数学分析教案-(华东师大版)第十二章-数项级数Word格式.doc
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,.
.
因此,该级数收敛.
例4讨论级数的敛散性.
解,.级数发散.
3.
级数与数列的关系:
对应部分和数列{},收敛{}收敛;
对每个数列{},对应级数,对该级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.
可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.
4.级数与无穷积分的关系:
其中.无穷积分可化为级数;
对每个级数,定义函数,易见有
=.即级数可化为无穷积分.
综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.
二.
级数收敛的充要条件——Cauchy准则:
把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言,就得到级数收敛的Cauchy准则.
Th(Cauchy准则)收敛和N,.
由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.
系(级数收敛的必要条件)收敛.
例5证明级数收敛.
证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有
应用Cauchy准则时,应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子,令其小于,确定.
例6判断级数的敛散性.
(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)
例7
(但级数发散的例)证明调和级数发散.
证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)
证法二证明{}发散.利用已证明的不等式
.即得,.
三.收敛级数的基本性质:
(均给出证明)
性质1收敛,—Const收敛且有=
(收敛级数满足分配律)
性质2和收敛,收敛,且有
=.
问题:
、、三者之间敛散性的关系.
性质3若级数收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)
例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?
2正项级数
一.正项级数判敛的一般原则:
1.
正项级数:
↗;
任意加括号不影响敛散性.
基本定理:
Th1设.则级数收敛.且当发散时,有,.(证)
正项级数敛散性的记法.
正项级数判敛的比较原则:
Th2设和是两个正项级数,且时有,则
ⅰ>
<
<
;
ⅱ>
=,=.(ⅱ>
是ⅰ>
的逆否命题)
例1
考查级数的敛散性.
解有
例2设.判断级数的敛散性.
推论1(比较原则的极限形式)设和是两个正项级数且,则
ⅰ>
时,和共敛散;
ⅱ>
时,<
ⅲ>
时,=,=.(证)
推论2设和是两个正项级数,若=,特别地,若~,,则<
=.
例3判断下列级数的敛散性:
⑴;
(~);
⑵;
⑶.
正项级数判敛法:
1.检比法:
亦称为D’alembert判别法.
用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.
Th3设为正项级数,且及时
ⅰ>
若,<
ⅱ>
若,=.
证ⅰ>
不妨设时就有成立,有
依次相乘,,即
.由,得,<
.
可见往后递增,.
推论(检比法的极限形式)设为正项级数,且.则ⅰ>
<
ⅱ>
>
或=,=.(证)
註倘用检比法判得=,则有.
检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.
例4判断级数
的敛散性.
解,.
例5讨论级数的敛散性.
解.
因此,当时,;
时,;
时,级数成为,发散.
例6判断级数的敛散性.
注意对正项级数,若仅有,其敛散性不能确定.例如对级数和,均有,但前者发散,后者收敛.
2.检根法(Cauchy判别法):
也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.
Th4设为正项级数,且及,当时,
ⅰ>
若,<
ⅱ>
若,=.(此时有.)(证)
推论(检根法的极限形式)设为正项级数,且.则,<
=.(证)
检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法.
例7研究级数的敛散性.
解,.
例8判断级数和的敛散性.
解前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛.
3.积分判别法:
Th5设在区间上函数且↘.则正项级数与积分共敛散.
证对且
.
例9讨论级数的敛散性.
解考虑函数0时在区间上非负递减.积分当时收敛,时发散.级数当时收敛,时发散.时,,级数发散.
综上,级数当且仅当时收敛.
例10讨论下列级数的敛散性:
⑴;
⑵.
习题课
一.直接比较判敛:
对正项级数,用直接比较法判敛时,常用下列不等式:
⑴.
⑵对,有.
⑶;
特别地,有
.
⑷时,有.
⑸.
⑹充分大时,有.
例1判断级数的敛散性.
解时,,(或).……
例2判断级数的敛散性,其中.
解时,有;
时,.
例3设数列有界.证明.
证设.
例4设且数列有正下界.证明级数.
证设.
例5.若,则.
证;
又
.
例6设.若级数和收敛,则级数收敛.
例7设.证明
⑴,,;
⑵和之一或两者均发散时,仍可能收敛;
⑶,,.
证⑴充分大时,.
⑵取.
⑶.
二.利用同阶或等价无穷小判敛:
例8判断下列级数的敛散性:
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸.
例9判断下列级数的敛散性:
⑴;
⑵.
註设正项级数的通项为的有理分式.当为的假分式时,由于,;
若为的真分式,倘用检比法,必有.
有效的方法是利用等价无穷小判别法.
例10设函数在点有连续的二阶导数,且.试证明:
⑴若,则级数发散.
⑵若,则级数收敛.
(2002年西北师大硕士研究生入学试题)
解把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式,有,介于与之间.
⑴若,则当充分大时不变号,可认为是同号级数.有
∽,发散.
⑵若注意到在点连续,在点的某邻域内有界,设
有||=.
收敛.
如例10所示,当时,常用Maclaurin公式确定的等价无穷小.
例11判断级数的敛散性,其中且.
解
三.利用级数判敛求极限:
原理:
常用判定级数收敛的方法证明或.
