传染病的传播及控制分析数学建模.doc
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传染病的传播及控制分析
摘要
为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系,本文通过建立传染病的传播模型,了解传染病的扩散传播规律,为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文针对该问题建立了SEIR微分方程模型,对病毒的传播过程进行了模拟分析,得出了患者人数随时间的变化规律。
我们将人群分为五类:
患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。
前三者作为传染系统。
我们认为治愈者获得终身免疫,和死亡者一样移出传染系统,即后两者合并为移出者。
本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分:
控制前和控制后。
在控制前,相当于没有对病毒扩散做任何限制,患者数量短时间内大量增长,并以死亡的形式退出传染系统;在控制后,由于对潜伏者进行了一定强度的隔离,与此同时,确诊患者得到有效的治疗,使得传染源数量减少,患者平均每天接触的人数减少,治愈者增多,并作为主要的移出者移出传染系统。
在模型建立的基础上,通过Matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图,得到如下结果:
控制前,患者人数呈指数增长趋势;控制后,在时,患者人数大致在7天时到达最大值,在25天时基本没有患者;在时,患者人数大概在第8天到达最大值186383,大概在28天之后基本没有患者;在时,大概在第5天患者人数到达峰值为47391,在21天时基本没有患者。
综上分析,对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果,对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词:
隔离强度潜伏期SEIR模型
一、问题重述:
2013年中,H7N9是网上的热点,尤其是其高致死率,引起了人们的恐慌,最近又有研究显示,H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为天,患病者的治愈时间为天,假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播,患者每天接触的人数为,因接触被感染的概率为(为感染率)。
为了控制疾病的传播与扩散,将人群分成五类,患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。
潜伏期内的患者被隔离的强度为(为潜伏期内患者被隔离的百分数)。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型,利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线,增强或者减弱疑似患者的隔离强度,比较患者人数发生的变化,并分析结果的合理性。
最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。
二、问题假设:
1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例;
2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例;
3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例;
4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒,有很强的免疫能力,即被移除出此传染系统;
5、假设正常人被传染后,进入一段时间的潜伏期,处于潜伏期的人群不会表现症状,不可传染健康人,不具有传染性;
6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗,被视为无法跟别人接触,故不会传染健康人;
7、假设实际治愈周期过后,如果患者没有治愈,则认为患者死亡,即实际治愈周期过后,患者都被移出此感染系统;
8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生,死亡,流动等种群动力因素对总人数的影响。
即:
总人口数不变,记为N;
三、符号说明:
符号
解释说明
S(t)
t时刻正常人(易受感染)人数
E(t)
t时刻疑似患者的人数
Q(t)
t时刻处于潜伏期的人数
I(t)
t时刻确诊患者的人数
R(t)
t时刻退出传染系统的人数(包括治愈者和死亡者)
β1
潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例
β2
每日退出传染系统的人数比例
a3
确诊患者的治愈时间
患者的人均日接触人数
因接触被感染的概率
潜伏期内的患者被隔离的强度
四、问题分析:
根据题意,这是一个传染性病毒随着时间演变的过程,需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化,特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化,预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度,从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型,查阅相关资料可知,关于传染病的模型已有不少,其中以微分方程模型最具代表性,因题目中把人群分为五类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人,所以我们采用微分方程中的SIER模型,将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。
