2010年高考数学试题分类汇编7(题题详细解析).doc
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2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
(2010上海文数)18.若△的三个内角满足,则△
(A)一定是锐角三角形.(B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
解析:
由及正弦定理得a:
b:
c=5:
11:
13
由余弦定理得,所以角C为钝角
(2010湖南文数)7.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=a,则
A.a>bB.a<b
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。
(2010浙江理数)(9)设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是
(A)(B)(C)(D)
解析:
将的零点转化为函数的交点,数形结合可知答案选A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题
(2010浙江理数)(4)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
解析:
因为0<x<,所以sinx<1,故xsin2x<xsinx,结合xsin2x与xsinx的取值范围相同,可知答案选B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属中档题
(2010全国卷2理数)(7)为了得到函数的图像,只需把函数的图像
(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位
(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【解析】=,=,所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像,故选B.
(2010陕西文数)3.函数f(x)=2sinxcosx是 [C]
(A)最小正周期为2π的奇函数 (B)最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 (D)最小正周期为π的偶函数
解析:
本题考查三角函数的性质
f(x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π的奇函数
(2010辽宁文数)(6)设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是
(A)(B)(C)(D)3
解析:
选C.由已知,周期
(2010辽宁理数)(5)设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是
(A)(B)(C)(D)3
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对知识灵活掌握的程度。
【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为,所以有=2k,即,又因为,所以k≥1,故≥,所以选C
(2010全国卷2文数)(3)已知,则
(A)(B)(C)(D)
【解析】B:
本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵SINA=2/3,
∴
(2010江西理数)7.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1:
约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得,
解得
解法2:
坐标化。
约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C(0,3)利用向量的夹角公式得
,解得。
(2010重庆文数)(6)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是
(A)(B)
(C)(D)
解析:
C、D中函数周期为2,所以错误
当时,,函数为减函数
而函数为增函数,所以选A
(2010重庆理数)
(6)已知函数的部分图象如题(6)图所示,则
A.=1=B.=1=-C.=2=D.=2=-
解析:
由五点作图法知,=-
(2010山东文数)(10)观察,,,由归纳推理可得:
若定义在上的函数满足,记为的导函数,则=
(A)(B)(C)(D)
答案:
D
(2010北京文数)(7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,
顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,
该八边形的面积为
(A);(B)
(C);(D)
答案:
A
(2010四川理数)(6)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是w_ww.k#s5_u.co*m
(A)(B)w_w_w.k*s5*u.co*m
(C)(D)
解析:
将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin(x-)w_w_w.k*s5*u.co*m
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.
答案:
C
(2010天津文数)(8)
为了得到这个函数的图象,只要将的图象上所有的点
(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(B)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(D)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。
由图像可知函数的周期为,振幅为1,所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入(-,0)可得的一个值为,故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+),即y=sin2(x+),所以只需将y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变。
【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求。
三角函数图像进行平移变换时注意提取x的系数,进行周期变换时,需要将x的系数变为原来的
(2010天津理数)(7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则A=
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。
由由正弦定理得
,
所以cosA==,所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
(2010福建文数)
(2010福建文数)2.计算的结果等于()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式=,故选B.
【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值
(2010全国卷1文数)
(1)
(A)(B)-(C)(D)
1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】
(2010全国卷1理数)
(2)记,那么
A.B.-C.D.-
(2010四川文数)(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网
(A)(B)
(C)(D)
解析:
将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin(x-)w_ww.k#s5_u.co*m
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.
答案:
C
(2010湖北文数)2.函数f(x)=的最小正周期为
A. B.x C.2 D.4
【答案】D
【解析】由T=||=4π,故D正确.