例12证明.
例13证明.
例14设↘.若,.
证对,由,有
即;
即.
于是,时总有.此即.
3一般项级数
一.交错级数:
交错级数,Leibniz型级数.
Th1(Leibniz)Leibniz型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有.
证(证明部分和序列的两个子列和收敛于同一极限.为此先证明递增有界.)
↗;
又,即数列有界.
由单调有界原理,数列收敛.设.
..
由证明数列有界性可见,.余和亦为型级数,余和与同号,且.
例1判别级数的敛散性.
解时,由Leibniz判别法,收敛;
时,通项,发散.
二.绝对收敛级数及其性质:
绝对收敛和条件收敛:
以Leibniz级数为例,先说明收敛绝对收敛.
Th2(绝对收敛与收敛的关系),收敛.
证(用Cauchy准则).
一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛.
例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.
2.绝对收敛级数可重排性:
⑴同号项级数:
对级数,令
则有ⅰ>
和均为正项级数,且有和;
.
⑵同号项级数的性质:
Th3ⅰ>
若,则,.
若条件收敛,则,.
证ⅰ>
由和,ⅰ>
成立.
ⅱ>
反设不真,即和中至少有一个收敛,不妨设.由=,=以及和收敛,.而,,与条件收敛矛盾.
⑶绝对收敛级数的可重排性:
更序级数的概念.
Th4设是的一个更序.若,则,且=.
证ⅰ>
若,则和是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,,,且和相等.
对于一般的,=,=.正项级数和分别是正项级数和的更序.由,据Th1,和收敛.由上述ⅰ>
所证,有,,且有=,=,=.
由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?
回答是肯定的.
Th5(Riemann)若级数条件收敛,则对任意实数(甚至是),存在级数的更序,使得=.
证以Leibniz级数为样本,对照给出该定理的证明.
关于无穷和的交换律,有如下结果:
ⅰ>
若仅交换了级数的有限项,的敛散性及和都不变.
ⅱ>
设是的一个更序.若,使在中的项数不超过,则和共敛散,且收敛时和相等.
三.级数乘积简介:
1.级数乘积:
级数乘积,Cauchy积.[1]P20—21.
2.级数乘积的Cauchy定理:
Th6(Cauchy)设,,并设=,=.则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为.(证略)
例3几何级数
是绝对收敛的.将按Cauchy乘积排列,得到
.
四.型如的级数判敛法:
1.Abel判别法:
引理1(分部求和公式,或称Abel变换)设和()为两组实数.记.则
.
证注意到,有
.
分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,
.
可见Abel变换式中的相当于上式中的,而差相当于,和式相当于积分.
引理2(Abel)设、和如引理1.若单调,又对,有,则.
证不妨设↘.
系设↘,().和如.有.
(参引理2证明)
Th7(Abel判别法)设ⅰ>
级数收敛,ⅱ>
数列单调有界.则级数收敛.
证(用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项)
设,由收敛,对时,对,有.于是当时对有
.
由Cauchy收敛准则,收敛.
2.Dirichlet判别法:
Th8(Dirichlet)设ⅰ>
级数的部分和有界,ⅱ>
数列单调趋于零.则级数收敛.
证设,则,对,有
不妨设↘0,对.此时就有
.
由Cauchy收敛准则,收敛.
取↘0,,由Dirichlet判别法,得交错级数收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.
由Dirichlet判别法可导出Abel判别法.事实上,由数列单调有界,收敛,设.考虑级数,单调趋于零,有界,级数收敛,又级数收敛,级数收敛.
例4设↘0.证明级数和对收敛.
证
,
时,,.
可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数收敛.
例1判断级数的敛散性.
解注意到,所论级数绝对收敛,故收敛.(用D-判法亦可).
例2考查级数的绝对及条件收敛性.
解时为Leibniz型级数,……,条件收敛;
时,绝对收敛.
例3若.交错级数是否必收敛?
解未必.考查交错级数
.
这是交错级数,有.但该级数发散.因为否则应有级数
收敛.而.
由该例可见,在Leibniz判别法中,条件单调是不可少的.
例4判断级数
的敛散性.
解从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到,以及级数,所论级数发散.
例5设级数收敛.证明级数收敛.
证.由Abel或Dirichlet判法,收敛.
例6,判断级数的敛散性.
解.
现证级数收敛:
因时不
又↘,由Dirichlet判法,级数收敛.
故本题所论级数发散.
例7判断级数的绝对收敛性.
解由Dirichlet判法,得级数收敛.但.
仿例6讨论,知本题所论级数条件收敛.
例8设级数绝对收敛,收敛.证明级数收敛.证先证数列收敛.事实上,收敛,收敛.
令,则数列收敛,故有界.设,于是由Abel变换,有
(或
而,收敛.又数列和收敛,数列收敛,部分和数列收敛.
例9设数列收敛,级数收敛.证明级数收敛.
证注意到,
收敛.
例10设↘,.证明级数收敛.
证法一由↘,↘,.因此,所论级数是Leibniz型级数,故收敛.
证法二,↘,.由Dirichlet判法,收敛.
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- 数学分析 教案 华东师大 第十二 级数