在此基础上,我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程,得出模型。
再利用matlab编程画出图形,改变其隔离强度后重新作图进行比较,对结果进行分析,并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。
五、模型的建立和求解:
5.1传染病模型的准备
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知,目前关于传染病的模型已有不少,其中以微分方程建立的模型比较具有代表性,模型复杂程度有区别,故适合的情形也不同,包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等[2]。
I模型是最简单的模型,从已感染人数和有效接触率出发构建模型,但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),结果发现,随着时间增加,病人人数会无限增长,这显然不符合实际;SI模型是I模型的改进模型,它区分了已感染者和未感染者,但是该模型没有考虑到病人可以治愈,导致人群中的健康者只能变成病人,病人不能变成健康者,这也是不符合实际的;在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下,SIR模型对SI模型进行了改进,即增加了移除者(包括死亡者和治愈者),但在实际情况下,传染病会出现疑似患者,故需要考虑隔离的情况。
SEIR模型[3]-[4]对SIR模型进行了改进,增加了疑似患者,考虑到了隔离强度,故我们选择SEIR模型进行此次建模。
根据题目所给的条件,人群分为五类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。
根据SEIR模型重新归类,得到以下结果:
(1)健康人群,即易感染(Susceptibles)人群。
记其数量为S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数;
(2)确诊患者,即被感染(Infection)该疾病的人群,记其数量为I(t),表示t时刻已经确诊为患者入院的人数;
(3)疑似病患,即被入院隔离的人群,包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者,记其数量为E(t),表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数;
(4)潜伏期感染者,即已感染病毒但处于潜伏期的人群,记起数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。
(5)恢复人群(Recovered),记其数量为R(t),表示t时刻已从感染病者中移出的人数,包括死亡者和治愈者,这部分人数既不是已感染者,也不是非感染者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已经推出了传染系统。
该传染病的传播流程图如下:
图1传染病传播流程图
5.2传染病模型的建立[5]
传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。
对S来说,一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人,使其成为潜伏期感染者流出S;对于E来说,流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人,流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者;对于I来说,它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者,也有已经治愈的流出者;对于R来说,它只有从I中治愈转化而来的流入者。
以上过程在传染的每一时刻都是相同的。
为此我们可将时间假定的非常小,在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分,这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下:
1、控制前阶段:
前两天,患者没有住院,疑似患者没有被隔离,患者可以随意接触和感染正常人。
分析控制前阶段时间内,疫情的发展与变化。
(1)正常人-----疑似患者:
控制前阶段病人尚未被隔离,所以疫情发展比较迅速,此时病人人均每天接触个正常人,假设时刻病人人数为,则新增疑似患者人数为,。
(2)疑似患者-----潜伏期:
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者,病毒携带者会进入潜伏期,而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为,假设时刻疑似患者人数为,潜伏期患者人数为,则,故新增潜伏期人数为。
(3)潜伏期-----确诊患者:
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长,用表示这一特性。
那么新增确诊患者人数为,现在要确定,如果潜伏期天数为到,假设其变化到了一个稳定阶段,那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多,其概率分布呈指数稳步增长,则每天有概率的人变为猪流感患者,即。
所以新增患者人数:
。
(4)确诊患者-----治愈、死亡:
