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自动控制原理课程设计倒立摆系统控制器设计
倒立摆系统的控制器设计
一、引言
支点在下,重心在上,恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。
倒立摆控制系
统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论教学及开展各
种控制实验的理想实验平台。
1.1问题的提出
倒立摆系统按摆杆数量的不同,可分为一级,二级,三级倒立摆等,
多级摆的摆杆之间属于自有连接(即无电动机或其他驱动设备)。
对倒立摆
系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题:
如非线性问题、鲁棒性
问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制,用来
检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,并且使之没
有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后,系统能克服
随机扰动而保持稳定的位置。
1.2倒立摆的控制方法
倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号,与期望
值进行比较后,通过控制算法得到控制量,再经数模转换驱动直流电机实
现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动,
摆杆的一端安装在小车上,能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由
地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车,使杆绕小车上的轴在竖
直平面内旋转,小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时,摆杆处于垂直
的稳定的平衡位置(竖直向下)。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定,
需要给小车一个控制力,使其在轨道上被往前或朝后拉动。
本次设计中我们采用其中的牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的
数学模型,然后通过开环响应分析对该模型进行分析,并利用学习的古典控制理
论和Matlab/Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计,主要采用根轨迹法,
频域法以及PID(比例-积分-微分)控制器进行模拟控制矫正。
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倒立摆系统的控制器设计
2直线倒立摆数学模型的建立
直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成,是最常见的倒立摆之
一,直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件,直线运动模块有一个自由度,
小车可以沿导轨水平运动,在小车上装载不同的摆体组件。
系统建模可以分为两种:
机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对
象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测
其可观测的输出,应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。
这里面包括输入
信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容。
鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统,实验建模存在一定的困难。
因此,本文
通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型,可根据微分方程求解传递函
数。
1.3微分方程的推导(牛顿力学方法)
微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系
统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示。
做以下假设:
M小车质量m摆杆质量
b小车摩擦系数I摆杆惯量
F加在小车上的力x小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
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倒立摆系统的控制器设计
图2-1直线一级倒立摆模型
系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。
其中,N和P为小车与摆杆相互作用
力的水平和垂直方向的分量。
注意:
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负
方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图2所示,图示方向为矢量正方向。
图2-2小车及摆杆受力分析
分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程:
MxFbxN
(2-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
2
d
Nm(xlsin)
2
dt
(2-2)
即:
2
N(2-3)
mxmlcosmlsin
把这个等式代入式
(1)中,就得到小车运动方程(第一个运动方程):
2
(Mm)xbxmlcosmlsinF(2-4)
为了推出摆杆的运动方程(第二个运动方程),对摆杆垂直方向上的合力进行分
析,
可以得到下面方程:
