1229小学数学课程与教学文档格式.docx
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数学概念就是揭示现实世界的数量关系(形式)和空间形式(关系)的本质属性的思维形式。
通常看,数学概念的形成有两种途径:
一种是直接从现实世界客观事物的数量关系或空间形式的经验中抽象而得的;
另一种是在已有的数学概念基础上,经过进一步的抽象、推理、概括等思维活动而得到的。
(二)数学概念的特征
第一,精确性。
第二,抽象性
(三)数学概念的呈现方式
1.不定义方式
指数学概念是采用非定义的方式(直接运用、语言描述、图形展示或枚举等方式)给出的。
2.定义方式
数学概念应该用定义的方式,即用严密的、简练的、精确的语言或符号将对象的本质属性揭示出来。
任何定义都是由被定义、定义项和定义联项组成。
数学概念的定义呈现方式有如下几种:
第一,集合定义,也成为“属加种差”定义方式。
这是数学概念中最常见的一种定义方式。
它采用先取被定义概念的上位属概念的本质属性,然后加上被定义概念与其最临近概念的本质属性之差的方式来定义。
第二,发生定义。
就是描述被定义项这个对象的发生过程的定义。
它往往是蕴含对象的本质属性于描述对象的过程中,同时,又常常揭示对象在性质上的唯一性。
第三,外延定义。
就是通过列举概念的全部外延的方式来展现概念的属性。
第四,约定式定义。
约定式定义就是一种约定(规定),而且这种约定又常常是通过已明确的意义来约定新引入的意义。
第五,关系定义。
就是将已知一事物的关系作为“种差”的一种定义方式。
这种关系表明了这种事物(被定义项)区别于其他事物所特有的一种属性。
第六,公理化定义。
就是运用公理的方式来定义。
即规定若干条基本的公理,只要满足这些公理,概念就能被定义。
(四)数学概念的主要分类
1.按数学概念的来源分
2.按数学概念所反映的对象特征看
三、小学数学概念的基本特点
(一)在组织小学数学教学概念上的特征
(二)在获得小学数学概念上的特征
(三)在呈现小学数学概念上的特征
四、儿童形成数学概念的过程
(一)儿童形成数学概念的主要途径
数学概念的学习过程就是对同类对象的本质属性与非本质属性不断地加以区分,并将其本质属性抽取出来的过程。
1.概念形成
简单地说,概念形成就是学习者从大量同类事物的不同例证中独立地发现并形成数学概念的过程。
儿童概念形成的主要过程为:
第一,感知具体对象阶段。
第二,尝试建立表象阶段。
第三,抽象本质属性阶段。
第四,符号表征阶段。
第五,概念的运用阶段。
2.概念同化
简单地说,概念同化就是将概念用定义的方式直接呈现给学习者,而学习者利用认知结构中有关的概念来理解并形成新的概念的过程。
通常,小学生概念同化的主要过程为:
第一,唤起认知结构中的相关概念。
第二,通过进一步抽象形成新概念。
第三,分离新概念的关键属性。
(二)儿童学习概念的基本过程
1.感知阶段
2.表象阶段
3.概念阶段
(三)儿童获得概念能力发展的基本特点
1.从以获得一级概念为主发展到有能力获得二级概念
2.概念的获得从以“概念形成”为主逐渐发展到以“概念同化”为主
3.从认识概念的自身属性逐步发展到理解概念间的联系
4.数学概念的建立受经验的干扰逐渐减弱
5.从数、形的分离发展到数、形的结合
第二节小学数学概念教学组织的策略
一、概念引入的基本策略
儿童学习数学概念有一个学习准备的过程,这个过程就称为“概念的引入”。
良好的、有效的概念引入将有助于儿童积极、主动地理解和掌握数学概念。
(一)生活化策略’
儿童是从自己的生活实践开始认识数学的,数学概念往往就是源于普通的尝试。
所以,教师可以设计多样化的和丰富的情境,激发儿童的探求欲。
唤起儿童已有的经验,并让儿童通过自己的观察、辨析、操作等活动,逐步从对象中抽取出本质属性,建立数学概念。
(二)操作性策略
儿童学习数学的过程就是自己“做”数学的过程。
因此,要将儿童形成数学概念的过程变为儿童在问题情境的尝试操作下的思考和分析的过程。
由于儿童在小学数学学习中主要是通过直观方式获得数学概念,因此,不应简单地将这和直观过程理解为就是教师的呈现和演示过程,在大多数的情况下,应将这个过程理解为就是学生自己的尝试操作的探究过程。
