(2010陕西文数)14.设x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-y的最大值为5.
解析:
不等式组表示的平面区域如图所示,
当直线z=3x-y过点C(2,1)时,在y轴上截距最小
此时z取得最大值5
(2010辽宁文数)(15)已知且,则的取值范围是.
(答案用区间表示)
解析:
填.利用线性规划,画出不等式组表示的平面区域,即可求解.
(2010辽宁理数)(14)已知且,则的取值范围是_______(答案用区间表示)
【答案】(3,8)
【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题,考查了同学们数形结合解决问题的能力。
【解析】画出不等式组表示的可行域,在可行域内平移直线z=2x-3y,当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,目标函数有最小值z=2×3-3×1=3;当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A(1,-2)时,目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
(2010安徽文数)(15)若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号).
①;②;③;
④;⑤
15.①,③,⑤
【解析】令,排除②②;由,命题①正确;
,命题③正确;,命题⑤正确。
(2010浙江文数)(15)若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是。
答案:
18
(2010山东文数)(14)已知,且满足,则xy的最大值为.
答案:
3
(2010北京文数)(11)若点p(m,3)到直线的距离为4,且点p在不等式<3表示的平面区域内,则m=。
答案:
-3
(2010全国卷1文数)(13)不等式的解集是.
13.【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法
【解析】:
,数轴标根得:
(2010全国卷1理数)(13)不等式的解集是.
(2010湖北文数)12.已知:
式中变量满足的束条件则z的最大值为______。
【答案】5
【解析】同理科
(2010山东理数)
1.(2010安徽理数)
2.(2010安徽理数)13、设满足约束条件,若目标函数的最大值为8,则的最小值为________。
13.4
【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4个顶点是
,易见目标函数在取最大值8,
所以,所以,在时是等号成立。
所以的最小值为4.
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得,要想求的最小值,显然要利用基本不等式.
3.(2010湖北理数)12.已知,式中变量,满足约束条件,则的最大值为___________.
12.【答案】5
【解析】依题意,画出可行域(如图示),
则对于目标函数y=2x-z,
当直线经过A(2,-1)时,
z取到最大值,.
(2010湖北理数)15.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数。
如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆。
过点C作AB的垂线交半圆于D。
连结OD,AD,BD。
过点C作OD的垂线,垂足为E。
则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是a,b的几何平均数,线段的长度是a,b的调和平均数。
15.【答案】CDDE
【解析】在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得,故,即CD长度为a,b的几何平均数,将OC=代入可得故,所以ED=OD-OE=,故DE的长度为a,b的调和平均数.
(2010江苏卷)12、设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是▲。
。
[解析]考查不等式的基本性质,等价转化思想。
,,,的最大值是27。
2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
(2010上海文数)19.(本题满分12分)
已知,化简:
.
解析:
原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0.
(2010湖南文数)16.(本小题满分12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期。
(II)求函数的最大值及取最大值时x的集合。
(2010浙江理数)(18)(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:
本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。
(Ⅰ)解:
因为cos2C=1-2sin2C=,及0<C<π
所以sinC=.
(Ⅱ)解:
当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=,J及0<C<π得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2±b-12=0
解得b=或2
所以b=b=
c=4或c=4
(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求.
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】
由cos∠ADC=>0,知B<.
由已知得cosB=,sin∠ADC=.
从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得,所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(2010陕西文数)17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,
AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°,ADB=60°
在△ABD中,AD=10,B=45°,ADB=60°,
由正弦定理得,
AB=.
(2010辽宁文数)(17)(本小题满分12分)
在中,分别为内角的对边,
且
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,试判断的形状.
解:
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
又,得
因为,
故
所以是等腰的钝角三角形。
(2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
解:
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故,A=120°……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。
……12分
(2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。
(2010江西理数)17.(本小题满分12高☆考♂资♀源*网分)
已知函数。
(1)当m=0时,求在区间上的取值范围;
(2)当时,,求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。
依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.
解:
(1)当m=0时,
,由已知,得
从而得:
的值域为
(2)
化简得:
当,得:
,,
代入上式,m=-2.
(2010安徽文数)16、(本小题满分12分)
的面积是30,内角所对边长分别为,。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】
(1)根据同角三角函数关系,由得的值,再根据面积公式得;直接求数量积.由余弦定理,代入已知条件,及求a的值.
解:
由,得.
又,∴.
(Ⅰ).
(Ⅱ),
∴.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求的值,考虑已知的面积是30,,所以先求的值,然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.
(2010重庆文数)(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)求的值.
(2010浙江文数)(18)(本题满分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足。
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求的最大值。
(2010重庆理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)
设函数。
(I)求的值域;
(II)记的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=,求a的值。
(2010山东文数)(17)(本小题满分12分)
已知函数()的最小正周期为,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,求函数在区间上的最小值.
(2010北京文数)(15)(本小题共13分)
已知函数
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值和最小值
解:
(Ⅰ)=
(Ⅱ)
因为,所以,当时取最大值2;当时,去最小值-1。
(2010北京理数)(15)(本小题共13分)www.@ks@
已知函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值和最小值。
解:
(I)
(II)
=
=,
因为,
所以,当时,取最大值6;当时,取最小值
(2010四川理数)(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
解:
(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))w_ww.k#s5_u.co*m
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:
2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA=
=bccosA=3>0w_ww.k#s5_u.co*m
∴A∈(0,),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=
由题意,cosB=,得sinB=
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=w_ww.k#s5_u.co*m
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-…………………………12分
(2010天津文数)(17)(本小题满分12分)
在ABC中,。
(Ⅰ)证明B=C:
(Ⅱ)若=-,求sin的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:
在△ABC中,由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为,从而B-C=0.
所以B=C.
(Ⅱ)解:
由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=.
又0<2B<,于是sin2B==.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=.
所以
(2010天津理数)(17)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若,求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
(1)解:
由,得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又
,所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1
(Ⅱ)解:
由
(1)可知
又因为,所以
由,得
从而
所以
(2010广东理数)16、(本小题满分14分)