数学物理方法习题解答(完整版).doc
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数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明在平面上处处不可导。
证明:
令。
,。
,,。
于是与在平面上处处不满足C-R条件,
所以在平面上处处不可导。
2、试证仅在原点有导数。
证明:
令。
。
。
。
所以除原点以外,不满足C-R条件。
而在原点连续,且满足C-R条件,所以在原点可微。
。
或:
。
。
【当,与趋向有关,则上式中】
3、设,证明在原点满足C-R条件,但不可微。
证明:
令,则
,
。
,
;
,
。
在原点上满足C-R条件。
但。
令沿趋于,则
依赖于,在原点不可导。
4、若复变函数在区域上解析并满足下列条件之一,证明其在区域上必为常数。
(1)在区域上为实函数;
(2)在区域上解析;
(3)在区域上是常数。
证明:
(1)令。
由于在区域上为实函数,所以在区域上。
在区域上解析。
由C-R条件得
,。
在区域上为常数。
从而在区域上为常数。
(2)令,则。
在区域上解析。
由C-R条件得
。
(1)
又在区域上解析,由C-R条件得
。
(2)
联立
(1)和
(2),得
。
在区域上均为常数,从而在区域上为常数。
(3)令,则。
由题设知在区域上为常数,。
又由C-R条件得,在区域上
,于是在区域上为常数。
在区域上均为常数,从而在区域上为常数。
5、证明不能成为的一个解析函数的实部。
证明:
令,。
不满足拉普拉斯方程。
从而它不能成为的一个解析函数的实部。
6、若,试证:
(1);
(2);
(3);
(4)。
证明:
(1)
,
。
(2)
,
。
(3)
。
(4)
。
7、试证若函数和在解析。
,
则。
(复变函数的洛必达法则)
证明:
。
或倒过来做。
8、求证:
。
证明:
。
第二章习题解答
9、利用积分估值,证明
a.积分路径是从到的
右半圆周。
b.证明积分路径是直线段。
证明:
a.(方法一)
。
(方法二)在半圆周上,,从而
在半圆周上,,,
。
或:
。
b.证:
。
10、不用计算,证明下列积分之值均为零,其中均为圆心在原点,
半径为的单位圆周。
a.;b.。
证明:
a.的奇点为,由于,所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
在以原点为圆心的单位圆内无奇点,处处解析。
由柯西定理:
。
b.的奇点为,,它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
在以原点为圆心的单位圆内处处解析。
由柯西定理:
。
11、计算
a.;b.。
解:
a.在所围区域内解析,且在所围区域内。
由柯西积分公式得
。
b.在所围区域内解析,且在所围区域内。
由推广的柯西积分公式得
。
12、求积分(),从而证明。
解:
在所围区域内解析,且在所围区域内。
由柯西积分公式得。
(1)
在上令,,则
,
其中利用了,由于是的奇函数,而是
的偶函数,所以
,。
。
(2)
从而,联立
(1)和
(2),得
。
13、由积分之值,证明,为单位圆周。
证明:
在单位圆周所围区域内解析。
由柯西定理:
。
(1)
另一方面,在上,,
(2)
为的奇函数,
(3)
由
(1)、
(2)及(3)得
。
(4)
又的偶函数,
。
(5)
于是由(4)和(5)得
。
14、设,证明积分
a.当是圆周时,等于;
b.当是圆周时,等于;
c.当是圆周时,等于。
证明:
的奇点为及。
a.当是圆周时,及均在圆外,在圆内
解析。
由柯西定理:
。
b.当是圆周时,仅在圆内。
由柯西积分公式
得。
c.当是圆周时,仅在圆内。
由柯西积分公式
得。
第三章习题解答
15、求下列级数的收敛半径,并对c讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。
a.;b.;c.(为常数)。
解:
a.。
b.。
c.。
或。
【(洛必达法则)】
在收敛圆周上,,级数成为。
,它的通项在时,不趋于。
故级数发散。
16、试求下列级数的收敛半径。
a.;b.;c.。
解:
a.当时,级数收敛。
当时,级数发散。
亦即当时,级数收敛。
而当时,级数发散。
于是收敛半径。
b.。
c.,。
又因为,且,
故。
于是所求级数的收敛半径。
或:
,。
当时,,
当时,,
17、将下列函数按的幂展开,并指明收敛范围。
a.;b.。
解:
a.,,
。
b.,,
。
18、将下列函数按的幂展开,并指出收敛范围。
a.;b.;c.。
解:
a.。
,,
。
,。
。
或:
令,则,,
所以。
b.
c.