(三)情景激励策略
丰富的情境不仅能充分激发儿童的学习欲望,而且有利于儿童主动观察和积极思考,还利于培养儿童通过观察和思考,发现并提出问题的能力。
(四)知识迁移策略
教学具有结构精良的特点,因此,学生已有的稳固和清晰的数学概念不仅能构成他们进一步学习数学概念的基础,同时也有利于学生形成数学概念的系统化。
二、概念建构的基本策略
(一)多例比较策略
形成数学概念的标志就是掌握对象的内涵和外延,它反映的是对对象本质属性抽象的精确性和清晰性。
在学习中,学生往往会将注意力集中指向那些表示数学概念的名称,以为掌握了名称就是认识了概念,却忽视了数学概念自身的本质特征。
因此,教师应当及时提供多种例证,让学生通过深入的辨析,真正把握对象的本质特征。
(二)表象过渡策略
表象是儿童从直观对象到抽象概念的一个中间桥梁,即在学生构建数学概念时,首先要认识一类事物的某些具体事物或事例,然后在大量具体的、形象的感性认识基础上建立该类事物的表象。
这种表象实在感知基础上形成的感性认识的高级形式,它是人们过去感知过,但是现在并不直接感知的那些保留在人脑中的事物的映象。
这种表象既有直观性,又有一定的抽象概括性。
(三)概括关键要素策略
在小学数学学习中,有些概念虽然是采用定义的方式来呈现的,但学生在最初学习这些概念的时候,可能并不是从辨析表述概念的定义出发,而是从直观出发,然后通过归纳的方式呈现其定义的表述。
(四)表述交流策略
儿童在学习时,其内部的思维常常需要一定的外部语言给予某些支撑。
教师应当利用学生的这个特点,在形成数学概念的过程中,经常训练学生将自己的认识用简练的语言表述出来。
从而帮助他们更深刻地理解概念所表示的内涵。
(五)多次归纳策略
抽象出对象的本质属性是形成数学概念的前提,而抽象的基础就是要将多个同类对象的共同特征归纳出来,然后在这个基础上抽取其中共同的本质属性。
要发展儿童抽象概括的能力,就必须引导学生通过自己的观察和思考,对对象的这些共同属性进行归纳和分析。
儿童由于观察的不精细,常常可能造成归纳的不全面或不确切,因此需要教师给予一定的引导。
需要指出的是,教师的引导并不意味着教师的代替。
(六)操作分类策略
在学习中,教师常常会先向学生提供多种对象,包括直观材料、数学概念或问题情境等,这些对象需要学生通过自己的观察比较去形成新概念。
这时,引导学生对多种对象进行分类是一种非常有效的策略。
(七)导读自悟策略
有些概念可以让学生通过阅读课本自行获得。
为了提高学生阅读的实效,教师可针对概念的特点设计一些问题,使这些问题成为学生阅读的指南和思考的向导,帮助学生理解概念。
用导读教学策略学习数学概念,对于逐步培养学生的自学能力也很有益。
当学生已具备了一定的自学能力后,教师不必急于将导读问题呈现在学生面前,可采用先自学,让学生自己提问的方式,这样更利于学生自主学习。
(八)概念的具体化策略
所谓将概念具体化,就是指给出一些正面的、变式的、反面的具体实例,让学生进行辨析,使学生进一步分清哪些是概念的本质属性,哪些是概念的非本质属性,加深对概念的理解。
这些具体实例可以由教师给出,也可以让学生自己举例。
三、概念的巩固和运用
(一)变式训练策略
变式训练就是要改变概念在最初学习时的呈现状态(如几何概念中的所谓“标准形态”),目的是进一步凸显对象的本质属性,使学生面对讨论对象的多种不同的呈现状态,通过判别训练来加深对概念的认识,巩固对概念的掌握,拓宽对概念的运用。
(二)精细加工策略
概念的巩固不能以背出概念的名称为标志,而应以是否能理解概念的内涵为标准。
因此,学生在形成概念之后,一个重要的任务就是要在自己的头脑中对概念进行自我的精细加工,使概念以一个结构稳定的状态贮存起来。
精细加工的方式有很多,像“抽取表述概念本质特征的关键要素”、“以多种方式沉睡年本质属性”等都是一些有效的精细加工方式。
(三)概念结构化策略
数学概念之间的联系十分紧密。
找出概念之间的纵横联系,组成概念系统,有利于概念的巩固和深化,有利于知识的检索、提取和运用,有利于促进知识的迁移,发展学生的数学能力,有利于学生以概念系统为基础,组织良好的数学认知结构,使他们所学的知识系统化、结构化。
