数学建模题08091.docx
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数学建模题08091
数学建模试题
一、传染病模型
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:
传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类:
S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求:
请建立传染病模型,并分析被传染的人数与哪些因素有关?
如何预报传染病高潮的到来?
为什么同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变?
二、线性规划模型—销售计划问题
某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划,已知商店仓库最大容量为1500件,6月底已存货300件,年底的库存以不少于300件为宜,以后每月初进货一次,假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
月
7
8
9
10
11
12
买进(元/件)
28
26
25
27
24
23.5
售出(元/件)
29
27
26
28
25
25
要求:
若每件每月的库存费用为0.5元,问各月进货、售货各为多少件,才能使净收益最多?
建立数学模型,并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为:
linprog。
语法为:
x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(...)
例如:
线性规划目标函数的系数:
f=[-5;-4;-6]
约束方程的系数及右端项:
A=[1-11
324
320];
b=[20;42;30];lb=zeros(3,1);
调用线性规划程序linprog求解,得:
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb);
x=0.0000
15.0000
3.0000
三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据,取1982年为起始年(
),
万人,
万人。
年
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
人口
(万)
101654
103008
104357
105851
107507
109300
111026
112704
114333
年
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
人口
(万)
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
要求:
(1)建立中国人口的指数增长模型,并用该模型进行预测,与实际人口数据进行比较。
(2)建立中国人口的Logistic模型,并用该模型进行预测,与实际人口数据进行比较。
(3)利用MATLAB图形,标出中国人口的实际统计数据,并画出两种模型的预测曲线。
(4)利用MATLAB图形,画出两种预测模型的误差比较图,并分别标出其误差。
【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为:
ode45。
语法为:
[t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)
四、高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题
现有一只兔子、一匹狼,兔子位于狼的正西100米处,假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑,兔子往正北60米处的巢穴跑,而狼在追兔子。
已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
要求:
(1)建立狼的运动轨迹微分模型。
(2)画出兔子与狼的运动轨迹图形。
(3)用解析方法求解,问兔子能否安全回到巢穴?
(4)用数值方法求解,问兔子能否安全回到巢穴?
【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为:
ode45。
语法为:
[t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)
例如函数:
functiondy=rigid(t,y)
dy=zeros(3,1);%acolumnvector
dy
(1)=y
(2)*y(3);
dy
(2)=-y
(1)*y(3);
dy(3)=-0.51*y
(1)*y
(2);
设置选项:
options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]);
求解得:
[t,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],options);
画出解函数曲线图形:
plot(T,Y(:
1),'-',T,Y(:
2),'-.',T,Y(:
3),'.')
五、时间序列模型
某一商场1—12月份的销售额(单位:
万元)时间序列数据如下表所示。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
实际销售额
49
53
55
59
50
51
52
52
51
52
53
59
要求:
(1)建立恰当的数学模型,并预测下年一月份(第13月)的销售额。
(2)对所建立的几种预测方法作误差的分析与比较。
【注】
(1)多项式拟合的MATLAB库函数为:
polyfit
语法为:
[p,S]=polyfit(x,y,n)
[p,S,mu]=polyfit(x,y,n)
例如:
x=(0:
0.1:
5)';
y=erf(x);
f=polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-')
axis([0502])
(2)自回归模型的MATLAB库函数为:
ar
语法为:
m=ar(y,n)
[m,refl]=ar(y,n,approach,window)
例如:
y=sin([1:
300]')+0.5*randn(300,1);
y=iddata(y);
mb=ar(y,4,'burg');
mfb=ar(y,4);
六、多元回归模型
设某公司生产的商品在市场一的销售价格为
(元/件)、用于商品的广告费用为
(万元)、销售量为
(万件)的连续12个月的统计数据如下表所示。
月份
销售价格
广告费用
销售量
1
100
5.50
55
2
90
6.30
70
3
80
7.20
90
4
70
7.00
100
5
70
6.30
90
6
70
7.35
105
7
70
5.60
80
8
65
7.15
110
9
60
7.50
125
10
60
6.90
115
11
55
7.15
130
12
50
6.50
130
要求:
(1)选择恰当的模型,建立销售量
关于销售价格
和广告费用
的关系模型。
并利用MATLAB画出曲线图形。
(2)设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件,广告费用为7万元,预计该商品的销售量将是多少?