令,
,
从而
进一步,
所以。
19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。
a.,;b.。
解:
a.。
在内,,
。
在内,,,
。
b.
在内,,且,
。
,
。
20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数,并指出成立范
围。
a.【】;b.【】。
解:
a.的无心邻域为,
,且,
【】
。
,
。
b.当时,,
,
。
21、把展成下列级数。
(1)在上展成的泰勒级数;
(2)在上展成的罗朗级数;
(3)在上展成的泰勒级数;
(4)在上展成的罗朗级数。
解:
(1)在上,,【在上解析】。
(2)在上,。
(3)在上解析,且,所以
。
(4)在上,,所以
。
第四章习题解答
22、确定下列各函数的孤立奇点,并指出它们是什么样的类型(对于极点,要指出它们的阶),对于无穷远点也要加以讨论:
(1);
(2);(3)。
解:
(1)是的孤立奇点且是极点。
,
是的一阶零点,从而是的一阶极点;
,
,
是的二阶零点,从而是的二阶极点。
在内解析,,是可去奇点,四阶零点。
(2)在的罗朗展开式的主要
部分有无穷多项,
是的本性奇点。
在内解析,,
是的可去奇点。
(3),
的零点,是的极点。
又,
是的一阶零点,从而是的一阶极点。
是的奇点,但不是孤立奇点,因为在无穷远点的的任何邻域内,总有其它奇点。
23、求在孤立奇点处的留数。
解:
的解,是的奇点。
由于,是的极点。
又
,
是的一阶零点,从而是的一阶极点。
不是的孤立奇点,因为在它的任一邻域内,总有其它的奇点。
由推论2:
。
【】
24、求下列函数在指定点处的留数。
(1)在;
(2)在,。
解:
(1)为的一阶级点.,
为的二阶极点。
,
。
由于已是的所有有限孤立奇点,
。
(2)在的罗朗展开式为
。
由于是的仅有的一个有限孤立奇点,
。
【在的罗朗展开式为
】
25、求下列函数在其奇点(包括无穷远点)处的留数,(是自然数)
(1)(是自然数);
(2);
(3)。
解:
(1)是的有限远孤立奇点。
在,的罗朗展开式为。
令,则。
为非负整数,只有为偶数时上式才成立。
而当为奇数时,,即在的罗朗展开式中没有次幂项,即。
当为奇数时,。
当为偶数时,的项是次幂项,,所以,此时。
总之,不管为偶数或奇数,都有。
(2)是的唯一的有限奇点,且是二阶极点。
,
(3),,是的孤立奇点。
在点的罗朗展开式为
在解析,且为的偶函数,所以它在处的泰勒展开式中只有的偶次项。
而
,
及
。
,
次幂项的系数
。
不是的孤立奇点。
26、求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的留数。
(1);
(2)。
解:
(1)是的本性奇点,为其孤立奇点。
在点的罗朗展开式为
。
当时,即,时,的系数即为
,所以
【利用了】。
。
(2)是的阶极点,而是的一阶(单)极点。
,
。
是的仅有的二个有限远孤立奇点,
。
27、计算下列积分
(1);
(2)为自然数;
(3)。
解:
(1)是被积函数在单位圆内的孤立奇点。
,
。
是的二阶零点,也就是的二阶极点。
。
由留数定理,得
。
(2)由于,,被积函数在单位圆内有二个阶极点,。
于是
。
同理。
由留数定理,得
。
(3)被积函数,
,是在圆内的二个一阶极点。
,
。
由留数定理,得
。
28、求下列各积分值
(1);
(2)。
解:
(1),
。
令,则,
。
令,,,则
。
有二个一阶极点,。
,在单位圆外。
又,在单位圆内。
由关于极点的留数定理的推论2,得
。
由留数定理,得
。
(2),
。
令,则。
。
令,,,则
。
有两个一阶极点和
。
,在单位圆外。
,在单位圆内。
