大学生数学竞赛(非数)试题及答案.doc
- 文档编号:4710568
- 上传时间:2023-05-07
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大学生数学竞赛(非数)试题及答案.doc
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线
封
密
大学生数学竞赛(非数学类)试卷及标准答案
考试形式:
闭卷 考试时间:
120分钟 满分:
100分.
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
满 分
20
5
10
15
10
10
15
15
100
得 分
注意:
1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
得分
评阅人
一、填空(每小题5分,共20分).
(1)计算=.
(2)设在连续,且存在,则=.
(3)若,则.
(4)已知的一个原函数为,则=.
(1).
(2)3.(3).(4).
得分
评阅人
二、(5分)计算,其中
.
解:
=+--------2分
=+-------------4分
=-------------5分.
得分
评阅人
三、(10分)设,其中具有二阶
导数,求.
解:
---------------3分
-----7分
=---------10分.
得分
评阅人
四、(15分)已知,求的值.
解:
---------3分
令,所以
---------6分
=------------7分
=,-----------9分
由,故=,-----------12分
即=0-----------13分
亦即-------------14分
所以-------------15分.
得分
评阅人
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年级:
专业:
线
封
密
五、(10分)求微分方程满足条件的特解.
解:
原方程可化为
-----------2分
这是一阶线性非齐次方程,代入公式得
----------4分
=----------5分
=-----------6分
=.---------------7分
所以原方程的通解是.----------8分
再由条件,有,即,-----------9分
因此,所求的特解是.----------10分.
得分
评阅人
六(10分)、若函数在内具有二阶导
数,且,其中,证明:
在内至少有一点,使。
证:
由于在内具有二阶导数,所以在上连续,
在内可导,再根据题意,
由罗尔定理知至少存在一点,使=0;--------3分
同理,在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点,使=0;---------6分
姓名:
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年级:
专业:
线
封
密
对于函数,由已知条件知在[,]上连续,在(,)内可导,且==0,由罗尔定理知至少存在一点(,),使,而,),故结论得证----------10分.
得分
评阅人
七、(15分)已知曲线和直线,围成平面图形.
(1)求平面图形的面积;
(2)求绕轴旋转所成立体的体积.
解:
(1)-----------2分
-----------4分
-----------5分
(2)因为,-----------6分
所以-----------9分
=------------11分
=-----------13分
=.--------------15分.
得分
评阅人
八、(15分)设有连续的一阶偏导数,又函数及分别由下列两式确定:
和,求.
解:
,
(1)---------4分
由两边对求导,得
=0,--------------7分
即---------------9分
又由两边对求导,得
,-----------11分
即-----------13分
将其代入
(1)式,得.-----------15分.
5
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