立体几何期末复习含详细答案.docx
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立体几何期末复习含详细答案
立体几何单元复习卷
(一)
1•用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()
A.圆柱B.圆锥
C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体
2.给出下列命题:
1棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
2若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
3在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
4存在每个面都是直角三角形的四面体.
其中正确命题的序号是.
3.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图厶A'B'C'的面积为
4.已知圆锥的表面积等于12ncm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为
cm.
5.(2018苏州零模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫
卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°隼卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现
将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为。
(容器壁的厚度
忽略不计,结果保留n)
6.—个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,
则这个圆台的母线长为cm.
7.已知正四棱锥V-ABCD中,底面面积为16,一条侧棱的长为2,11,则该棱锥的高
为.
8•如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,—只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4寸3m,则圆锥底面圆的半径等于m.
14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个
球的体积为
则圆台较小底面的半径为
17.—个六棱锥的体积为2'3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.
18.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的
面积分别为^2^2,,则该三棱锥外接球的表面积为()
A.2nB.6n
C.4.'6nD.24n
19.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,/ACB=90°,AP=BP=AB,PC丄AC.
(1)求证:
PC丄AB;
⑵求点C到平面APB的距离.
20.如图所示,在正方体ABCD-AiBiCiDi中,
(1)求AC与AiD所成角的大小;
⑵若E,F分别为AB,AD的中点,求AiCi与EF所成角的大小.
6
立体几何单元复习卷
(二)
到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()
如图,平面al平面B,△PAB所在的平面与a,B分别交于CD,AB,若PC=2,
23.
在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,GPAC的重心,过点G作三棱锥的一
个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.
24.已知m.
n是两条不同的直线,
a,B,丫是三个不同的平面,下列命题中正确的是
B.若mla,m//B,则
()
A.若mla,
C.若a丄y
D.若m丄a,n丄a,贝Umln
25.已知m,
n是两条不同的直线,
a,
B为两个不同的平面,则下列四个命题中正确
A.若m丄a,
的是()
B.若mla,nlB,m±n,贝UalB
C.若m丄a,
nlB,
26.如图,在直三棱柱
m±n,贝U
ABC-A'
all
中,
D.若m±a,nlB,al
△ABC是边长为2的等边
三角形,AA'=4,
分别是边AA',AB,BB',A'B',
BC的中点,动点
P在四边形EFGH内部运动,并且始终有
ACC'A',则动点
P的轨迹长度为
()
C.2.:
3
D.4
27.设m,n是两条不同的直线,
a,B是两个不同的平面,下列命题中正确的是
MP//平面
A.若m?
B,a丄B,贝Um丄a
B.若m丄a,mln,nlB,贝Ua丄
C.若mln,m?
a,n?
B,则
a丄BD.若alB,m?
a,n?
B,贝Umln
28.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
平面a与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,
G,H,且直线AA1l平面a有下列三个命题:
①四边形EFGH是平行四边形;②平面
平面BCC1B1;③平面a丄平面BCFE.其中正确命题的序号是.
29.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,/ACB
F,
c
J/TPjri
1
A
=90°,D是AiBi的中点,F是BBi上的动点,ABi,DF交于点E.要使AB1丄平面CiDF,则线段BiF的长为()
A.2
B.
C'3
D.
30.如图,在Rt△ABC中,/
厶ABC=90°,
1
1
2
PABC所在平面外
一点,PA丄平面ABC,则四面体P-ABC中直角三角形的个数为(
31.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,
B,C,D三点
重合,重合后的点记为H,
A.AG丄平面EFH
C.HF丄平面AEF
H
j4
AH丄平面EFH
B.
那么,在这个空间图形中必有()
HG丄平面AEF
32.如图,PA丄OO所在平面,AB是OO的直径,C是OO上一点,
AE丄PC,AF丄PB,给出下列结论:
①AE丄BC:
②EF丄PB:
③AF丄
BC;④AE丄平面PBC,其中真命题的序号是
33.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:
(1)BE//平面DMF;
⑵平面BDE//平面MNG.
34.
(2017江苏高考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB丄AD,BC丄BD,平面ABD丄平面
(1)求证:
SD丄平面ABC;
⑵若AB=BC,求证:
BD丄平面SAC.
36.如图,在三棱锥P-ABC中,PA丄AB,PA丄BC,AB丄BC,PA=AB=BC=2,D为
线段AC的中点,E为线段PC上一点.
⑴求证:
PA丄BD;
(2)求证:
平面BDE丄平面PAC;
(3)当PA//平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
37.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=
AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将厶ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A-BCF,其中BC=平.
2
⑶当AD=3时,求三棱锥F-DEG的体积.
立体几何单元复习卷
(一)
1•用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()
A.圆柱B.圆锥
C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体
解析:
选C截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.
2.给出下列命题:
1棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
2若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
3在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
4存在每个面都是直角三角形的四面体.
其中正确命题的序号是.
解析:
①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧
棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体
ABCD-AiBiCiDi中的三棱锥Ci-ABC,四个面都是直角三角形.
