全国自考线性代数(经管类)往年试题答案2012-2010.doc
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欠缺的答案
全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》答案
课程代码:
04184
全国2011年1月自考线性代数(经管类)参考答案
三、计算题
2010年10月全国自考线性代数(经管类)参考答案
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设3阶方阵,其中()为A的列向量,若,则(C)
.
A. B. C.6 D.12
2.计算行列式(A)
A. B. C.120 D.180
.
3.若A为3阶方阵且,则(C)
A. B.2 C.4 D.8
,.
4.设都是3维向量,则必有(B)
A.线性无关 B.线性相关
C.可由线性表示 D.不可由线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
由,得4.
6.设A、B为同阶方阵,且,则(C)
A.A与B相似 B. C.A与B等价 D.A与B合同
注:
A与B有相同的等价标准形.
7.设A为3阶方阵,其特征值分别为,则(D)
A.0 B.2 C.3 D.24
的特征值分别为,所以.
8.若A、B相似,则下列说法错误的是(B)
A.A与B等价 B.A与B合同 C. D.A与B有相同特征值
注:
只有正交相似才是合同的.
9.若向量与正交,则(D)
A. B.0 C.2 D.4
由内积,得4.
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为,则(B)
A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定
对应的规范型,是半正定的.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设,,则______________.
.
12.设A为3阶方阵,且,则______________.
.
13.三元方程的通解是______________.
,通解是.
14.设,则与反方向的单位向量是______________.
.
15.设A为5阶方阵,且,则线性空间的维数是______________.
的维数等于基础解系所含向量的个数:
.
16.设A为3阶方阵,特征值分别为,则______________.
.
17.若A、B为5阶方阵,且只有零解,且,则______________.
只有零解,所以可逆,从而.
18.实对称矩阵所对应的二次型______________.
.
19.设3元非齐次线性方程组有解,,且,则的通解是______________.
是的基础解系,的通解是.
20.设,则的非零特征值是______________.
由,可得,设的非零特征值是,
则,.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算5阶行列式.
解:
连续3次按第2行展开,.
22.设矩阵X满足方程,求X.
解:
记,,,则,
,,
.
23.求非齐次线性方程组的通解.
解:
,
,通解为,都是任意常数.
24.求向量组,,的秩和一个极大无关组.
解:
,向量组的秩为2,是一个极大无关组.
25.已知的一个特征向量,求及所对应的特征值,并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
解:
设是所对应的特征值,则,即,从而,可得,,;
对于,解齐次方程组:
,,基础解系为,属于的全部特征向量为,为任意非零实数.
26.设,试确定使.
解:
,时.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.若是()的线性无关解,证明是对应齐次线性方程组的线性无关解.
证:
因为是的解,所以,是的解;
设,即,由线性无关,得,只有零解,所以线性无关.
全国2010年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设行列式,则行列式(A)
A. B.1 C.2 D.
.
2.设为同阶可逆方阵,则(B)
A. B. C. D.
3.设是4维列向量,矩阵.如果,则(D)
A. B. C.4 D.32
.
4.设是三维实向量,则(C)
A.一定线性无关 B.一定可由线性表出
C.一定线性相关 D.一定线性无关
5.向量组,,的秩为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.设是矩阵,,则方程组的基础解系中所含向量的个数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
A.1 B.2 C.3 D.4
.
7.设是矩阵,已知只有零解,则以下结论正确的是(A)
A. B.(其中是维实向量)必有唯一解
C. D.存在基础解系
若,即方程个数小于未知量个数,则必有非零解.
8.设矩阵,则以下向量中是的特征向量的是(A)
A. B. C. D.
设是的特征向量,则,,
,将各备选答案代入验证,可知是的特征向量.
9.设矩阵的三个特征值分别为,则(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
.
10.三元二次型的矩阵为(A)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.行列式_________.
.
12.设,则_________.
,.
解法二:
令,,则
,,
.
13.设方阵满足,则_________.
,,,,
.
14.实数向量空间的维数是_________.
就是齐次方程组的解向量组,它的基础解系(即极大无关组)含有个向量,所以的维数是2.
15.设是非齐次线性方程组的解.则_________.
.
16.设是实矩阵,若,则_________.
利用P.115例7的结论:
.
17.设线性方程组有无穷多个解,则_________.
,
方程组有无穷多个解,则.
18.设阶矩阵有一个特征值3,则_________.
0是的特征值,所以.
19.设向量,,且与正交,则_________.
由,即,得2.
20.二次型的秩为_________.
,秩为3.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算4阶行列式.
解:
(标准答案).
22.设,判断是否可逆,若可逆,求其逆矩阵.
解:
,所以可逆,且(标准答案).
23.设向量,求.
解:
,
由于,
所以(标准答案).
24.设向量组,,,.
(1)求该向量组的一个极大无关组;
(2)将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.
解:
(1)
,
是一个极大线性无关组;
(2)(标准答案).
25.求齐次线性方程组的基础解系及其通解.
解:
,
,基础解系为,通解为.
26.设矩阵,求可逆方阵,使为对角矩阵.
解:
,
的特征值为,.
对于,解齐次线性方程组:
,,基础解系为,;
对于,解齐次线性方程组:
,,基础解系为.
令,则是可逆方阵,使得.
四、证明题(本大题6分)
27.已知线性无关,证明:
,,线性无关.
证:
设,
即,
因为线性无关,必有,
,
只有,所以,,,线性无关.
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