设T为退出系统人数(治愈者和死亡者),如果治愈天数设为,那么天后病人要么死亡要么被治愈,而被治愈的人产生抗体,不再会被传染,所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为,则有退出人数。
的求解方法与相同,即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多,则。
故新退出传染系统的人数。
根据上述的式子可进一步得出:
所以得出以下:
2、控制后阶段:
两天之后,患者全部住院,疑似患者全部被隔离,剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。
分析控制后阶段时间内,疫情的发展与变化。
(1)正常人-----疑似患者:
控制后阶段,病人开始被隔离,所以疫情发展开始变慢,并受隔离强度影响,此时病人每天接触的正常人数目也在变小,假设病人的数目为,则疑似患者数目。
又因为接触率与隔离强度有关,也呈指数分布,所以,故新增疑似患者的数目。
(2)疑似患者-----潜伏期:
控制后阶段,疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例不会改变。
假设时刻疑似患者人数为,潜伏期患者人数为,故新增潜伏期人数为。
(3)潜伏期-----确诊患者:
潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同,所以新增患者人数。
(4)确诊患者-----治愈者、死亡者:
同样退出传染系统的人数不变,则新增退出传染系统的人数。
根据上述可进一步求得出:
整理后得:
5.3传染病模型的求解:
1、控制前:
通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用Matlab中的ode系列函数进行求解。
首先,对传染病模型进行标准化,再带入参数,并由此建立微分方程组函数文件,随后用ode函数对该文件进行调用,即可得到微分方程组的解向量,然后利用plot函数画出此解向量即可得到各类人群岁时间变化的曲线图。
控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示:
图2控制前患者的人数随时间的变化
由上图可以看出控制前还未采取任何措施时,患者的人数迅速增加,类似于指数型增长曲线。
这是由于在开始的两天,患者两天后才入院,疑似患者两天后才被隔离缺乏。
一方面,他们将病原体迅速地传染给了健康人;另一方面,他们由于缺乏治疗,无法被治愈。
当时,患者的数量越来越多,增长速度越来越快。
基本符合实际情况,可见模型的合理性。
2、控制后:
(1)当隔离强度时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
图3控制后时患者人数随时间的变化
由上图分析可知,两天后,对患者进行入院隔离,对疑似患者进行部分隔离,使得新进入潜伏期的人数在减少。
因此,由于时间的延迟,患者人数的迅速增长,并在接下来的几天内达到峰值,随后逐渐下降最后平缓的趋于零。
患者人数在增长趋于缓慢的几天后到达一个峰值。
我们求得当隔离率为p=0.4时,患者人数大致在7天时到达最大值93701,在25天时基本没有患者。
(2)改变隔离强度为时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
图4控制后时患者人数随时间的变化
由上图分析可知,当p=0.3时,即隔离强度有所下降时,患者人数在前8天属于迅速增长趋势,但增长趋势慢慢减缓。
大概在第8天,患者人数到达最大值186383,其后由于大量的患者被治愈且受感染的人数越来越少,导致患者人数显著下降,大概在28天之后基本没有患者。
(3)改变隔离强度为时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
图5控制后时患者人数随时间的变化
由上图分析可知,当时,患者人数在前四天增长迅速,但由于隔离率很高,病情很快得到有效的控制,使增长人数越来越少,在第5天患者人数到达峰值为47391,其后患者由于治愈人数越来越多,人数逐渐减少,在21天时基本没有患者。
3、控制前后模型总体:
上图皆为总体模型的分图,在进行总体分析时,可以进行进一步的表示。
为更直观的比较不同隔离强度引起的患者人数变化情况,我们作图6将不同强度的隔离强度情况相结合。
同时,为了贴合题意,我们在图像上将控制前的两天和控制后的情况结合起来,得到总图如下所示:
图6患者人数随时间的变化
由上图分析可知,控制前,患者人数的增长速度远高于控制后患者人数的增长速度,说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的;三条曲线比较可知,当隔离强度不同时,对患者人数最高峰出现的天数和传染病传播的持续时间(即患者全部痊愈没有再出现患者)有极大的影响。
在隔离强度较小时,患者人数的最高峰出现时间靠后,传染病持续的传播时间较长;在隔离强度较大时,患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降,因此传染病持续的时间比较短,更有利于传染病的控制。
所以,在实际的传染病控制过程中,对传染病进行有效的控制,加大疑似患者隔离的强度是很有必要的。
六、模型评价:
优点:
本模型中采用微分方程中的SEIR模型,对传染病传播做出合理假设,对人群进行了合理的分类,并对其进行数据拟合,得出传染病传播过程中,各类人群的人数发展趋势,采用数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识,再用特殊点进行理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。
比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,可以有效预报传染病高潮到来的时刻和传染病将持续的时期,对群众接受传染病的预防知识起到很好的警示作用。