答案:
②③④
3.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图厶A'B'C'的面积为
2
L
y一
A0
8J
囲①
图②
答案:
严
4
cm.
解析:
S表一nr2+nrl—nr2+nr•2r—3nr2—12n,--r2—4,--r—2cm.
6.(20i8苏州零模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫
卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的
正四棱柱体分成三组,经90°隼卯起来•若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现
将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为。
(容器壁的厚度
忽略不计,结果保留n)
解析:
球形容器的直径为两根等长的正四棱柱体组合体的体对角线,即为
(1+1)2+12+52=30,所以球形容器的半径R=-y,由球的表面积公式可知:
S表
=4nR2=4n°—30=30n.
2
8•如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上
的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4^m,则
4
答案:
4
3
9.正三棱柱ABC-AiBiCi的底面边长为2,侧棱长为'3,D为BC的中点,则三棱锥
A-BiDCi的体积为.
解析:
如图,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,
TAD丄BC,AD丄BBi,BBiABC=B,二AD丄平面BiDCi.
iii
•••VA-BiDCi=BiDCiAD=3X2X2X;3X:
'3=i.
答案:
i
iO.已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB
丄AC,AAi=i2,则球O的半径为()
A•专7B.2iOC•学D.3i0
点M•又AM=|bc=;,32+42=5,OM=*AAi=6,所以球O的半径R=
ii.
(20i7江•苏高考)如图,在圆柱OiO2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱OiO2的体积为Vi,球O的体积为V2,则浮的值
V2
是.
解析:
设球O的半径为R,因为球O与圆柱OiO2的上、下底面及母线均相切,所以圆
VinR22R
R、咼为2R,所以;y=
V24Q
3nR
3
答案:
3
12.已知正三棱锥的高为内切球的半径为()
1,底面边长为2;3,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的
5
A.2
B..''3—1
C.*
D..'2-1
解析:
选D如图,过点P作PD丄平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点E,连接PE,
•/△ABC是正三角形,•AE是BC边上的高和中线,DABC
1
的中心.•/AB=2.3「・SaABC=33DE=1PE=2「・S表=3X㊁X2.:
3X;2+33=3:
6
1
+3.;3.1PD=1,・••三棱锥的体积V=-X3・;3X1=/3.
3
设球的半径为r,以球心O为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱
13.(2017全国卷I)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的
直径.若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O
的表面积为.
解析:
如图,连接AO,OB,
•/SC为球O的直径,.••点O为SC的中点,
•/SA=AC,SB=AO丄SC,BO丄SC,
•••平面SCA丄平面SCB,平面SCA门平面SCB=sc,AAO丄平面
1
SCB,设球O的半径为R,贝yOA=OB=R,SC=2R.aVs-abc=Va-sbc=§XSasbcXAO
1111
=—X2XScxobXAO,即卩9=3X2X2RXRXR,解得R=3,a球O的表面积为S=
4tiR2=4nX32=36n.
答案:
36n
14.(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
解析:
由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为'3.设该正方体外接球的半径为R,
则2R=3,R=弓,所以这个球的体积为£冗R3=4tX27=守
23382
答案:
2
15.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆
锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方
尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()
B.22斛
D.66斛
A.14斛
C.36斛
解析:
选B设米堆的底面半径为r尺,则扌=8,所以r=竺,所以米堆的体积为V
2n
1116320320
=4X3以5=—X5~立方尺)•故堆放的米约有可勻侃~22(斛).
16.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84n,
则圆台较小底面的半径为.
解析:
设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=n(+3r)3=84n,解得r=7.
答案:
7
17.—个六棱锥的体积为2'3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该
六棱锥的侧面积为.
解析:
由题意可知该六棱锥为正六棱锥,正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h'.
由题意,得1x6x-4x2xh=2;3,二h=1,•••斜高h'=,12+一32=2,
1
•-S侧=6x,x2x2=12.
答案:
12
18.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的
面积分别为于,于,冷6,则该三棱锥外接球的表面积为()
A.2nB.6n
C.4.'6nD.24n
解析:
选B设相互垂直的三条侧棱AB,AC,AD分别为a,b,c,则珈=今,*bc=于,1ac=26,解得a=.'2,b=1,c=「3所以三棱锥A-BCD的外接球的直径2R=;'a2+b2+c2=.'6,则其外接球的表面积S=4nR2=6n.
19.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,/ACB=90°,AP=BP=AB,PC丄
AC.
⑵解析:
设C到平面APB的距离为h,则由题意,得AP=PB=AB='AC2+BC2=2;2,所以
PC=.'AP2-AC2=2.因为CD=1AB='2,PD=^PB=.6所以PC2+CD2=PD2,
1
所以PC丄CD.由
(1)得AB丄平面PCD,于是由VC—APB=VA—PDC+VB—PDC,得-hS
3
20.如图所示,在正方体ABCD-AiBiCiDi中,
(1)求AC与AiD所成角的大小;
⑵若E,F分别为AB,AD的中点,求AiCi与EF所成角的大小.