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倒立摆系统的控制器设计
2
d
Pmgm(lcos)(2-5)
2
dt
2
P(2-6)
mgmlsinmlcos
力矩平衡方程如下:
PlsinNlcosI(2-7)
注意:
方程中力矩的方向,由于,coscos,sinsin
(6)和(3)代入(7),约去P和N,得到摆杆运动方程(第二个运动方程):
2(2-8)(Iml)mglsinmlxcos
设(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角),假设与1(单位是弧度)
相比很小,即1,则可以进行线性化近似处理:
cos1,sin,(
d
dt
2
)
0
用u来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下:
2
(Iml)mglmlx
(Mm)xbxmlu
进行拉氏变换,得:
2
2
(Iml)(s)
(s)s
s
2
(Mm)X
mgl
bX
(
(s)s
s)
ml
2
mlX
(s)s
2
(
s)s
U
(s)
(2-9)
由于输出为角度,求解方程组的第一个方程,可以得到:
X
2
(Iml)g
(s)(s)
2
mls
,即:
X
(s)
(s)
(I
2
mls
2
ml)
2
s
mgl
(2-10)
(10)式称为摆杆角度与小车位移的传递函数
如令vx,则有:
V
(
(
s)
s)
(Iml
ml
2)2s
s
mgl
(2-11)
(11)式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数,由于伺服电机的速度控制易
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倒立摆系统的控制器设计
于实现在实验中常采用此式。
把(10)式代入(9)式的第二个方程中,得到:
22
(Iml)g(Imlg
22
(Mm)(s)sb(s)sml(s)sU(s)
2
mlsmls
(
U(
s)
s)
3
s
b(I
ml
q
2
)
2
s
ml
s
q
(M
m)mgl
q
s
bmgl
q
(2-12)
其中,
q
(Mm)(Imlml2)()
2)()
2
(12)式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数
1.4实际系统的模型参数
M:
小车质量1.096kg
m:
摆杆质量0.109kg
b:
小车摩擦系数0.1N/sec
l:
摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
2
I:
摆杆惯量0.0034kgm
1.5实际数学模型
把上述参数代入,可以得到系统的实际模型。
1)摆杆角度和小车位移的传递函数:
2
(s)0.02725s
2
Xss(2-13)
()0.01021250.26705
2)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
(s)0.02725
2
V(s)0.0102125s0.26705(2-14)
3)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
(s)2.35655s
32
Ussss(2-15)
()0.088316727.91692.30942
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倒立摆系统的控制器设计
4)小车位置和加速度的传递函数
X(s)1
2
V(s)s(2-16)
3开环系统的时域分析
1.6摆杆角度为输出响应的时域分析
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入,摆杆角度为输出响应,此时的传
递函数为
(s)ml0.02725
V(s)(Iml
)0.01021252s2mgls2
2s2mgls2
0.26705
(3-1)
图3.1摆杆角度的单位脉冲响应曲线图
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倒立摆系统的控制器设计
图3.2摆杆角度的单位阶跃响应曲线图
1.7小车位置为输出响应的时域分析
采用以小车的加速度作为系统的输入,小车位置为响应,则此时的传递函数
为
X(s)1
2
V(s)s(3-2)
图3.3小车位置的单位脉冲响应曲线图
图3.4小车位置的单位阶跃响应曲线图
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倒立摆系统的控制器设计
由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的,所以系统不稳定,需
要校正。
4根轨迹法设计
1.8原系统的根轨迹分析
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入,摆杆角度为输出响应,此前已经得
出的传递函数为
(s)ml0.02725
V(s)(Iml
)0.01021252s2mgls2
2s2mgls2
0.26706
(4-1)
运行结果:
闭环零点z=Emptymatrix:
0-by-1
闭环极点p=5.1136-5.1136
图4.1原系统根轨迹曲线图
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倒立摆系统的控制器设计
可以看出,系统无零点,有两个极点,并且有一个极点为正。
画出系统闭环
传递函数的根轨迹如图2-6,可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面,
并且有一条根轨迹起始于该极点,并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处,这意
味着无论增益如何变化,这条根轨迹总是位于右半平面,即系统总是不稳定的。
1.9串联超前校正装置设计
对此系统设计控制器,使得校正后系统的要求如下:
调整时间:
t0.5s(2%);
s
最大超调量:
%10%
p
0.26707确定闭环期望极点的位置
