淮海工学院09-11概率论与数理统计试卷和答案.doc
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淮海工学院
09-10学年第2学期概率论与数理统计试卷(A闭卷)
答案及评分标准
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
1
2
3
4
分值
24
16
7
7
7
7
8
8
8
8
100
得分
一、选择题(本大题共8小题,每题3分,共24分)
1.一袋中有6个白球,4个红球,任取两球都是白球的概率是-----------------(B)
2.设随机变量,且,则为---------------(A)
3.设的联合概率密度为,则边缘概率密度----------(C)
4.设是一随机变量,则下列各式中错误的是----------------------------------(C)
5.已知,,则由切比雪夫不等式得------(B)
6.设总体,为的一个样本,则---------------(C)
7.设总体,未知,为来自的样本,样本均值为,样本标准差为,则的置信水平为的置信区间为-------(D)
8.设总体,未知,检验假设的拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------(A)
二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分)
1.设表示三个随机事件,则事件“不都发生”可用的运算关系表示为.
2.随机变量的数学期望,方差,则8
3.设相互独立,且,的概率密度为,则的概率密度为.
4.设是来自正态总体的一个简单随机样本,分别为样本均值和样本方差,则,.
三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分)
1.已知,分别在下列两种条件下,求的值.
(1)若与互不相容;
(2)若与相互独立.
解由加法公式------------
(1)与互不相容,即,
代入加法公式得,------------
(2)与相互独立,即
代入加法公式得,,得------------
2.已知随机变量的概率密度函数为
求
(1)常数;
(2)
解
(1)-----------------
(2)-----------------
3.已知随机变量,求随机变量的概率密度函数.
解---------------------
在严格单调增,
反函数
-------------------------------------------
4.设随机变量与相互独立,且具有相同的分布律:
X
1
2
pk
0.3
0.7
求
(1)的分布律;
(2)
Y
X
1
2
P{X=i}
1
0.09
0.21
0.3
2
0.21
0.49
0.7
P{Y=j}
0.3
0.7
1
解
(1)
-------------------
(2)
---------------------
四、应用题(本题8分)
某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售,三个级别的灯泡比例为,出售灯泡时需试用.一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1,0.2,0.3.现有一顾客买一灯泡试用正常,求该灯泡为三级品的概率.
解:
设“一级品”,“二级品”,“三级品”,“灯泡正常”,------------------
------------------
----------------
五、计算题(本题8分)
设随机变量在上服从均匀分布,现对进行三次独立观测,试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.
解---------------
---------------
设表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数,则---------------
-----------------
六、计算题(本题8分)
设总体的概率密度为其中为未知参数,为来自的样本,为相应的样本值,
(1)求的最大似然估计量;
(2)试问与是不是的无偏估计量?
当时,上述两个估计量哪一个较为有效?
解
(1)似然函数-------
,
令,解得,
所以的最大似然估计量为----------------
(2)
估计量都是的无偏估计量。
----------------
又
当时,,所以较为有效.------------------
七、应用题(本题8分)
根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布,标准差为150小时.今由一批产品中随机抽查25件,计算得到平均寿命为2536小时,试问在显著性水平0.05下,能否认为这批产品的平均寿命为2500小时?
并给出检验过程.
(已知)
解设产品的使用寿命已知,由题意
需检验假设---------------
采用检验,取检验统计量,
则拒绝域为----------------
将代入算得
,未落入拒绝域内,故接受,----------
即认为这批产品的平均寿命为2500小时.----------------
淮海工学院
09-10学年第2学期概率论与数理统计试卷(B闭卷)
答案及评分标准
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
1
2
3
4
分值
24
16
7
7
7
7
8
8
8
8
100
得分
一、选择题(本大题共小题,每题分,共分)
1.设为三事件,则事件“与都发生,而不发生”可用的运算关系表示为--------------------------------------------------------------------------(C)
2.设随机变量,,则------------------------(C)
3.设的联合密度为,则其边缘概率密度--------(A)
4.设随机变量,且,则二项分布的参数的值为--------------------------------------------------------------------------------------(B)
5.设随机变量具有数学期望,方差,则由切比雪夫不等式,有--------------------------------------------------------------(A)
6.设总体,其中已知,未知,为来自总体的一个样本,则下列各式不是统计量的是---------------------------------------------------(D)
7.设总体,未知,为来自的样本,样本均值为,样本标准差为,则的置信水平为的置信区间为-----(D)
8.设总体,未知,检验,可取检验统计量为-------(C)
二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分)
1.一口袋有6个白球,4个红球,“无放回”地从袋中取出3个球,则事件“恰有两个红球”的概率为.
2.设随机变量,则方程有实根的概率为.
3.设连续型随机变量的概率密度函数为,则,.
4.设总体的均值为,方差为,在统计量和中,是的无偏估计量.
三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分)
1.设事件相互独立,且其概率都等于,求事件中最多发生2个的概率.
解法一-------------
-------------
解法二
-------------
-------------
2.设随机变量,求随机变量的概率密度.
解---------------------
在为严格单调函数,
反函数
---------------------------------
3.设二维随机变量的分布律如下表:
Y
X
1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3
求
(1)应满足的条件;
(2)若与相互独立,求的值.
解
(1)----------------------
(2)
----------------------
4.已知的概率密度为
,
求
(1)常数的值;
(2)
解
(1)由--------
(2)
----------
四、应用题(本题分)
有朋自远方来,他乘火车、汽车、飞机来的概率分别是已知他乘火车、汽车、飞机来的话迟到的概率分别是结果他迟到了,试问他乘火车来的概率是多少?