解:
(1)如图所示,连接BiC,ABi,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,易知AiD//BiC,从而BiC与AC所成的角就是AC与AiD所成的角.
ABi=AC=BiC,
•••/BiCA=60°.
即AiD与AC所成的角为60°.
(2)连接BD,在正方体ABCD-AiBiCiDi中,
AC丄BD,AC//A1C1,
•••E,F分别为AB,AD的中点,
•EF//BD,•EF丄AC.「.EF丄AiCi.
即AiCi与EF所成的角为90°.
立体几何单元复习卷
(二)
21.至悴间不共面的四点距离相等的平面的个数为()
A.1B.4
C.7D.8
解析:
选C当空间四点不共面时,则四点构成一个三棱锥•①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,如图1•令截面与四棱锥的四个面之一平行,第四个顶点到这个截面的距
离与其相对的面到此截面的距离相等,这样的平面有4个;
②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,如图2,当平面过AB,BD,CD,AC的中点
时,满足条件.因为三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面有3个.所以满足条
件的平面共有7个,故选C.
22.如图,平面a//平面3,△PAB所在的平面与aB分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,贝UAB=
解析:
:
•平面a//平面3二CD//AB,则PC=CAB,•••AB=PApCCD=号=|
5
答案:
5
23.在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,GPAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.
解析:
过点G作EF//AC,分别交PA,PC于点E,F,过点E作EN//PB交AB于点N,过点F作FM//PB交BC于点M,连接MN,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN
2X4=8.
为所求截面),且EF=MN=2AC=2,FM=EN=3PB=2,所以截面的周长为
答案:
8
F列命题中正确的是()
A.若m//a,n//a,贝Um//n
B.若m//a,m//3贝Ua//3
C.若a丄y3丄Y贝Va/3
D.若m丄a,n丄a,贝Um/n
B中,两平面可能平行或相交;C
解析:
选DA中,两直线可能平行、相交或异面;
中,两平面可能平行或相交;D中,由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选D.
25.(2018陕西西安中学月考)已知m,n是两条不同的直线,a,3为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()
A.若m丄a,n丄3m±n,贝Ua丄3
B.若mIIan//B,m丄n,贝Uall3
C.若m丄a,n/3m±n,贝Uall3
D.若m丄a,nI3a//3,贝Um//n
解析:
选A借助于长方体模型解决.过直线m,n作平面y可以得到平面a3所
成的二面角为直二面角,如图
(1),故a丄3,A正确;B的反例如图
(2);C的反例如图(3);
D中由m丄a,a//3可得m丄3,过n作平面丫可得n与丫与3的交线g平行,则m丄g,故
m±n,D错误,故选A.
26.
(2018郑州质检)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'=4,E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP//平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为()
A.2B.2n
C.2..'3
解析:
选D
连接MF,FH,MH,因为M,F,
H分别为BC,AB,A'B'的中点,
所以MFIAC,FH//AA',所以MFI平面AA'C'C,FHI平面
MFAFH=F,所以平面MFHI平面AA'C'C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA'C'C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.
27.
a,3是两个不同的平面,下列命题
(2018•州一模)设m,n是两条不同的直线,中正确的是()
A.若m?
3,a丄3则m丄a
B.若m丄a,mIn,nI3,贝Ua丄3
C.若mln,m?
a,n?
3,贝Ua丄3
D.若aI3m?
a,n?
3,贝UmIn解析:
选B
28.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面a与棱AB,
AC,A1C1,A1B1分别交于点
E,F,
EFGH是平行四边形;②平面aI
G,H,且直线AA1I平面a有下列三个命题:
①四边形
平面BCC1B1;③平面a丄平面BCFE.其中正确命题的序号是.
解析:
如图所示,因为AA1I平面a,平面aA平面AA1B1B=EH,所以AA1IEH.同理AA1IGF,所以EHIGF,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面aI平面BB1C1C,由平面aA平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1A平面A1B1C1=B1C1,知GHIB1C1,而GHIB1C1不一定成立,故②错误;由AA1丄平面BCFE,结合AA1IEH知EH丄平面BCFE,又EH?
平面
所以平面a丄平面BCFE,故③正确.
答案:
①③
29•如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,/
ACB=90°,D是AiBi的中点,F是BBi上的动点,使ABi丄平面CiDF,则线段BiF的长为()
1
A.2B.i
已知可得AiBi=;2,
5i
设Rt△AAiBi斜边ABi上的高为h,则DE=0h.
又2甘2+羽2,所以h=呼,DE二斗3.
在Rt△DBiE中,BiE=-22--32=~66.
由面积相等得-6-Xyjx2+乎2=¥x,解得x=
Rt△ABC中,/ABC=90°,PABC所在平面外
ABC,则四面体P-ABC中直角三角形的个数为(
B.3
D.1
由PA丄平面ABC可得△PAC,^PAB是
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