由关于极点的留数定理的推论2,得
。
由留数定理,得
。
29、求下列各积分的值
(1);
(2);
(3)()。
解:
(1)。
在实轴上无奇点,且。
有四个一阶极点,但只有二个,在上半平面。
,
。
。
(2)在实轴上无奇点,当时,。
在上半平面有两个一阶极点和。
,
。
。
(3)在实轴上无奇点,且。
在上半平面有二个一阶极点和
。
由关于极点的留数定理的推论2,得
,
。
。
30、从出发,其中为如图所示之围线,方
向沿逆时针方向。
证明
。
解:
在所围的区域内解析,由柯西定理:
。
(1)
又。
(2)
令,则
,
。
又,
。
(3)
,
。
又,,
。
(4)
令,由
(1)、
(2)、(3)、(4)得
,(5)
而,及,
于是。
(6)
由(5)和(6)得
。
(7)
比较(7)两边的实部和虚部,得
。
(8)
进一步,若令,则(8)成为
,
从而。
二、数学物理方程及特殊函数部分习题解答
第五章习题解答
31、弦在阻尼介质中振动,单位长度的弦所受阻力(比例常数叫做阻力系数),试推导弦在这阻尼介质中的振动方程。
解:
与课上推导弦的受迫振动方程一样,令其中的,,
弦在介质中的振动方程为:
,即
,,。
32、长为柔软均质轻绳,一端()固定在以匀速转动的竖直轴上。
由于惯性离心力的作用,这绳的平衡位置应是水平线。
试推导此绳相对于水平线的横振动方程。
解:
研究位于到这一段绳A的振动情况。
设绳的质量密度为。
A在纵向没有运动,于是A所受的纵向合力为零,即A所受的张力在纵向的合力等于其所受的惯性离心力,
即
(1)
在横向,由牛顿第二定律,得
(2)
在小振动条件下,有
,,
注意到,,由
(1)得
,
即
于是绳中任一点处的张力为
。
(3)【段的惯性离心力】
又,,代入
(2)得
,
即,(4)
将的表达式(3)代入(4),得绳相对于水平线的横振动方程为
与无关。
【,边界条件,有限(自然边界条件)】
33、长为的均匀杆,两端由恒定热流进入,其强度为。
试写出这个热传导问题的边界条件。
解:
由热传导的傅里叶定律,在边界上有,其中为边界的单位法线矢量,为沿的方向导数。
在端,,而,所以
。
在端,,而,所以
。
即边界条件为:
,。
或:
在一维时,,而,由热传导的傅里叶定律,得,所以边界条件为
,。
34、半径为而表面燻黑的金属长圆柱,受到阳光照射,阳光方向垂直于柱轴,热流强度为。
设圆柱外界的温度为,试写出这个圆柱的热传导问题的边界条件。
解法一:
如图取极坐标系,极轴垂直于阳光,由阳光照射而产生的,通过圆柱表面流入圆柱体的热流强度为
,
同样由阳光照射而产生的,通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为
。
由圆柱本身的温度分布产生的热流强度为,而在极坐标系中,故其通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为。
总的通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为,其在表面的大小为,其中。
由牛顿热交换定律,知应与成正比,即,
,
两边除以,即得边界条件为:
,。
解法二:
取如图的圆柱表面的一个小块来分析。
小块的面积为,厚度为,两个表面分别为和,为的外法线方向单位矢量,而为的内法线方向单位矢量。
单位时间流出小块的热量等于其能量的减少率,即
,(*)
其中,。
令,则,,(*)的左边趋于,(*)成为
,(**)
其中,(**)两边除以,即得边界条件:
,。
第六章习题解答
35、长为的弦,两端固定,弦中张力为,在距一端为的一点以力把弦拉开,然后突然撤除这力,求解此弦的振动。
解:
先求出初始位移,分和两段来考虑。
设点的位移为,则
在中,,
在中,。