由最大超调量
pe
2
(/1)10%
(4.2)
4.2闭环主导极点所在的极坐标图
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倒立摆系统的控制器设计
在此我们对超调量留有一定余量,令%5%
p
可以得到:
0.687710
由cos可以得到:
0.1(弧度)
其中为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角。
又由:
4
t0.5s
s
n
对调节时间留有一定余量,令
4
t0.5s(±2%的误差带)
s
n
取其为0.2s,可以得到:
29.067500
n,于是可以得到期望的闭环主导极
点为:
nj
(cossin)
代入数据后,可得期望的闭环主导极点为:
S1,219.990010j21.102584
0.26708超前校正传递函数设计
未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上,不通过闭环期望极点,因此需要对系统进
行超前校正,设控制器为:
Ts1sz
c
K(s)
(1)
Ts1sp
c
(4-3)
0.26709校正参数计算
计算超前校正装置应提供的相角,已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的
相角和为:
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2
G(sd)SPi4.624226
1
i1
(4-4)
因此校正装置提供的相角为:
3.14(4.624226)1.482633
(4-5)
又已知0.812466
对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到:
1
=()0.423246
2
(4-6)
j
S
γ
O
Z
Zp
c
图4.3直线一级倒立摆根轨迹计算图
由于角度都已求出,线段SO的长度即为自然频率的大小,故可用正弦定理计算,
求出超前校正装置的零点和极点(正弦定理)
分别为:
zp=-66.835473
z=-12.641783
c
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倒立摆系统的控制器设计
1.10超前校正控制器
校正后系统的开环传递函数为:
G(s)
0.26710K(s12.641783)
2
4.30.2670566.835473
ss(4-7)
由幅值条件G(sd)H(sd)1,并设反馈为单位反馈,所以有K=729.65
对相应参数保留五位有效值,于是我们得到了系统的控制器:
G(s)
c
729.65(s12.642)
s66.835
(4.8)
1.11matlab环境下串联超前校正后的根轨迹图
在MATLAB中编写如下的m文件,对系统进行仿真,运行即可以得到以上的计算
结果,校正后系统的跟轨迹如下图所示:
图4.4串联超前校正后系统的根轨迹图
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倒立摆系统的控制器设计
从图4.4中可以看出,系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分,选取适
当的K就可以稳定系统。
1.12simulink环境下对串联超前校正的仿真
图4.5串联超前校正simulink流程图
图4.6串联超前校正后的阶跃响应曲线
0.26711串联滞后-超前校正装置设计
4.4控制器的设计
可以看出,系统在0.5s的时间内可以稳定,响应比较迅速,超调比较小。
为使
系统满足相应的要求,减少稳态误差,在超前校正的基础上可以引入滞后校正装
置。
滞后校正的传递函数采用
Gc(s)
2
s2
s(4-9)
729.66
则此时总的超前-滞后校正传递函数为
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倒立摆系统的控制器设计
Gc(s)Gc(s)
2
s2729.65(s12.642)
s0.1s66.835(4-10)
1.13simulink环境下对串联超前校正的仿真
图4.7串联滞后-超前校正simulink流程图
图4.8串联超前校正后的阶跃响应曲线
由上图可以看出,加入滞后环节中超调量增加不是很大,但是稳态误差已经明显
减少了,所以说串联滞后-超前装置对于改善系统性能来说作用比较理想
5频域法设计
0.26712系统频域响应分析
系统对正弦输入信号的响应,称为频率响应。
在频率响应方法中,在一定范
围内改变输入信号的频率,研究其产生的响应。
频率响应可以采用以下两种方法
进行分析:
一种为伯德图,采用两幅分离图,一幅表示幅频特性,一幅表示相频
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倒立摆系统的控制器设计
特性;另一种是奈奎斯特图,表示的是当从0变化到无穷大时,向量G(j)的
矢端轨迹。
奈奎斯稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息,研
究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。
根据式(2-17)我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型,实际系统的开
环传递函数为:
s
0.2725
2
Vs0.0102125s0.26705
其中输入为小车的加速度V(S),输出为摆杆的角速度(S)。
利用Matlab绘制系统的
Bode图(图5.1)和Nyquist图(图5.2)如下。
图5.1直线一级倒立摆系统的Bode图
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倒立摆系统的控制器设计
图5.2直线一级倒立摆系统的Nyquist图
由4.1节中的计算可知:
系统不存在零点,但存在两个极点,其中一个极点位
于S平面的右半部分。
根据奈奎斯特稳定判据,闭环系统稳定的充分必要条件是:
当由变化时,GjωHjω曲线逆时针包围GH平面上-1,j0点的
次数R等于开环传递函数右极点个数P。