并对其作统计上的误差分析。
【注】多元线性回归模型的MATLAB库函数为:
regress。
语法为:
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);
例如:
loadmoore
X=[ones(size(moore,1),1)moore(:
1:
5)];
y=moore(:
6);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);
七、柯布-道格拉斯生产函数
经济学中著名的柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数的一般形式为
其中
分别表示产值、资金、劳动力,式中
要由经济统计数据确定。
现有《中国统计年鉴(2003)》给出的统计数据如表(其中总产值取自“国内生产总值”,资金取自“固定资产投资”,劳动力取自“就业人员”)。
表经济统计数据
年份
总产值/万亿元
资金/万亿元
劳动力/亿人
1984
0.7171
0.0910
4.8179
1985
0.8964
0.2543
4.9873
1986
1.0202
0.3121
5.1282
1987
1.1962
0.3792
5.2783
1988
1.4928
0.4754
5.4334
1989
1.6909
0.4410
5.5329
1990
1.8548
0.4517
6.4749
1991
2.1618
0.5595
6.5491
1992
2.6638
0.8080
6.6152
1993
3.4634
1.3072
6.6808
1994
4.6759
1.7042
6.7455
1995
5.8478
2.0019
6.8065
1996
6.7885
2.2914
6.8950
1997
7.4463
2.4941
6.9820
1998
7.8345
2.8406
7.0637
1999
8.2068
2.9854
7.1394
2000
9.9468
3.2918
7.2085
2001
9.7315
3.7314
7.3025
2002
10.4791
4.3500
7.3740
要求:
(1)运用适当的方法,建立产值与资金、劳动力的优化模型,并作出模型的分析与检验。
(2)建立Cobb-Douglas优化模型,并给出模型中参数
的解释。
(3)将几个模型作出比较与分析。
八、高压锅的销售量
Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型,可以用来拟合销售量的增长趋势。
记Logistic增长曲线模型为
,记Gompertz增长曲线模型为
,这两个模型中L的经济意义都是销售量的上限。
表中给出的是某地区高压锅的销售量(单位:
万台)。
表高压锅的销售量(单位:
万台)
年份
t
y
年份
t
y
1981
0
43.65
1988
7
1238.75
1982
1
109.86
1989
8
1560.00
1983
2
187.21
1990
9
1824.29
1984
3
312.67
1991
10
2199.00
1985
4
496.58
1992
11
2438.89
1986
5
707.65
1993
12
2737.71
1987
6
960.25
要求:
(1)运用适当的方法,建立高压锅的销售量模型,并作出模型的分析与检验。
(2)Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗?
如果是可线性化模型,取L=3000,建立Logistic的线性回归模型。
利用线性回归模型所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值,对Logistic模型做非线性回归。
(3)拟合Gompertz模型。
(4)将几个模型作出比较与分析。
九、轿车更新问题
某人打算购买一辆新轿车,轿车的售价是12万元人民币。
轿车购买后,每年的各种保险费、养护费等费用如表1所示。
如果在5年之内将轿车售出,并再购买新车,5年之内的二手车销售价由表2所示。
请设计一种购买轿车的方案,使5年内用车的总费用最少。
表1轿车的维护费
车龄/年01234
费用/万元245912
表2二手车的售价
车龄/年12345
费用/万元76210
【注】此问题的求解利用最短路方法或动态规划方法。
十、航空机票超订票问题
某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定:
旅客因有事或误机,机票可免费改签一次,此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失,采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空公司让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
要求:
(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期损失达到最小?
(2)上述参数不变的情况下,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期利润达到最大,最大利润为多少?
十一、宠物店卖小狗的问题
背景:
一家宠物店卖小狗。
这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱,因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。
通过调查研究,在给定的天数x内,所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ =0.1)。
宠物店每十天平均能卖出一只小狗,而每卖出一只小狗的利润是20元。
当一个顾客来到宠物店里时,如果店里没有宠物卖,那么该顾客就会到别的宠物店去。
如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。
现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。
策略A:
每卖出一只小狗,宠物店就新预定一只。
这个策略意味着每次店里只有一个小狗,因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。
策略B:
宠物店每隔10天就预定一只新的小狗,该狗6天后到。
使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店,则宠物店必须花大量的钱在小狗上。
要求:
(1)用MATLAB编写程序,来模拟这两种策略,并比较哪一种策略好。
(2)请提出第三种更好的策略,写出数学证明, 并用MATLAB模拟。
十二、传染病的传播问题
SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome,严重急性呼吸道综合症,俗称:
非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
表疫情的数据
日期
已确诊病例累计
现有疑似病例
死亡累计
治愈出院累计
4月20日
339
402
18
33
4月21日
482
610
25
43
4月22日
588
666
28
46
4月23日
693
782
35
55
4月24日
774
863
39
64
4月25日
877
954
42
73
4月26日
988
1093
48
76
4月27日
1114
1255
56
78
4月28日
1199
1275
59
78
4月29日
1347
1358
66
83
4月30日
1440
1408
75
90
5月1日
1553
1415
82