在小振动,、很小的条件下,利用力的平衡条件和小振动条件,,得
,
于是。
。
定解问题为
。
分离变数,令,代入方程及边界条件,可得既满足方程又满足边界条件的通解为
。
代入初始条件,得,
。
。
。
36、研究长为,一端固定,另一端自由,初始位移为而初始速度为零的
弦的自由振动情况。
解:
即求解定解问题
。
分离变数,令,
可得:
,
(1)
,
(2)
由
(2)解得:
,,。
由
(1)解得:
。
定解问题的通解为
。
由初始条件,得:
,
。
由初始条件,得:
,
,
。
37、求解细杆的热传导问题。
杆长为,两端温度保持为零度,初始温度分布为。
解:
定解问题为
。
令,则可求得,,
满足。
定解问题的通解为。
由初始条件得:
,
。
当时,。
整个杆达到平衡状态。
38、求解细杆的热传导问题。
杆长为,初始温度为均匀的,两端温度分别保持为和。
解:
定解问题为
。
先将非齐次边界条件化为齐次边界条件。
令,
使满足,则,(*)
将(*)代入,得,
将(*)代入,得,
。
于是满足,
其通解为。
由初始条件得:
,
。
。
。
39、长为的柱形管,一端封闭,另一端开放。
管外空气中含有某种气体,其浓度为,向管内扩散。
求该气体在管内的浓度。
解:
定解问题为
。
先将非齐次边界条件化为齐次边界条件,令,
使满足,
解之,得:
。
满足。
令,可求得
,
,。
定解问题的通解为:
。
由初始条件得:
,
。
于是,
。
40、均匀的薄板占据区域,。
其边界上的温度为
,,,。
求解板的稳定温度分布。
解:
定解问题为
。
关于的边界条件是齐次的,用分离变数法来解:
令,代入方程可得
,
于是,
(1)
。
(2)
由
(2)求得,,
将的值代入
(1)得:
,
。
于是。
由,得,。
由,得,
。
。
41、研究处于重力场中,长为,一端固定,另一端自由,初始位移和初始
速度均为零的弦的受迫振动情况,设重力加速度为。
即试用分离变数
法求解定解问题
。
解:
先将非齐次方程化为齐次方程。
令,
使满足。
解之,得:
,,
。
满足。
用分离变数法可求得的通解为
。
由,得:
。
由,得:
,利用
,
及,得
。
。
。
42、半径为,表面燻黑了的均匀长圆柱,在温度为零度的空气中受着阳光的照射,阳光垂直于柱轴,热流强度为,试求圆柱内的稳定温度分布。
解:
取圆柱的轴为轴,由于圆柱是均匀且长(可以认为无限长),显然温度分布与无关,故只需在平面上研究就行了。
取极坐标系,由牛顿热交换定律知:
,或
。
【利用34题的结果】
定解问题为
。
方程的通解为
。
。
故通解又可写为
。
由,得
,
上式相当于在区间上将展成傅里叶级数,由展开系数公式得:
,
,
。
,
。
。
43、用傅里叶变换求解定解问题
。
解:
由于在内变化,对进行傅里叶变换
,(*)
其中,
(*)的通解为,。
由,得,
所以总的可写为,
其中。
由,得。
。
进行傅里叶反变换,得
,
而
,
代入上、下限时应注意到,
。
第七章习题解答
44、试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数。
解:
二维波动方程在极坐标系中可表为
。
(1)
令,代入
(1),得:
。
(2)
(2)的两边除以,得
。
(3)
(3)的左边仅是的函数,而右边却是,的函数,
(3)的两边只能等于同一常数,记为,从而
。
,(4)
(4)的两边乘以,并移项得
。
同理上式两边只能等于同一常数,记为。
于是
,,
,,。
,
,
令,,得
,阶Besseleq.
45、用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。
解:
在平面极坐标系中,二维输运方程为
(1)
令,代入
(1),得:
。
(2)
(2)的两边除以,得
.
