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矩形
年级
初二
学科
数学
内容标题
矩形
编稿老师
何莹娟
一、学习目标
1.掌握矩形的定义、性质,理解矩形与平行四边形的区别与内在联系,能运用以上知识解决有关问题.
2.通过矩形与平行四边形的对比来探究矩形的性质.
二、重点、难点
矩形的性质及判定的综合应用.
三、考点分析
考查重点:
主要考查矩形的概念、性质、判定及它们之间的关系,以及边长、对角线长、面积等的计算.
1.矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
2.矩形的性质
性质1.矩形的四个角都是直角.
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形;
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
性质2.矩形的对角线相等.
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形;
∴OA=OC=OB=OD=
AC=
BD
3.直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言:
∵在Rt△ABC中,OA=OC(OB是AC边上的中线)
∴OB=
AC
4.矩形的判定方法
方法1:
矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
方法2:
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言:
∵AC=BD
∴
ABCD是矩形
方法3:
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言:
∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是矩形
知识点一、矩形的性质
例1.已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
思路分析:
题意分析:
本题考查了矩形性质的运用.
解题思路:
由矩形的性质,我们可以得到它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知条件,可得△OAB是等边三角形,进而可求对角线的长度.
解答过程:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴矩形ABCD的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).
解题后的思考:
本题是对矩形性质的直接运用,它除了用于巩固所学的矩形性质外,对计算题的解题格式也起了一个示范作用.
例2.已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,其对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
思路分析:
题意分析:
本题考查了矩形和勾股定理相结合进行计算的掌握情况.
解题思路:
由勾股定理可求得AD长,点A到BD的距离AE的长可利用等面积法求高的方法求得.
解答过程:
设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=90°.在Rt△ABD中,由勾股定理得
,解得x=6.则AD=6cm.又因为:
AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.
解题后的思考:
(1)因为矩形的四个角都是直角,因此矩形的有关计算经常要用到直角三角形的性质,而此题正是利用方程的思想,解决直角三角形中的计算问题,这是几何计算题中常用的方法.
(2)“直角三角形斜边上的高”是直角三角形一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×DB=AD×AB.注意培养方程的思想,以及用等面积法求高的常用方法.
例3.已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
思路分析:
题意分析:
本题考查利用矩形的性质进行证明.
解题思路:
CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若能证明AF=BE,则问题得以解决,而要证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.
解答过程:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,且AD∥BC.
∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.
∴∠B=∠AFD.又∵AE=BC∴AD=AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AF=BE.
∴EF=EC.
解题后的思考:
此题还可以连结DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.
知识点二、矩形的判定
例4.下列各句判定矩形的说法是否正确?
为什么?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;()
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;()
(3)四个角都相等的四边形是矩形;()
(4)对角线相等的四边形是矩形;()
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;()
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;()
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;()
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;()
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.()
思路分析:
题意分析:
本题考查了矩形的判定.
解题思路:
在判定矩形时,要弄清是在“四边形”,还是在“平行四边形”的基础之上来求证的,要熟悉判定定理的联系与区别.
解答过程:
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;(×)
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;(√)
(3)四个角都相等的四边形是矩形;(√)
(4)对角线相等的四边形是矩形;(×)
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;(×)
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(√)
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;(×)
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(√)
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.(√)
解题后的思考:
要知道
(1)矩形的判定方法有以下三种:
①一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③有三个角是直角的四边形.
(2)由矩形和平行四边形及四边形的从属关系又可将矩形的判定方法分为两类:
①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件;②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件.(3)特别地:
①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;②所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与定理不同,则需要利用定义和判定方法加以证明或举出反例,才能下结论.
例5.已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
思路分析:
题意分析:
本题考查矩形的判定与面积计算
解题思路:
首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.
解答过程:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=
AC,BO=
BD.
∵△AOB是等边三角形
∴AO=BO,
∴AC=BD.
∴
ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
∴∠ABC=90°
在Rt△ABC中,
∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,
∴BC=
(cm).
解题后的思考:
矩形ABCD的两条对角线AC,BD把矩形分成四个等腰三角形,即△AOB,△BOC,△COD和△DOA.让学生证明后熟记这个结论,以便在复杂图形中尽快找到解题的思路.
例6.已知:
如图
(1),
ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:
四边形EFGH是矩形.
思路分析:
题意分析:
本题考查利用矩形的判定方法进行证明
解题思路:
要证四边形EFGH是矩形,由于此题可分解出基本图形,因此,可选用“三个角是直角的四边形是矩形”这一判定方法来证明.
解答过程:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠DAB+∠ABC=180°.
又∵AE平分∠DAB,BG平分∠ABC,
∴∠EAB+∠ABG=
×180°=90°.
∴∠AFB=90°.
同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
解题后的思考:
要熟练掌握利用矩形的定义及判定定理等知识进行证明和计算.
例7.如图将矩形纸片
沿对角线
折叠,点
落在点
处,
交
于点
,连结
.