对于直线一级倒立摆,由图5-1和图5-2
我们可以看出,开环传递函数在S右半平面有一个极点。
因此,GjωHjω曲
线逆时针包围-1,j0点的次数R=1。
而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围
-1,j0点一圈即R1。
因此系统不稳定,需要设计控制器来稳定系统。
1.14频域法控制器设计
直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题:
考虑一个单位负反馈系统,其开环传递函数为:
s0.02725
2
Vs0.0102125s0.26705
设计控制器Gcs,使得系统的静态位置误差常数为10,相位裕量为50,增益
裕量等于或大于10dB。
0.26713控制器的选择
根据图5-1和图5-2可以初步观察出,给系统增加一个超前校正就可以满足
设计要求,设超前校正装置为:
1
s
Ts1T
GsKK
ccc
1
Ts1s
T
(5-1)
则已校正系统具有开环传递函数GcsGs,设
4.5K
GsKGs
12
729.67s-0.26705
(5-2)
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倒立摆系统的控制器设计
其中KKc。
1.15系统开环增益的计算
根据稳态误差要求计算增益K
1
s
0.02725
T
KlimGsGslimK10
pcc2
10.010215-0.26705
s
s0s0
s
T
(53)
可以得到:
KK98(5-4)
c
于是有:
0.2671498
G(s)
12
4.6s0.26705
(5-5)
1.16校正装置的频率分析
利用MATLAB画出G1s的Bode图和Nyquist图,如图5.3、图5.4所示。
图5.3校正装置的Bode图
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倒立摆系统的控制器设计
图5.4校正装置的Nyquist图
可以看出,系统的相位裕量为0。
根据设计要求,系统的相位裕量为50,
因此需要增加的相位裕量为50,增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线,
这时增益交界频率会向右移动,必须对增益交界频率增加所造成的Gjω的相位
滞后增量进行补偿。
因此,假设需要的最大相位超前量为55o。
由
(5-6)
计算可以得到α值:
1.17控制器转折频域和截止频域的求解
确定了衰减系统,就可以确定超前校正装置的转角频率
1
T
和
1
T
,可
以看出,最大相位超前角m发生在两个转角频率的几何中心上,即1/T,
在1/T点上,由于包含(Ts+1)/(Ts+1)项,所以幅值的变化为:
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倒立摆系统的控制器设计
1
1+j
1+jωTα1
==
1+jωT1+jαα
1
ω=
(Tα)
(5-7)
1
20lgG(j)20lg10.5700分贝,并且20lgG1j10.5700分
又因为1
贝对应于rad/s因此我们选择此频率作为新的截止频率
c,这一频
率相应于c1(T),即c1(T)于是求得
=89.8944
(5-8)
1.18校正装置的确定
由式(5-8)可以确定校正装置为:
(5-9)
利用Matlab绘制校正后系统的Bode图和Nyquist图,如下图所示。
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倒立摆系统的控制器设计
图5.5校正后系统的Bode图
图5.6校正后系统的Nyquist图
从图5-5中可以看出,系统具有要求的相角裕量和幅值裕量;从图5-6中可
以看出,曲线绕1,j0点逆时针一圈R=1,与校正后系统开环传递函数右极点
个数P=1相等,即R=P。
因此,校正后的系统稳定,校正后系统的单位阶跃响应
如图5.7,单位脉冲响应如图5.8。
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倒立摆系统的控制器设计
图5.7校正后系统的单位阶跃响应
图5.8校正后系统的单位脉冲响应
从图5-7和图5-8可以看出,系统在遇到干扰后,在1秒内可以达到新的平
衡,但是超调量比较大。
换而言之,系统存在一定的稳态误差,为使系统获得快速响应特性,又可以
得到良好的静态精度,可以采用滞后-超前校正(通过应用滞后-超前校正,低
频增益增大,稳态精度提高,又可以增加系统的带宽和稳定性裕量)。
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倒立摆系统的控制器设计
1.19控制器改进
从上图可知,超前校正后系统仍然存在一定的稳态误差,可以考虑采用滞后
-超前校正,设滞后-超前控制器为:
G(s)K
cc
11
(s)(s)
TT
12
1
(s)(s)
TT
1
(5-10)
根据滞后-超前控制器思想,利用MATLAB编程(源程序见附录二)求得结
果如下:
最优校正方案的串联滞后-超前校正环节的极点为:
z=2;最优校正方案
的串联滞后-超前校正环节的零点为:
p=0.1988。
最优校正方案的滞后-超前校正后的开环传递函数为:
(5-11)
由于-2零点和-0.1988极点比较接近,所以该零点对相角裕度影响等不是很大,
滞后-超前校正后的系统Bode图和Nyquist图分别如图5.9、图5.10所示:
图5.9最优校正后系统的Bode图
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倒立摆系统的控制器设计
图5.10最优校正后系统的Nyquist图
滞后-超前单位脉冲响应曲线和单位阶跃响应曲线如图5.11、图5.12所示:
图5.11最优校正后系统的单位阶跃响应
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倒立摆系统的控制器设计
图5.12最优校正后系统的单位脉冲响应
可见,系统性能有了一定提高,基本满足设计要求。
6PID控制设计
1.20PID简
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