解设“乘火车”,“乘汽车”,“乘飞机”,“迟到”,----
-----------------------
-------------------
五、应用题(本题8分)
设顾客在某银行窗口等待服务的时间(分钟)服从指数分布,其概率密度为
某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.已知他一个月要到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出的分布律,并求.
解顾客未等到服务离开的概率为--------
由题意,其分布律为,
--------
六、计算题(本题分)
设总体的概率密度为其中为未知参数,为来自的样本,为相应的样本值,
(1)求的矩估计量;
(2)求的最大似然估计量.
解
(1),---------------
令,得的矩估计量的矩估计量为---------------
(2)似然函数-----------------
取对数有
令
解得的最大似然估计值为
的最大似然估计量为--------------
七、应用题(本题分)
假定人的脉搏服从正态分布,正常人的脉搏平均为72次/分钟,现测得16例慢性铅中毒患者的脉搏样本的均值为66次/分钟,标准差为8次/分钟,试问在显著性水平下,慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异?
并给出检验过程.
解设脉搏数未知,由题意
需检验假设,---------------------
采用检验,取检验统计量,
则拒绝域为:
----------------------
将代入算得,
落入拒绝域,故拒绝,----------------------
即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异.-----------------------
淮海工学院
09-10学年第1学期概率论与数理统计试卷(A卷)
答案及评分标准
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
1
2
3
4
分值
24
18
6
6
6
6
8
8
8
10
100
得分
一、选择题(本大题共8小题,每题3分,共24分)
1.一袋中有6个白球,4个红球,任取两球都是白球的概率是-------------------(B)
2.设连续型随机变量的概率密度函数为,则下列错误的是----------(C)
3.已知的概率密度函数为则关于的边缘概率密度函数为---------------------------------------------------------------------------------------(D)
4.设是随机变量,则下列各式中不正确的是------------------------------------(C)
5.设和相互独立,,则由切比雪夫不等式得-------------------------------------------------------------(C)
6.设是总体的一个样本,分别为样本均值和样本方差,则------------------------------------------------------------------------------------(B)
7.设总体未知。
为来自总体的样本,样本均值为,样本标准差为,则的置信水平为的置信区间为---------(C)
)
8.,未知,假设检验的拒绝域为---(B)
二、填空题(本大题共小题,每题分,共分)
2.设若与不相容,则。
2.已知离散型随机变量,且,则。
3.设相互独立,且,则。
4.设随机变量相互独立,其中在上服从均匀分布,服从参数为的泊松分布,记,则。
5.设,利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得
,其中。
6.设总体,为来自总体的样本,若
,则。
三、计算题(本大题共小题,每题分,共分)
1.设求。
解:
-------------------
--------------------
2.已知连续型随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数。
解:
----------------------------------------
Y
X
1
3
5
0
1
3.设二维随机变量的分布律如右表,若相互独立,求的值。
解:
由---------------------
-------
解得-------------------------------------
4.设随机变量的概率密度函数求常数及。
解:
由,即,可得--------------------------------
------------------------------------------------
-------------------------------------------
=-----------------------------------------------------------
四、计算题(本题分)
设某仓库有一批产品,已知其中,,分别由甲、乙、丙厂生产,甲、乙、丙厂生产的次品率分别为,现从这批产品中任取一件,求:
(1)取得正品的概率?
(2)假设已知取得的是一个正品,那么它出自甲厂的概率是多少?
解:
设“取得的产品由甲厂生产”,“取得的产品由乙厂生产”,
“取得的产品由丙厂生产”,“取得的产品是正品”,-----------------------
------------------------------------------
-----------------------------------
五、计算题(本题分)
已知某电子元件的寿命(单位:
小时)的概率密度函数为
(1)1只这种电子元件寿命大于小时的概率为多少?
(2)在一批这种元件(元件是否损坏相互独立)中,任取出只,其中至多有4只寿命大于小时的概率是多少?
解:
寿命在小时以上的概率----------
设只电子管中寿命在小时以上的个数为,则---------------
-------------------------------------------------------------
六、计算题(本题分)
已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量,,在某段时间抽测了炉铁水,算得铁水含碳量的样本方差为.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
(显著性水平()
解:
由题意建立原假设和备择假设,---------------
拒绝域为或.----
因为因此接受,-------------------------------------------
即这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异.---------
七、计算题(本题分)
设总体,为来自总体的样本,样本均值为,样本方差为,其中是未知参数,且,
(1)试求的最大似然估计量;
(2)试证:
对一切,都是的无偏估计;
(3)试求的一个无偏估计量。
解:
(1)服从参数为的泊松分布,则,
似然函数为.----------------------------------------
,
.解得.
所以的最大似然估计量为.------------------------------------------
(2)对一切,
,所以都是的无偏估计---------------------
淮海工学院
09-10学年第1学期概率论与数理统计试卷(B卷)
答案及评分标准
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
1
2
3
4
分值
24
18
6
6
6
6
8
8
8
10
100
得分
一、选择题(本大题共小题,每题分,共分)
1.设一射手每次命中目标的概率为,现对同一目标进行若干次独立射击,直到命中目标5次为止,则射手射击了10次的概率为---------------------------------(C)
2.设连续型随机变量的概率密度函数和分布函数分别为,则下列选项中正确的是-------------------------------------------------------------------------------(C)
3.已知的概率密度为,则关于的边缘概率密度为---------(A)
4.设是一随机变量,则下列各式中正确的是--------------------------------(D)
5.设,,则由切比雪夫不等式得---(C)
6.设是总体的一个样本,分别为样本均值和样本方差,则------------------------------------------------------------------------------------(B)
7.设样本来自正态总体,为常数
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