(2010湖南理数)6、在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,,则
A、a>bB、a (2010湖北理数)3.在中,a=15,b=10,A=60°,则= A-BC-D 3.【答案】D 【解析】根据正弦定理可得解得,又因为,则,故B为锐角,所以,故D正确. (2010福建理数)1.的值等于() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原式=,故选A。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数,考查基础知识,属保分题。 2010年高考数学试题分类汇编——三角函数填空 (2010浙江理数)(11)函数的最小正周期是__________________. 解析: 故最小正周期为π,本题主要考察了三角恒等变换及相关公式,属中档题 (2010全国卷2理数)(13)已知是第二象限的角,,则. 【答案】 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力. 【解析】由得,又,解得,又是第二象限的角,所以. (2010全国卷2文数)(13)已知α是第二象限的角,tanα=1/2,则cosα=__________ 【解析】: 本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵,∴ (2010重庆文数)(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点(点不在上)且半径相等.设第段弧所对的圆心角为,则____________. 解析: 又,所以 (2010浙江文数)(12)函数的最小正周期是。 答案: (2010山东文数)(15)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则角A的大小为. 答案: (2010北京文数)(10)在中。 若,,,则a=。 答案: 1 (2010北京理数)(10)在△ABC中,若b=1,c=,,则a=。 答案1 (2010广东理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=. 11.1.解: 由A+C=2B及A+B+C=180°知,B=60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,[来源: 高考资源网KS5U.COM] , (2010广东文数) (2010福建文数)16.观察下列等式: K^S*5U.C#O ①cos2a=2-1; ②cos4a=8-8+1; ③cos6a=32-48+18-1; ④cos8a=128-256+160-32+1; ⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1. 可以推测,m–n+p=. 【答案】962 【解析】因为所以;观察可得, ,所以m–n+p=962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。 (2010全国卷1文数)(14)已知为第二象限的角,,则. 14.【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角,又,所以,,所 (2010全国卷1理数)(14)已知为第三象限的角,,则. (2010山东理数) 1.(2010福建理数)14.已知函数和的图象的对称轴完全相同。 若,则的取值范围是。 【答案】 【解析】由题意知,,因为,所以,由三角函数图象知: 的最小值为,最大值为,所以的取值范围是。 2.(2010江苏卷)10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。 [解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。 线段P1P2的长即为sinx的值, 且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。 线段P1P2的长为 3.(2010江苏卷)13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=____▲_____。 [解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。 一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意,此时有: ,,, ,=4。 (方法二), 2010年高考数学试题分类汇编——三角函数解答 (2010上海文数)19.(本题满分12分) 已知,化简: . 解析: 原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0. (2010湖南文数)16.(本小题满分12分) 已知函数 (I)求函数的最小正周期。 (II)求函数的最大值及取最大值时x的集合。 (2010浙江理数)(18)(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知 (I)求sinC的值; (Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长. 解析: 本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解: 因为cos2C=1-2sin2C=,及0<C<π 所以sinC=. (Ⅱ)解: 当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得 c=4 由cos2C=2cos2C-1=,J及0<C<π得 cosC=± 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得 b2±b-12=0 解得b=或2 所以b=b= c=4或c=4 (2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分) 中,为边上的一点,,,,求. 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由cos∠ADC=>0,知B<. 由已知得cosB=,sin∠ADC=. 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==. 由正弦定理得,所以=. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. (2010陕西文数)17.(本小题满分12分) 在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长. 解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos=, ADC=120°,ADB=60° 在△ABD中,AD=10,B=45°,ADB=60°, 由正弦定理得, AB=. (2010辽宁文数)(17)(本小题满分12分) 在中,分别为内角的对边, 且 (Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)若,试判断的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 又,得 因为, 故 所以是等腰的钝角三角形。 (2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分) 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 (Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)求的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故,A=120°……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 (2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分) 中,为边上的一点,,,,求。 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。 (2010江西理数)17.(本小题满分12高☆考♂资♀源*网分) 已知函数。 (1)当m=0时,求在区间上的取值范围; (2)当时,,求m的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。 依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解: (1)当m=0时, ,由已知,得 从而得: 的值域为 (2) 化简得: 当,得: ,, 代入上式,m=-2. (2010安徽文数)16、(本小题满分12分) 的面积是30,内角所对边长分别为,。 (Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的值。 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 (1)根据同角三角函数关系,由得的值,再根据面积公式得;直接求数量积.由余弦定理,代入已知条件,及求a的值. 解: 由,得. 又,∴. (Ⅰ). (Ⅱ), ∴. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求的值,考虑已知的面积是30,,所以先求的值,然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010重庆文数)(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)求的值. (2010浙江文数)(18)(本题满分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足。 (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求的最大值。 (2010重庆理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分) 设函数。 (I)求的值域; (II)记的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=,求a的值。 (2010山东文数)(17)(本小题满分12分) 已知函数()的最小正周期为, (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,求函数在区间上的最小值. (2010北京文数)(15)(本小题共13分) 已知函数 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最大值和最小值 解: (Ⅰ)= (Ⅱ) 因为,所以,当时取最大值2;当时,去最小值-1。 (2010北京理数)(15)(本小题共13分)www.@ks@ 已知函数。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最大值和最小值。 解: (I) (II) = =, 因为, 所以,当时,取最大值6;当时,取最小值 (2010四川理数)(19)(本小题满分12分) (Ⅰ)证明两角和的余弦公式; 由推导两角和的正弦公式. (Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。 解: (1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))w_ww.k#s5_u.co*m 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得: 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分 ②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)] =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分 (2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S=bcsinA= =bccosA=3>0w_ww.k#s5_u.co*m ∴A∈(0,),cosA=3sinA 又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA= 由题意,cosB=,得sinB= ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=w_ww.k#s5_u.co*m 故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-…………………………12分 (2010天津文数)(17)(本小题满分12分) 在ABC中,。 (Ⅰ)证明B=C: (Ⅱ)若=-,求sin的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分. (Ⅰ)证明: 在△ABC中,由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为,从而B-C=0. 所以B=C. (Ⅱ)解: 由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=. 又0<2B<,于是sin2B==. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=. 所以 (2010天津理数)(17)(本小题满分12分) 已知函数 (Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值; (Ⅱ)若,求的值。 【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
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