(四)强化运用策略
在运用中加深对概念的理解,在运用中强化对概念的掌握,是一项非常有效的策略。
这种运用可以是一些简单的判别性、选择性的运用,也可以是稍复杂的推理性、证明性的运用,还可以是更为复杂些的问题情境的表征、三国游戏也问别人解决等的运用;
可以是直接的概念运用,也可以是间接的概念运用;
可以是单个概念的运用,也可以是综合概念的运用。
第三节儿童建构数学概念能力的培养
一、影响儿童建构数学概念的主要因素
(一)经验对学习概念的影响
1.经验会对概念学习产生积极的正效应
经验对概念学习产生积极的正效应主要表现在这样一些方面:
(1)经验可以成为概念学习的一种动力。
(2)经验可以转化为学习。
2.经验会对概念学习产生消极的负效应
经验对概念学习产生消极的负效应
(1)当数学概念与日常生活的经验在语义上不一致时,经验就会阻碍概念的学习。
(2)当数学概念与日常生活在语汇上相近时,经验也会阻碍概念的学习。
(3)当数学概念较为抽象时,往往难以摆脱临近的经验。
(二)语言对概念学习的影响
第一,用语言表达新的表象,可以使表象更清晰、更明确、更精细。
第二,用语言表达某个内容、可以增强对形成新概念的迁移作用。
第三,用语言表达概念,可以使概念更清晰。
1.概念引入阶段
2.形成表象阶段
3.获得概念阶段
二、建构数学概念能力的构成
(一)学生已有的生活经验和数学概念
学生已有的生活经验和数学概念是构建新概念的基础。
(二)数学思维能力
数学思维能力决定了学生对感性材料或已有概念进行加工的精细程度。
(三)数学的语言能力
数学的语言能力包括对数学语言的理解、记忆、表述能力。
它是构建准确、清晰、牢固的数学概念,并能灵活运用概念的保证。
三、建构数学概念能力的培养
构建数学概念,需要学生具备一定的生活经验及数学认知结构,一定的数学思维能力和语言理解、记忆、表述能力。
(一)重视表象的过渡
小学生的思维尚处在由具体运算阶段(以直观思维为主)向形式运算阶段(以呈现思维为主)逐步发展的过程,因此,形成数学概念往往有一个从直观到抽象的过渡,这个过渡就是“表象阶段”。
(二)加强数学交流
数学交流能力是数学素养的一个重要方面,而有效的数学交流就依赖于准确的数学概念。
因此,准确地运用数学概念是发展数学交流能力的一个条件,而充分的数学交流活动又能促进数学概念的进一步发展。
1.表述和交流自己的发现
2.解释和说明自己的观点
3.质疑和反驳他人的观点
(三)促进数学思维
数学思维能力是指保证数学思维活动能够顺利进行的个性心理特征。
影响概念构建的数学思维能力主要有观察能力、分析比较能力和抽象概括能力。
1.发展观察能力
观察是人们有目的、有计划地感知和,描述各种自然现象的一种思维方法。
2.发展分析比较能力
分析是比较的基础,为了确定不同事物的共同点,就需要把其中的每一个事物分解为几个部分(或几个方面),分别研究其特征。
比较是分析的继续和发展。
把相应的部分(或方面)的特征进行对比,确定它们哪些是相同的,哪些是不同的。
3.发展抽象概括能力
抽象能力表现为善于归纳,能把具有共同属性的事物看做一类,善于透过现象抓住本质,揭示表面的差异性,发现隐藏在背后的共同特征的能力。
概括能力表现为两个方面:
一是把从特殊的具体事物中抽象出来的共同特征推演到同类事物中,并形成一般概念的能力。
二是从特殊和具体的事物中发现其与某已知概念的关系,把个别特例纳入一个已知概念的能力。
第十章小学数学运算规则学习
数学规则是两个或两个以上数学概念之间的关系及其规律性在人脑中的反映,主要表现形式为:
法则、定律、公式、公理、定理等。
第一节小学数学规则学习概述
一、小学数学规则学习的主要内容和特点
(一)小学数学运算规则学习的意义
1.有利于形成学生的基本技能
2.有利于发展学生的基本智能
(二)小学数学运算规则学习的主要内容
1.运算法则
运算法则是关于运算方法和程序的规定。
运算法则的理论依据为算理。
运算法则说的是怎样算,算理说的是为什么这样算。
2.运算性质
运算性质实际上反映的是运算的规律性。
运算性质不仅揭示了运算的内部本质属性,还更深层次地反映了各种量之间的逻辑关系。
运算性质根据其所起的作用,主要可分为三类:
