高中数学立体几何知识点归纳总结.docx
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高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结
一、立体几何知识点归纳
第一章空间几何体
(一)空间几何体的结构特征
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
2)柱,锥,台,球的结构特征
1.
棱柱
第1页
3(了解)长方体的一条对角线AC1与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是
则cos2cos2cos22,sin2sin2sin21.
1.5侧面展开图:
正n棱柱的侧面展开图是由
n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻
边的矩形.
S直棱柱侧
ch
1.6面积、体积公式:
(其中c为底面周长,h
S直棱柱全
ch2S底,V棱柱S底h
为棱柱的高)
3.棱锥
周长,h侧面斜高,h棱锥的高)
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
4.2圆锥的性质:
①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称
球;
7.2球的性质:
①球心与截面圆心的连线垂直于截面;
②rR2d2(其中,球心到截面的距离为d、
球的半径为R、截面的半径为r)
7.3球与多面体的组合体:
球与正四面体,球与长方体,球与正方体等的内接与外切.
243
7.4球面积、体积公式:
S球4R2,V球43R3
例:
(06年福建卷)已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为,则正方体的棱
3长为
(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影:
区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图;
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图;
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图;
注:
(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。
(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.
(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。
3.直观图:
3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2斜二测法:
step1:
在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,(即取xoy90);
step2:
画直观图时,把它画成对应的轴o'x',o'y',取x'o'y'45(or135),它们确定的
平面表示水平平面;
step3:
在坐标系x'o'y'中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行第4页
于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。
2结论:
一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.
4解决两种常见的题型时应注意:
(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”
(2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
(一)平面的基本性质
1.平面——无限延展,无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1:
如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。
用途:
常用于证明直线在平面内.
图形语言:
符号语言:
公理2:
不.共.线.的三点确定一个平面.图形语言:
推论1:
直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言:
推论2:
两条相交直线确定一个平面.图形语言:
推论3:
两条平行直线确定一个平面.图形语言:
用途:
用于确定平面。
公理3:
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线个平面的交线).
用途:
常用于证明线在面内,证明点在线上.图形语言:
符号语言:
形语言,文字语言,符号语言的转化:
相等或互补。
1.1平行线的传递公理:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表述:
a//b,b//ca//c
1.3异面直线:
(1)定义:
不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线;
1.2等角定理:
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角
2)判定定理:
连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
P
符号语言:
APA与a异面
a
Aa
1.4异面直线所成的角:
(1)范围:
0,90;
(2)作异面直线所成的角:
平移法
如右图,在空间任取一点O,过O作a'//a,b'//b,则a',b'
所成的角为异面直线a,b所成的角。
特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特
2.直线与平面的位置关系:
llIA
l//
殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角
图形语言:
平行:
//
(三)平行关系(包括线面平行,面面平行)
1.线面平行:
①定义:
直线与平面无公共点.
l//(用于判断);(ii)
④判定或证明线面平行的依据:
(i)定义法(反证):
lI
a//b
判定定理:
aa//“线线平行面面平行”(用于证明);(iii)//a//
a
b
ba
“面面平行线面平行”(用于证明);(4)ba//(用于判断);
a
2.线面斜交:
lIA
①直线与平面所成的角(简称线面角):
若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
【如图】PO于O,
则AO是PA在平面内的射影,则PAO就是直线PA与平面所成的角。
范围:
0,90,注:
若l或l//,则直线l与平面
所成的角为0;若l,则直线l与平面所成的角为90。
3.面面平行:
//
①定义:
I
②判定定理:
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行;
第7页
符号表述:
a,b,aIbO,a//,b////【如下图①】
推论:
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行
符号表述:
a,b,aIbO,a',b',a//a',b//b'//【如上图②】
判定2:
垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:
a,a//.【如右图】
//
a//b;(面面平行线线平行)(3)夹在两个平行平面间的
面平行);
(2)Ia
Ib
平行线段相等。
【如图】(四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直)
1.线面垂直
MON90;
④证明或判定线面垂直的依据:
a//b
(1)定义(反证);
(2)判定定理(常用);(3)a//bb
a
二、立体几何常见题型归纳例讲
1、概念辨析题:
(1)此题型一般出现在填空题,选择题中,解题方法可采用排除法,筛选法等。
(2)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。
你认为正确的命题需要证明它,你认为错误的命题必须找出反例。
(3)相关例题:
课本和报纸上出现很多这样的题型,举例说明如下:
例:
(04年北京卷)设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个说
法:
①m,n//mn;②//,//,mm;③m//,n//m//n④,//,说法正确的序号是:
2、证明题。
证明平行关系,垂直关系等方面的问题。
(1)基础知识网络:
(2)相关例题:
例1(06广州市高一质量抽测)如右图,在正方体
A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.
(1)求证:
EF∥平面CB1D1;
(2)求证:
B1D1⊥平面CAA1C1
例2.如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对
角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
Ⅰ)求证:
BCA1D;
Ⅱ)求证:
平面A1BC平面A1BD;
Ⅲ)求三棱锥A1BCD的体积(答案:
VA1BCD48)
3、计算题。
包括空间角(异面直线所成的角,线面角,二面角)和空间几何体的表面积、体积的计算。
(1)对于空间角和空间距离的计算,关键是做好“三步曲”:
step1:
找;step2:
证;step3:
计算。
1.1求异面直线所成的角0,90:
解题步骤:
一找(作):
利用平移法找出异面直线所成的角;
(1)可固定一条直线平移另一条与其相交;
(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。
常用中位线平移法二证:
证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。
常需要证明线线平行;三计算:
通过解三角形,求出异面直线所成的角;
1.2求直线与平面所成的角0,90:
关键找“两足”:
垂足与斜足
解题步骤:
一找:
找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用);二证:
证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:
常通过解直角三角形,求出线面角。
1.3求二面角的平面角0,
解题步骤:
一找:
根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角;二证:
证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法);
三计算:
通过解三角形,求出二面角的平面角。
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(2)对于几何体的表面积、体积的计算,关键是搞清量与量之间关系,熟练应用公式进行计算。
已知三视图,求几何体体积。
平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。
(3)相关例题:
腰梯形,上、下底边长分别为2,4。
俯视图中,内、均外为正方形,边长分别为2,4,几
三、训练题
1.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a
(1)求证:
直线A1B//平面ACD1
2)求证:
平面ACD1平面BD1D;
2.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求证:
AC⊥平面B1D1DB;
(2)求证:
BD1⊥平面ACB1
(3)求三棱锥B-ACB1体积.
3.如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点。
求证:
(1)PA∥平面BDE;
(2)BD平面PAC
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