人教版七年级相交线与平行线知识点及典型例题.docx
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人教版七年级相交线与平行线知识点及典型例题
相交线与平行线知识点整顿及测试题
一、相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成四个角中存在几种不同关系角,它们概念及性质如下表:
(一)
(二)图形
(三)顶点
(四)边关系
(五)大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1两边与∠2两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
[1]顶角是成对浮现,对顶角是具备特殊位置关系两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与
∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成四个角中,每一种角邻补角有两个,而对顶角只有一种。
练习:
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角图形有()毛
A.1个 B.2个C.3个D.4个
2.如图1-1,直线AB、CD、EF都通过点O,
图中有几对对顶角?
3.如图1-2,若∠AOB与∠BOC是一对邻补角,
OD平分∠AOB,OE在∠BOC内部,
并且∠BOE=
∠COE,∠DOE=72°。
求∠COE度数。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成四个角中,有一种角是
直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫
做另一条直线垂线,它们交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线画法:
⑴过直线上一点画已知直线垂线;
⑵过直线外一点画已知直线垂线。
注意:
①画一条线段或射线垂线,就是画它们所在直线垂线;
②过一点作线段垂线,垂足可在线段上,也可以在线段延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,
⑵二移:
移动三角尺使一点落在它另一边直角边上,
⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人印象是线段线。
4、点到直线距离:
直线外一点到这条直线垂线段长度,
叫做点到直线距离记得时候应当结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB距离是PO长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线距离”这些相近而又相异概念
⑴垂线与垂线段
区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具备垂直于已知直线共同特性。
(垂直性质)
⑵两点间距离与点到直线距离
区别:
两点间距离是点与点之间,点到直线距离是点与直线之间。
联系:
都是线段长度;点到直线距离是特殊两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离:
距离是线段长度,是一种量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
例已知:
如图,在一条公路
两侧有A、B两个村庄.
<1>当前乡政府为民服务,沿公路开通公交汽车,并在路边修建一种公共汽车站P,同步修建车站P到A、B两个村庄道路,并规定修建道路之和最短,请你设计出车站位置,在图中画出点P位置,(保存作图痕迹).并在背面横线上用一句话阐明道理..
<2>为以便机动车出行,A村筹划自己出资修建
一条由本村直达公路
机动车专用道路,你能帮
助A村节约资金,设计出最短道路吗?
,请在图中画出你设计修建最短道路,并在
背面横线上用一句话阐明道理..
二、平行线
1、平行线概念:
在同一平面内,不相交两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线位置关系
在同一平面内,两条直线位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因而当咱们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以必定它们平行;
反过来也同样(这里,咱们把重叠两直线当作一条直线)
判断同一平面内两直线位置关系时,可以依照它们公共点个数来拟定:
①有且只有一种公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重叠(由于两点拟定一条直线)
3、平行公理――存在性与惟一性:
通过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了
同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
同侧,同在被截直线
上方,
叫做同位角(位置相似)
②∠5与∠3在截线
两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;
内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何鉴别三线八角
鉴别同位角、内错角或同旁内角核心是找到构成
这两个角“三线”,有时需要将关于某些“抽出”或
把无关线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
咱们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与关于角无关线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,由于∠2与∠9各边分别在四条不同直线上,
不是两直线被第三条直线所截而成。
同位角、内错角和同旁内角判断
1.如图3-1,按各角位置,下列判断错误是()
(A)∠1与∠2是同旁内角(B)∠3与∠4是内错角
(C)∠5与∠6是同旁内角(D)∠5与∠8是同位角
2.如图3-2,与∠EFB构成内错角是____,与∠FEB构成同旁内角是____.
7、两直线平行鉴定办法
办法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
办法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
办法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵∠3=∠2∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
注意:
平行线鉴定是由角相等,然后得出平行。
即先写角相等,然后写平行。
⑴几何中,图形之间“位置关系”普通都与某种“数量关系”有着内在联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去拟定“位置关系”。
上述平行线鉴定办法就是依照同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,鉴定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵依照平行线定义和平行公理推论,平行线鉴定办法尚有两种:
1如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
例题:
判断下列说法与否对的,如果不对的,请予以改正:
⑴不相交两条直线必然平行线。
⑵在同一平面内不相重叠两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
三、平行线性质
1、平行线性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD ∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,
则称线段EF长度为两平行线AB与CD间距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,
过点G作CD垂线段GH,则垂线段GH长度也
就是直线AB与CD间距离。
4、平行线性质与鉴定
①平行线性质与鉴定是互逆关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中:
由角相等或互补(数量关系)条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线鉴定;
由平行线(位置关系)得到关于角相等或互补(数量关系)结论是平行线性质。
练习题
1.已知两个角两边分别平行,其中一种角为52°,
则另一种角为_______.
2.两条平行直线被第三条直线所截时,产生八个角中,
角平分线互相平行两个角是()
A.同位角B.同旁内角
C.内错角D.同位角或内错角
3.如图4-2,要阐明AB∥CD,需要什么条件?
试把所有也许状况写出来,并阐明理由。
4.如图4-3,EF⊥GF,垂足为F,∠AEF=150°,∠DGF=60°。
试判断AB和CD位置关系,并阐明理由。
5.如图4-4,AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=147°,求∠C度数.
6.如图4-5,CD∥BE,则∠2+∠3−∠1度数等于多少?
7.如图4-6:
AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:
BE∥CF.
9.⑴如图,已知∠1=∠2 求证:
直线
,
8.如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.
解:
∠B+∠E=∠BCE过点C作CF∥AB,
则
____()
又∵AB∥DE,AB∥CF,∴____________()
∴∠E=∠____( )
∴∠B+∠E=∠1+∠2即∠B+∠E=∠BCE.
10.阅读理解并在括号内填注理由:
如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,试阐明EP∥FQ.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠MEB=∠MFD( )
又∵∠1=∠2, ∴∠MEB-∠1=∠MFD-∠2, 即 ∠MEP=∠______
∴EP∥_____.( )
四、命题:
⑴命题概念:
判断一件事情语句,叫做命题。
⑵命题构成:
每个命题都是题设、结论两某些构成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出事项。
命题常写成“如果……,那么……”形式。
具备这种形式命题中,用“如果”开始某些是题设,用“那么”开始某些是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”形式,题设和结论不明显。
对于这样命题,要通过度析才干找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,
那么……”形式。
注意:
命题题设(条件)某些,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;
命题结论某些,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
五、平移
1、平移变换
①把一种图形整体沿某一方向移动,会得到一种新图形,新图形与原图形形状和大小完全相似。
②新图形每一点,都是由原图形中某一点移动后得到,这两个点是相应点
③连接各组相应点线段平行且相等
2、平移特性:
①通过平移之后图形与本来图形相应线段平行(或在同始终线上)且相等,相应角相等,图形形状与大小都没有发生变化。
过平移后,相应点所连线段平行(或在同始终线上)且相等。
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- 人教版七 年级 相交 平行线 知识点 典型 例题