第一类:
改变参算的数的位置。
第二类,改变运算顺序。
第三类,参算的数的改变引起运算结果的变化。
3.运算方法
运算方法是指利用四则运算求某种量或者换算两种量的具体方法,通常称之为常规方法。
运算方法是客观事物的数学关系的具体体现,是四则运算你与现实世界相互联系的桥梁。
(三)小学数学运算规则的主要分类
1.按规则的水平分
一级运算规则
二级运算规则
三级运算规则
2.按运算涉及的对象分
整数和小数的四则运算规则
简单的乘方运算规则
简单的分数四则运算规则
3.按运算的形式分
口算规则
笔算规则
估算(有时也包括珠算、速算等)规则
4.按学习目标分
四则运算
性质运用
名数化聚规则
四则运用
(四)小学数学运算规则学习的特点
1.学习内容的特点
(1)以“认数学习”为起点
实际上,不仅仅是运算规则的学习,就连整个小学数学的学习,都是以“认数学习”为起点,按阶段循环展开的。
而运算规则的学习是伴随每一个阶段的“认数学习”而深入的。
(2)以整数四则运算为主线
在小学数学课程中,整数的四则运算是整个运算规则学习的重点,其内容的线索是按照“认数学习”的循环逐渐展开的。
儿童先在“10以内”认数学习的基础上学习简单的加减法(不进位和不退位),目的是初步获得对加减运算意义的体验,此时运算方法的重点在于口算。
而后。
结合“20以内”认数学习,儿童开始接触简单的进位家法和退位减法,通过运算获得对“数”和“计数规则“的进一步理解,而运算方法实际上还是以口算为主。
(3)小数、分数的性质和运算规则学习与认数学习交织进行。
在小学数学课程中,关于小数与分数的性质以及运算规则的学习,是伴随着整数的认数学习而逐渐渗透、阶段性发展的。
(4)性质与概念学习是伴随着运算规则学习而展开的
在小学数学课程中,许多运算性质的学习室伴随运算规则学习逐步展开的。
2.学习方式的特点
(1)淡化严格证明,强化合情推理。
按照科学数学的要求,数学规则的叙述必须严密、准确,要经过严格的论证。
但考虑到儿童智力发展水平和接受能力的限制,许多小学生数学鬼泽并不要求进行严格的证明。
为了让小学生体验到数学的严密性、逻辑性,使学生感受到数学规则的有理有据,小学数学规则学习一般采用合情推理,用不完全以归纳法或类比法导出。
教师往往是先给出具体事例或已有知识,让学生通过观察、实验,探索、发现事物之间的关系或发展的规律性,再经过归纳、猜测、验证过程,然后用简练、准确的语言表达出来,形成规则。
(2)重要规则逐步深化。
为适应小学生的认知能力及认知规律,小学数学中的重要规则是,采用先渗透,再深化,逐步提高的分段编排方法。
(3)有些规则不给结语。
根据儿童的认知特点,有些贵州不是以命题的形式,而是通过例题给出的,这样的规则称为“隐规则“。
”隐规则“也是小学数学知识的重要组成部分,要求学生通过习题练习使用,并达到一定的熟练程度。
二、各种不同的运算规则
(一)口算与笔算
(二)估算与速算
(三)口算与估算
(四)用计算器运算
三、儿童形成运算技能的基本特征
(一)生活经验是理解运算意义的基础
儿童在学龄前已经有了某些运算(更多的是加减运算)的活动,并通过这些活动形成了自己的经验,这些经验是与儿童的生活情境紧密联系的,而这些与儿童生活情境紧密联系的情境正式他们理解并掌握运算意义的重要基础。
首先,丰富的生活情境是儿童理解运算意义的条件。
儿童对运算意义的理解不是从以符号为表征的概念开始的,而是从以自己的生活情境为基础的实践活动开始的。
其次,丰富的生活情境扩展着儿童对运算意义的理解。
丰富的生活情境不仅可以帮助儿童理解运算的意义,还能进一步扩展儿童对运算意义的理解。
(二)规则的运用有明显的阶段性
儿童对运算规则的掌握与运用呈现一定的阶段性,这种阶段性是与儿童的认知发展相一致的。
首先表现在对规则理解和掌握的阶段性。
儿童对运算规则的理解与掌握,因其能力特征的局限,有一个明显的发展过程。
其次表现在对规则运用的阶段性。
儿童在运算规则的运用上,也明显表现出一定的阶段性。
低年段的儿童在已经初步获取了一定的运算规则之后,在预算的过程中常常还要依靠一些“构造事实”的方法来获得帮助。
