期，法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨，达郎贝尔和欧拉的成果，第一次提出了函数的定义；

随后，牛顿，莱布尼茨分别独立的建立了微分学说．这期间，随着数学的发展，各种函数大量出现，但函数还没有给出一个一般的定义．国内的主要理论成书于十九世纪．它逐步形成一门逻辑严密，系统完整的学科，而且在各个方面获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量基础的强有力的工具．

文献1,2,5作为论文的基础，主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。

文献3，4，6主要从例题的角度给出大量判断函数一致连续和非一致连续的判别方法。

文献7讨论了函数一致连续的几个充分条件。

文献8就几种特殊函数的一致连续性进行了详细的探讨，得到了满足Lipchitz条件的函数，周期函数等一些特殊函数的一致连续性的判别方法。

文献9讨论了函数一致连续性的几个判别方法，比如康拓定理以及定义在不同区间上的函数一致连续性的判别方法。

文献10讨论了二元函数的一致连续性的概念及一些判别方法。

1.函数连续与函数一致连续的关系

1.1函数连续与函数一致连续的区别

1.1.1函数连续的局部性

定义1函数在某内有定义，对于，，使得当时，有，那么称函数在点处连续.

这里不仅和有关,而且还和点有关,即对于不同的,一般来说是不同的.这样是不是意味着在点的邻域内连续呢?

或者说它的图象在此邻域上连绵不断呢？

答案是否定的，如函数只在连续；

函数仅在两点连续；

又如函数

容易证明这个函数在任意点是连续的.

上面的例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，而不能从字面意思去理解在点连续.当且仅当在的邻域内每一点都连续，才能说在的邻域内连续.因此，函数在点处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这的确是个遗憾.但是，如果在连续点处函数值，那么上述例外情形就不会发生了.有如下定理：

定理1设在连续，且，则一定存在的某个邻域，使在此邻域内连续.

证明因在点连续，即，都有

现对，由上式显然有

又，当充分小时，由局部保号性有

>

>

0,

即，从而有

可见在连续，由的任意性，知在的邻域内连续.

因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映的是函数在区间上一点附近的局部性质，而不能判断在某一区间上的整体性质.

1.1.2函数一致连续的整体性

定义2设函数在区间上有定义，若对，，，只要，就有

则称函数在区间上一致连续.

⑴定义中的“一致”指的是什么意思呢？

与函数在区间上连续的定义进行比较，不难发现，在函数连续定义中的，不仅仅依赖于，还依赖于点在区间中的位置，即.而在上一致连续是指，存在这样的它只与有关而与在区间中的位置无关，即.可以说，如果函数在区间上连续，即对于任意给定的正数，对上的每一点，都能分别找到相应的正数，使得对上的任意一点，只要，就有，其中；

而对于函数的一致连续性来说，对于同一个而言，当在上变动时，的大小不变，即仅仅依赖于.可见，“一致”指的是存在在I上所有点的公共，与有关，与无关.

⑵函数一致连续的实质是指当在这个区间的任意两点越靠近，它们对应函数值差的绝对值就越小.更直观的是说，可以任意小,即对于任意的,只要时,就有.

这里可能会产生这样的疑问：

既然对中每一个点都能找出相应的，那么取这些的最小者或者是下确界作为正数，不就使其与点无关了吗？

事实上，这不一定能办到.因为区间中有无穷多个点，从而也对应着无穷多个正数，这无穷多个正数却未必有最小的正数或下确界.

所以，在区间上一致连续反映出在上各点的“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体的性质.

1.2函数连续性与函数一致连续性的联系

定理2函数在区间上一致连续，则在上连续.

这个定理显然成立，只须将其中的一个点（或）固定即可，但是在上连续，函数在区间上却不一致连续.

例1证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）.

证明取，对（充分小，不妨设），取，

则虽然有，

但

由函数一致连续的定义，函数在内不一致连续.

那么应具有什么样的条件，函数在上连续才能在上一致连续呢？

定理3若函数在闭区间上连续，则函数在上一致连续.

这就是著名的G.康托（Contor）定理.函数在闭区间上连续的这一性质对于研究函数一致连续性是非常重要的，由它我们可以推出许多重要结论.

注1对于函数的一致连续性的掌握应该注意以下两点：

（1）一致连续的函数必连续，连续函数不一定一致连续.

（2）函数一致连续的否定叙述：

设函数在区间上有定义，若，使，，虽然有

但有，

称函数在区间上非一致连续.

因此，我们可以在某一点讨论函数的连续性，却不能在这一点讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质，它们是两个不同的概念，既有联系又有区别.

2.一元函数一致连续的判断和应用

2.1一元函数在有限区间上的一致连续性

定理3康托定理：

若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.

这个定理的证明可应用实数的连续性命题中的有限覆盖定理或致密性定理来证明，下面用致密性定理来证明.

证明若不然，即对,在区间内至少存在两点及,虽然,

但是.

现取,那么在内存在两点及.虽然

但是有.

应用致密性定理,在有界数列中存在一个收敛的子列,这里,再由于,所以

亦即.

因为,所以,

并且对一切成立；

另一方面,由于在连续,亦即

由函数极限与数列极限的关系,有.所以

.

这同对一切成立相矛盾.故假设不成立.从而原命题成立.

注2G.康托定理对于开区间不成立，如例1中所示.

由G.康托定理可知，函数在闭区间上一致连续在上连续，所以在闭区间上连续的函数必定一致连续，而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立.这就需要在有限开区间的端点或无穷远点处加上一定的条件，一致连续性才能成立，这就有下面的定理.

定理4函数在内一致连续在连续，且与都存在.

证明［充分性］令

则在上连续,从而在上一致连续，所以在内一致连续.

［必要性］因为在内一致连续，所以在内连续，即对于,当时,有

于是当时，有

根据柯西收敛准则,极限存在.同理可证也存在.

根据定理4，可以得到结论：

推论1若在区间（或）上连续，且（或）存在且有限函数在（或）上一致连续.

在有限区间上有一个重要的性质：

函数在上一致连续,又在上一致连续,.则在上一致连续.

2.2一元函数在无限区间上的一致连续性

定理5在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在.

证明　,当时,有

从而若时,有

所以在上一致连续.

同理可证：

由知，，当时,有

即知在上一致连续.

又在上连续，则在上一致连续,当时，有

故在上一致连续.取,当时便有

即在上一致连续.

根据定理5还可以得到以下结论：

推论2函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且存在.

推论3函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在.

推论4函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且存在.

推论5函数在上一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在.

对于周期函数我们有以下定理：

定理6设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续.

证明必要性显然.下证充分性.

因为在上连续，所以在上也连续，因而一致连续.

因此对，使得对，且，有

.

，且，不妨假设且，即

.

（1）若，则

，

有.

（2）若，则有

，

且，故有