100
5月2日
1636
1468
91
109
5月3日
1741
1493
96
115
5月4日
1803
1537
100
118
5月5日
1897
1510
103
121
5月6日
1960
1523
107
134
5月7日
2049
1514
110
141
5月8日
2136
1486
112
152
5月9日
2177
1425
114
168
5月10日
2227
1397
116
175
5月11日
2265
1411
120
186
5月12日
2304
1378
129
208
5月13日
2347
1338
134
244
5月14日
2370
1308
139
252
5月15日
2388
1317
140
257
5月16日
2405
1265
141
273
5月17日
2420
1250
145
307
5月18日
2434
1250
147
332
5月19日
2437
1249
150
349
5月20日
2444
1225
154
395
5月21日
2444
1221
156
447
5月22日
2456
1205
158
528
5月23日
2465
1179
160
582
5月24日
2490
1134
163
667
5月25日
2499
1105
167
704
5月26日
2504
1069
168
747
5月27日
2512
1005
172
828
5月28日
2514
941
175
866
5月29日
2517
803
176
928
5月30日
2520
760
177
1006
5月31日
2521
747
181
1087
6月16日
2521
3
190
2053
6月17日
2521
5
190
2120
6月18日
2521
4
191
2154
6月19日
2521
3
191
2171
6月20日
2521
3
191
2189
6月21日
2521
2
191
2231
6月22日
2521
2
191
2257
6月23日
2521
2
191
2277
6月1日
2522
739
181
1124
6月2日
2522
734
181
1157
6月3日
2522
724
181
1189
6月4日
2522
718
181
1263
6月5日
2522
716
181
1321
6月6日
2522
713
183
1403
6月8日
2522
550
184
1543
6月9日
2522
451
184
1653
6月10日
2522
351
186
1747
6月13日
2522
71
187
1944
6月14日
2522
4
189
1994
6月15日
2522
3
189
2015
6月7日
2523
668
183
1446
6月11日
2523
257
186
1821
6月12日
2523
155
187
1876
要求:
(1)建立传染病传播的指数模型,评价其合理性和实用性。
(2)建立一个适合的模型,说明为什么优于问题1中的模型;特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?
对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:
提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。
表中提供的数据供参考。
(3)说明建立传染病数学模型的重要性。
十三、国土面积问题
为了算出瑞士的国土面积,首先对瑞士地图作如下测量:
以由西向东方向为
轴,由南到北方向为
轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在
轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的
方向测出南边界点和北边界点的
坐标
和
,这样就得到了表中的数据(单位mm)。
根据地图的比例我们知道18mm相当于40km,试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,与它的精确值41288km
比较。
表瑞士地图测量数据
7.010.513.017.534.040.544.548.056.061.068.576.580.591.0
4445475050383030343634414546
4459707293100110110110117118116118118
96101104106.5111.5118123.5136.5142146150157158
43373328326555545250666668
121124121121121122116838182868568
十四、投入产出综合平衡分析
设某地区国民经济系统仅由工业、农业和服务业三个部门构成,已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表所示(数字表示产值,单位为亿元)。
表各个部门间的关系
产出
投入
工业
农业
服务业
外部需求
总产出
工业
20
20
25
35
100
农业
30
20
45
115
210
服务业
15
60
/
70
145
外部需求
35
110
75
总产出
100
210
145
要求:
(1)建立投入产出系数表。
(2)设有
个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立求解各部门总产出的数学模型。
(3)如果今年对工业、农业和服务业的外部需求分别为150,250,170亿元,问这三个部门的总产出分别应为多少?
(4)如果三个部门的外部需求分别增加5个单位,他们的总产出应分别增加多少?
(5)如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出,模型就称为可行的。
问为使模型可行,投入系数应满足什么条件?
十五、种群的繁殖与稳定收获
种群的数量因繁殖而增加,因自然死亡而减少,对于人工饲养的种群(比如家畜)而言,为了保证稳定的收获,各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变,为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作
当年年龄
的种群数量记作
,繁殖率记作
(每个雌性个体一年繁殖的数量),自然存活率记作
为一年的死亡率),收获量记作
,则来年年龄
的种群数量
应为
要求:
(1)若
已知,给定收获量
,建立求各年龄的稳定种群数量
的模型(用矩阵、向量表示)。
(2)设
如要求
为500,400,200,100,100,求
。
十六、生产计划安排
某飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机,其生产过程的最后阶段为生产喷射引擎,然后装置于(一极速工作)机体。
该公司有若干近期必须交付使用飞机的合同,现要安排今后四个月飞机喷射引擎的生产计划,并须在每月末分别提供10、15、25、20台引擎。
已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如表所示,且如果生产出来的引擎当月不能交货,则每台引擎每积压一个月需存储费和维护费用0.015百万元。
要求:
在完成合约的情况下,制定一引擎数量的生产安排方案,以使该公司今后四个月的生产费用最小。
表生产成本表
月份
合约数
生产能力
单位成本
存储和维护费
1
10
25
1.08
0.015
2
15
35
1.11
0.015
3
25
30
1.10
0.015
4
20
10
1.13
十七、人口增长的年龄结构模型
不同年龄的人在死亡和生育方面存在着差异,下面三
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