但是,到了初步形成运算技能的阶段,儿童对“20以内”加减法的运算已经非常熟悉,再遇到像3+5这样的算题,一般会采用“提取事实”的策略,不再运用“数数”的方式。
从一个低年段的儿童的角度看,摆脱“构造事实”的方式,转而采用“提取事实”的策略,也是形成一定运算技能的一个标志。
(三)从实物表征运算到符号表征运算
儿童在最初学习运算规则时,往往要依靠实物的表征,通过对大量的以实物为表征的“计数”运算活动,逐步概括出更为一般的运算规则。
但是,随着儿童学习的发展,他们开始逐步摆脱实物表征,转而直接获得以符号表征的运算规则。
第二节小学数学规则教学的基本模式与策略
一、规则学习的基本模式
一般来看,在小学数学的规划学习中,常用的学习模式有“例证——规则”和“规则——例证”。
第一,在儿童的数学规则学习过程中,这两种模式往往很难完全割裂开。
很多的时候,它们会交替出现在同一内容的学习过程中。
第二,不同的学生因其学习能力类型和学习风格的不同,以及认知策略的差异,对这两种模式的适应性也是不同的。
(一)例证——规则
该模式是指先向学生呈现某一规则的若干例证,通过引导学生观察、尝试或讨论,来发现并概括出一般性的规则的教学模式。
这种模式通常适用于规则的上位学习。
其基本学习过程是:
感知例证——观察发现——形成表象——逐步抽象——概括规则。
“例证——规则”教学模式的运用,需要一定的基本条件来支持。
第一,需要学生具有相应的数学概念或已形成相对具体的规则,这样才有可能获得更为一般性的概括;
第二,教师提供的例题要有一定的典型性,能够在某些只管的帮助下引导学生去感知和探究;
第三,要注意凸显规则的形成过程,以帮助学生在理解规则意义的基础上去掌握规则;
第四,规则的归纳与抽象过程要注意有一定的阶段性,以减少学生理解并掌握规则的难度。
(二)规则——例证
所谓“规则——例证”教学模式,就是指教师先向学生呈现某个规则,然后通过若干实例来说明规则的一种教学模式。
这种教学模式往往适用于规则的下位学习。
其条件就是:
学生必须掌握构建规则的必要概念。
需要指出的是,在小学数学的学习中,即便是采用“规则——例证“模式来进行规则学习,也并不表示这就是一种简单的接受学习。
在教学中,通常不会将规则直接呈现给学生,而是通过对某一对象(或某一组对象)的本质特性的探究来引导学生去发现规则。
因此,这样的学习仍然是带有一定的发现与探究的成分。
二、规则学习的主要策略
(一)规则的导入阶段
规则的导入是儿童学习数学运算规则的一个不可忽视的阶段,因为它将直接影响到对数学规则的揭示,以及儿童对规则意义的理解的可能性和效率。
一个良好的导入不仅能有效地激发儿童积极探究与主动尝试的欲望,还能有效地反映数学规则学习的意义和价值。
1.情境导入
这是小学数学中最常见和最重要的一种策略。
情境导入就是指教师创设一个具有现实意义的情境,而情境本身蕴含着某一个规则命题。
情境吸引着儿童的兴趣和注意力,从而使儿童能积极地参与到各种感知与思维的活动中去,当儿童获得对规则的意义的理解时,同时也体验到了规则本身的价值。
2.活动导入
这也是小学数学教学中较为常见的一种策略。
所谓活动导入,就是教师先创设一个有趣或有价值的活动,让儿童在活动中发现并提出问题,从而刺激学生去思考、去尝试、去探究,最终获得对某一规则的理解和掌握。
3.问题导入
所谓问题导入,就是指利用儿童已有的知识或经验,构造出一些新的问题,从而引起儿童的认知冲突,刺激他们主动地去探究新命题。
通常,在一些规则的上位学习和并列学习的过程中,教师会采用这样的策略。
(二)规则的揭示与理解阶段
数学的规则学习建立在理解规则的基础之上。
面对规则的理解则是建立在对数的意义的理解之上。
因此,规则学习除了要形成并发展儿童的运算技能外,还有一项重要的任务,即通过对规则内部属性的揭示来建立对规则意义的理解。
1.借助实际情境获得对规则的理解
儿童一开始获得对规则的理解时,主要是借助实际情景来实现的。
通常,在学习10以内的加减法时,实际上就是借助对具体对象的组合与分解来获得初步理解。
2.借助对数的意义的认识获得对规则的理解
如果学生在构建数的意义
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