新教材高中数学必修第一册第4章 443不同函数增长的差异Word文档下载推荐.docx
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30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
32
1024
32768
1.05×
106
3.36×
107
1.07×
109
y3
40
50
60
y4
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
答案 y2
解析 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数函数变化.
反思感悟 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>
0)的增长特点是“直线上升”,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>
1)的增长特点是随着变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>
1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.可称为“对数增长”.
跟踪训练1 有一组数据如下表:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.01
1.39
2.05
2.12
2.41
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.v=log2tB.
C.v=2t-1D.v=2t-2
答案 A
解析 从表格中看到此函数为单调增函数,排除B,增长速度越来越慢,排除C和D,故选A.
二、函数模型的选择问题
例2 某人对东北一种松树生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合?
并预测第8年的松树高度.
t(年)
3
4
6
h(米)
0.6
1.3
1.5
1.6
1.7
解 据表中数据作出散点图如图.
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来刻画h与t的关系.
当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年松树的高度为2米.
反思感悟 不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律.
跟踪训练2
(1)某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是( )
A.y=0.2xB.y=
(x2+2x)
C.y=
D.y=0.2+log16x
答案 C
解析 对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于B,x=1时,y=0.3;
x=2时,y=0.8;
x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,符合题意;
对于D,x=1时,y=0.2;
x=2时,y=0.45;
x=3时,y≈0.6<
0.7,相差较大,不符合题意.
(2)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:
该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
下列几个模拟函数中:
①y=ax2+bx;
②y=kx+b;
③y=logax+b;
④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:
千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:
L).
用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?
说明理由.
解 用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多,然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数,所以②③④都不合适,故用①来模拟比较合适.
三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较
例3 函数f(x)=2x(x>
0)和g(x)=x2(x>
0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<
x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)求点A,B的坐标;
(3)结合函数图象,判断f(3),g(3),f(2019),g(2019)的大小.
解
(1)C1对应的函数为g(x)=x2,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f
(2)=4,g
(2)=4,f(4)=16,g(4)=16,
所以A(2,4),B(4,16).
(3)由图象和
(2)可知,
当0<
x<
2时,f(x)>
g(x),
当2<
4时,f(x)<
当x>
4时,f(x)>
所以f(2019)>
g(2019),f(3)<
g(3),
又因为g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以g(2019)>
故f(2019)>
g(2019)>
g(3)>
f(3).
反思感悟 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;
图象趋于平缓的函数是对数函数.
1.下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是( )
A.y=50B.y=1000x
C.y=50x2D.y=
ex
答案 D
解析 指数函数y=ax,在a>
1时呈爆炸式增长,而且a越大,增长速度越快,故选D.
2.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
7
9
11
45
65
85
105
29
245
2189
19685
177149
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数,指数型函数,直线型函数变化的变量依次为( )
A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2
解析 通过指数型函数,对数型函数,直线型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;
指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;
直线型函数的增长速度稳定不变,y1随x的变化符合此规律,故选C.
3.甲从A地到B地,途中前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2(v1<
v2),则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是( )
答案 B
4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是________.(填序号)
①y=10×
1.05x;
②y=20+x1.5;
③y=30+lg(x-1);
④y=50.
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 ①
5.随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)
(附:
1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59)
答案 4500
解析 根据题意,逐年归纳,总结规律建立关于年份的指数型函数模型,设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,依题意有y=3000×
1.06x,因为2014年年底到2021年年底经过了7年,故把x=7代入,即可求得y=3000×
1.067≈4500.
1.知识清单:
三种函数模型:
线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.
2.方法归纳:
把实际问题转化为数学问题.
3.常见误区:
实际问题应有定义域并作答.
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
A.y=6xB.y=log6x
C.y=x6D.y=6x
考点 三种函数模型增长的差异
题点 三种函数模型增长速度的差异
解析 D增长速度不变,A,C增长速度越来越快,只有B符合题意.
2.下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数:
y=2tB.对数函数:
y=log2t
C.幂函数:
y=t3D.二次函数:
y=2t2
题点 指数函数模型的应用
解析 由题干中的图象可知,该函数模型应为指数函数模型.