证明:
(1)
.
(2)
.
思路分析:
题意分析:
本题考查利用矩形的判定方法进行证明
解题思路:
(1)欲证明BF=DF,只需证∠FBD=∠FDB;
(2)欲证明
,则需证
.由折叠可知
DC=ED=AB,BC=BE=AD,又因为AE=AE,得△AEB≌△EAD,
所以∠AEB=∠EAD,所以∠AEB=
(180°-∠AFE),
而∠DBE=
(180°-∠BFD)
因此
.
解答过程:
(1)由折叠可知,∠FBD=∠CBD
因为AD∥BC,
所以∠FDB=∠CBD
所以∠FBD=∠FDB
(2)因为四边形ABCD是矩形
所以AB=DC,AD=BC
由折叠可知DC=ED=AB,BC=BE=AD
又因为AE=AE
所以△AEB≌△EAD,
所以∠AEB=∠EAD,
所以∠AEB=
(180°-∠AFE),
而∠DBE=
(180°-∠BFD),∠AFE=∠BFD
所以
所以AE∥BD
解题后的思考:
与矩形的折叠相关的题,主要是通过折叠图形所构造的图形的轴对称性来解决.由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变,因此利用轴对称性,可以转化为相等的线段,相等的角等关系.
1.矩形是在平行四边形的前提下定义的.从定义出发,首先应该肯定,矩形是平行四边形,但它的特殊之处就是有一个角是直角.
2.还要明确:
(1)矩形是特殊的平行四边形,
(2)矩形只比平行四边形多一个条件:
“有一个角是直角”,不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形;(3)矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质(共性),但它还具有它自己特殊的性质(个性).
3.从边、角、对角线方面探索矩形的特殊性质.
(1)边:
对边与平行四边形的性质相同,邻边互相垂直
(2)角:
四个角是直角
(3)对角钱:
相等且互相平分
4.直角三角形中线的性质叙述了直角三角形中线段的倍分关系,是直角三角形很重要的一条性质,在求线段长或求线段倍分关系时,常用到这个结论.
5.矩形是有一个角是直角的平行四边形,在判定一个四边形是不是矩形时,首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角,这种用“定义”判定的方法是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性:
性质和判定的关系).而其他判定方法都是以“定义”为基础推导出来的.
(答题时间:
60分钟)
一、判断题
1.矩形的对角线互相平分.()
2.矩形的对角线互相垂直.()
3.对角线相等的四边形是矩形.()
4.矩形具有平行四边形的一切性质.()
5.对角线相等的平行四边形是矩形.()
二、填空题
1.如图所示,矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与较短边的和是15,则该矩形对角线的长是__________.
2.如图所示,已知矩形的长为20,宽为12,顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是__________.
3.矩形除具有平行四边形的性质外,还具有性质:
①_____________________________;
②_____________________________.
4.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=120°,则∠OBA=__________.
5.矩形的两条对角线相交成60°角,对角线长为10厘米,则矩形的宽为__________.
6.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,则四边形ABCD是__________形.
7.判定一个四边形是矩形,可以先判定它是__________,再判定这个四边形有一个__________,或再判定这个四边形的两条对角线__________.
8.
ABCD的两条对角线相交于一点O,若△AOB是等边三角形,AB=2cm,则
ABCD的面积等于__________.
三、选择题
1.如图所示,过矩形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E,则△AEC是().
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.等腰直角三角形
2.如图所示,在矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,若矩形ABCD的周长为30cm,则AB的长为().
A.5cmB.10cmC.15cmD.7.5cm
3.下列命题中正确的是().
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
4.在矩形ABCD中,AB=2AD,E是CD上一点,且AE=AB,则∠CBE等于().
A.30°B.22.5°
C.15°D.以上答案都不对
四、解答题
1.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD,交BC于E,若
∠CAE=15°,求∠BOE的度数.
2、如图,在矩形ABCD中,已知AB=6㎝,BC=10㎝,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE,求CE的长.
一、判断题
1.√2.×3.×4.√5.√
二、填空题
1.10
2.120
3.①对角线相等②四个内角均为90°
4.30°
5.5厘米
6.矩
7.平行四边形内角是直角相等
8.4
cm2
三、选择题
1.B2.A3.D4.C
四、解答题
1.解:
在矩形ABCD中,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=
∠BAD=45°
又∵∠CAE=15°,∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°
△AOB为等边三角形,
∴OB=AB,∠ABO=60°
∴∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°
∵∠BAE=45°,∠BEA=45°
∴AB=BE,OB=BE
∴∠BOE=
=75°
2、根据轴对称图形的性质,由折叠可得AD=AF=10,DE=EF,
DAE=
EAF.设DE=x,则CE=6-x,EF=x.
根据勾股定理,由
ABF是直角三角形,可得BF=
=8,则CF=2
由
CEF是直角三角形,可得
则有
,解得x=
,故CE=
.
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