上式左边仅是的函数,而右边却是,的函数,
上式两边只能等于同一常数,记为,从而
。
及与上一题的相同。
46、求证,。
证:
勒让德多项式的生成函数为
,。
(1)
两边对求导,得
。
两边乘以,得
,
(2)
(1)代入
(2),得
,
比较两边项的系数,得
。
47、利用上题和,,
求证,。
证:
对勒让德多项式的递推公式
(1)
两边对求导,得
。
(2)
又由上题,得:
,(3)
,得。
(4)
从(3)及(4)中消去,得
。
(5)
,得。
48、在区间上将用勒让德多项式展开。
解:
由于是偶函数,所以展开式中只含偶数阶的勒让德多项式,
。
,
,
,
当时,
。
或:
令
因为,,,
所以,
比较上式两边系数,得
。
。
49、验证:
。
证:
因为,,
所以。
50、证明:
。
证法一:
当时,。
当时,
,
只有当,即时,上式才不为。
此时
。
。
证法二:
当时,。
当时,又,
。
当,时,
,,
又,
。
当时,
,,
又,
。
。
51、求解定解问题。
解:
所要求解的定解问题具有轴对称性,其轴对称球内解为
。
由,得
。
比较两边的系数,得
,,,。
。
52、求解定解问题。
解:
所要求解的定解问题具有轴对称性,其轴对称球外解为
。
由,得
。
比较两边的系数,得
,,,,。
。
53、用一层不导电的物质把半径为的导体球壳分隔为两个半球壳,使半球壳各充电到电势为和,试计算球壳内外的电势分布。
解:
本题可归结为求解如下的的定解问题
。
所要求解的定解问题有轴对称性,方程
(1)的轴对称有界通解为
。
在球内中,,有界,
所以,当时,。
由边界条件
(2),得:
,
【令,】
。
,
。
所以,当时,
。
如果,则,球壳为等势体,球壳内电场。
在球外中,,,有界,
所以,当时,。
同样,由边界条件
(2),得:
,
。
用类似上面的求解方法,可得
。
所以,当时,
。
如果,则球壳外的电势分布,其中,相当于一个带电量为的点电荷产生的电势。
其实在情况下,球壳为等势体,球壳所带的电荷可由电磁场的边值关系得到。
计算如下:
球壳内电场;球壳外,其法向分量大小。
假定球壳内外为真空,球壳的面电荷密度,
总电荷。
54、半径为,表面燻黑的均匀球,在温度为的空气中,受着阳光的照射,阳光的热流强度为,求解小球内的稳定温度分布。
解:
本题可归结为求解如下的定解问题:
其中,为热传导系数,为热交换系数。
本定解问题有轴对称性,方程
(1)的轴对称球内通解为
,。
由边界条件
(2),得
,
即。
【令】
。
,
。
(3)
又,
。
。
又
,
。
(4)
(4)代入(3),得:
,,,
。
于是小球内的稳定温度分布为
,。
55、计算下列积分
(1);
(2)。
解:
(1)由递推公式,得。
①
由递推公式,得。
②
。
(2)由递推公式,得
,①
。
②
。
③
又由递推公式,得
。
④
将④代入③,得
。
56、半径为而高为的圆柱体下底面和侧面保持零度,上底面温度分布为,求圆柱体内各点的稳恒温度(稳定温度分布)。
解:
本题可归结为求解如下的定解问题
定解问题有轴对称性,所以与无关,。
的径向部分满足
,【零阶Besseleq.】
其在处有界的解为。
,
本征值为,本征函数为,。
的方向部分满足
,
其解为。
定解问题的特解为
,
定解问题的通解为
。
(1)
。
(2)
,
于是。
(3)
【利用了54题
(1)的结果】
。
(4)
又,(5)
将(4)和(5)代入(3),得
,
。
(6)
将
(2)和(6)代入
(1),得圆柱体内各点的稳恒温度为
。
57、设半径为的无限长圆柱形物体的侧面温度为,初始温度,
求此物体的温度分布随时间的变化规律。
(无限长与无关)
解:
此问题可归结为求解如下的定解问题
定解问题有轴对称性,所以与无关。
又圆柱为无限长,故又与无关。
令,
代入方程,得
,
。
于是,
。
(1)【orderBesseleq.】
(1)在处有限的解为。
,
本征值为,
本征函数为。
。
(1)
由初始条件,得:
,
。
(2)
而
【利用了54题
(1)的结果】
,(3)
,(4)
。
(5)
将(3)、(4)和(5)代入
(2),得
。
(6)
将(6)代入
(1),得物体的温度分布随时间的变化规律为
。
58、圆柱体半径为而高为,上底面保持温度,下底面保持温度,侧面的温度分布为,求解圆柱体内各点的稳恒温度(稳定温度分布)。
解:
本题可归结为求解如下的定解问题
。
先将上、下底面的非齐次边界条件齐次化。
令,
(1)
使满足
。
(2)
满足。
的定解问题有轴对称性,所以与无关。
。
(3)
令,代入(3),得,
两边除以,并移项,得
,
从而。
(4)
。
(5)
令,,则(5)成为
,【阶虚宗量Besseleq.】
其在(即)处有界的解为
。
(6)
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