3.如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入-支出费用).由于目前本条路线在亏损,公司有关人员提出了两条建议:
建议
(1)是不改变车票价格,减少支出费用;
建议
(2)是不改变支出费用,提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态,实线表示调整后的状态.下列说法中正确的是( )
A.①反映了建议
(2),③反映了建议
(1)
B.①反映了建议
(1),③反映了建议
(2)
C.②反映了建议
(1),④反映了建议
(2)
D.④反映了建议
(1),②反映了建议
(2)
解析 建议
(1)是不改变车票价格,减少支出费用,也就是增大y,车票价格不变,即平行于原图象.故①反映了建议
(1);
建议
(2)是不改变支出费用,提高车票价格,即图形增大倾斜度,提高价格,故③反映了建议
(2).故答案为B.
4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),
∴y=f(x)的图象大致为D中图象.
5.能使不等式log2x<
x2<
2x一定成立的x的取值区间是( )
A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(4,+∞)
6.某汽车油箱中存油22千克,油从管道中匀速流出,200分钟流尽,油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________________.
答案 y=22-
x(0≤x≤200)
解析 流速为
=
,x分钟可流
x,
则y=22-
x(0≤x≤200).
7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·
0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份生产该产品的产量为___万件.
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数型函数模型的应用
答案 1.75
解析 由题意有
解得
∴y=-2×
0.5x+2,
∴3月份产量为y=-2×
0.53+2=1.75(万件).
8.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
8
…
16
64
128
256
36
49
1.585
2.322
2.585
2.807
其中,关于x呈指数函数变化的函数是________.
答案 y1
解析 从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是随x的增大越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化.
9.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
解
(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当0<
x1时,g(x)>
f(x);
当x1<
x2时,f(x)>
g(x);
x2时,g(x)>
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
10.某企业常年生产一种出口产品,由于技术革新后,该产品的产量平稳增长.记2012年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=
+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数);
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,从2016年起,年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2019年的年产量.
解
(1)符合条件的是f(x)=ax+b,
若模型为f(x)=2x+a,
则由f
(1)=21+a=4,得a=2,
即f(x)=2x+2,
此时f
(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.
若模型为f(x)=
+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得
所以f(x)=1.5x+2.5,x∈N*.
(2)2019年预计年产量为f(8)=1.5×
8+2.5=14.5,
2019年实际年产量为14.5×
(1-30%)=10.15(万件).
11.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是( )
解析 v=f(h)是增函数,且曲线的斜率应该是先变大后变小,故选B.
12.四人赛跑,假设他们跑过的路程:
fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>
1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去(不考虑其他因素),最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x
解析 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,故选D.
13.近几年由于北京房价的上涨,引起二手房市场交易火爆,房子几乎没有变化,但价格却上涨了,小张在2013年以180万的价格购得一套新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2023年,这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_______.
答案 y=180(1+x)10
解析 1年后的价格为180+180·
x=180(1+x)(万元),2年后的价格为180(1+x)+180(1+x)·
x=180(1+x)(1+x)=180(1+x)2(万元),
由此可推得10年后的价格为180(1+x)10万元.
14.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等,则n=________;
若再过m秒甲桶中的水量只有
升,则m=________.
答案 -
ln2 5
解析 ∵5秒后两桶的水量相等,
则ae5n=
⇒e5n=
⇒n=
ln
=-
ln2,
若k秒后甲桶水量为
,
则aenk=
,enk=
⇒nk=ln
⇒-
ln2·
k=-2ln2,
∴k=10,∴m=10-5=5.
15.以下四种说法中,正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>
0,xn>
C.对任意的x>
0,ax>
D.不一定存在x0,当x>
x0时,总有ax>
xn>
解析 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;
对于B,C,当0<
a<
1时,显然不成立.a>
1,n>
1时,一定存在x0,使得当x>
logax,但若去掉限制条件“a>
1”,则结论不成立.
16.某公司对营销人员有如下规定:
①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;
②年销售额x(万元)在[8,64]内时,奖金为y万元,且y=logax,y∈[3,6],a>
0且a≠1,且年销售额越大,奖金越多;
③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10%发奖金.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x所在的范围.
解
(1)由题意知y=logax是增函数,
∴a>
1,
又当x∈[8,64],y∈[3,6],
∴
∴a=2,
∴y=
(2)由题意得
解得16≤x≤100,
∴年奖金y∈[4,10](万元)时,年销售额x的取值范围为[16,100].
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