通过这些数据,政府可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。
缺点:
所建立的模型中,没有考虑不同年龄段病毒的抵抗力不同,且将治愈者和死亡者当作一类人进行了处理,题目只给出了患者治愈所需的天数,没有给出患者死亡的概率,于是我们暂且认为其患者住院达到治愈天数时即被移出系统,可能是治愈也可能是死亡。
其所得的结果存在一定的误差,只能粗略的反应此传染病的传播情况。
要准确反映,需对模型进行进一步的改进。
七、模型应用:
根据建立的SEIR模型和计算所得的数据,我们发现,人群接触的人数r值越大,正常人被感染的几率越大,疫情扩散得越快,因此在疫情期间,应减少公共活动,降低病毒的传播率;通过改变隔离强大的大小后比较可知,p值越小病情越难控制,所以要保证患者能及时住院治疗,从而遏制病毒的扩散;综上所述,结合实际情况我们可以对控制H7N9传播提供一些建议:
医院方面:
医院应提高医院的医疗水平和卫生水平,提高医疗工作人员的工作效率,加强医院的合理化管理,加大对感染者的隔离力度,这样有助于传染病的治疗和控制工作有序的展开:
(1)根据人感染H7N9禽流感的流行病学特点,针对传染源、传播途径和易感人群,结合实际情况,建立预警机制,制定应急预案和工作流程。
(2)医院应当规范消毒、隔离和防护工作,为医务人员提供充足、必要、符合要求的消毒和防护用品,确保消毒、隔离和个人防护等措施落实到位,并加大隔离疑似病患的力度,这有利于传染病的快速控制。
政府方面:
应具有敏锐的警觉性,在传染病开始广泛传播之前,应迅速采取一定的方法进行控制:
(1)根据H7N9病毒的特点,加强医院、学校、家禽养殖厂、活禽市场等这些重点区域的疫情防控,确保一旦发生疫情能及时应对和有效控制。
(2)应对地方医疗保障措施进行完善,防止患者不能及时就医的情况出现,增加传染病蔓延的趋势。
(3)一方面应加大传染病的宣传力度,使公众对传染病有一定的警觉和预防意识;另一方面应进行科学的引导,不造成公众的恐慌心理,日常生活不受影响。
个人方面:
应加强对传染病的认识,提高自身的科学知识,不盲从,不恐慌,以正确的态度进行预防:
(1)保持良好的个人卫生习惯,减少与家禽类的直接接触,减少去禽流感疫区。
(2)加强体育锻炼,注意补充营养,保证充足的睡眠和休息,增强抵抗力。
(3)不要轻视重感冒,禽流感的病症与其他流行性感冒病症相似,如发烧、头痛、咳嗽及喉咙痛等,在某些情况下,会引起并发症,导致患者死亡。
因此,若出现发热、头痛、鼻塞、咳嗽、全身不适等呼吸道症状时,应戴上口罩,尽快到医院就诊,并务必告诉医生自己发病前是否与病禽类接触等情况,并在医生指导下治疗和用药。
八、参考文献:
[1]张彤.一类具潜伏期和非线性饱和接触率的流行病模型[J],浙江工程学院学报,2004,21
(2):
136-140.
[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.高等教育出版社,2003.135-144
[3]AndersonRM,MayRM.Infectiondiseasesofhumans:
dynamicsandcontrol.OxfordUnivpress,Oxford,1991.
[4]张娟.马知恩各仓室均有常数输入的SEIR流行病模型的全局分析
2003(06).
[5]PagillaPR.Robustdecentralizedcontroloflarge-scaleinterconnectedsystems:
generalinterconnections[C]//ProceedingsoftheAmericanControlConference,SanDiego,California,1999:
4527-4531.
九、附录:
附录一:
程序
functiondy=ill1(t,y)
a1=1;a2=10;a3=30;r=10;c=0.5;
dy=zeros(2,1);
dy
(1)=(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y
(2)-(1-(1-1/a3)*exp(-t))*y
(1);
dy
(2)=c*y
(1)*r-(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y
(2);
functiondy=ill2(t,y)
a1=1;a2=10;a3=30;r=10;c=0.5;p=0.4;
dy=zeros(2,1);
dy
(1)=(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y
(2)-(1-(1-1/a3)*exp(-t))*y
(1);
dy
(2)=c*y
(1)*r*exp(-p*t)-(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y
(2);
[T1,Y1]=ode45('ill1',[0,2],[900,1050]);
a
(1)=Y1(end,1);a
(2)=Y1(end,2);
[T2,Y2]=ode45('ill2',[0,30],a);
plot(T1,Y1(:
1),'r',T2+2,Y2(:
1))
xlabel('时间/天'),ylabel('患者/人')
title('患者随人数变化')
holdon
[y_max,i_max]=max(Y2(:
1));
x_text=['t=',num2str(T2(i_max)+2)];
y_text=['ymax=',num2str(y_max)];
max_text=char('maxp=0.4',x_text,y_text);
plot(T2(i_max)+2,y_max,'.')
text(T2(i_max)+3,y_max,max_text);
12
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