南邮 专业英语课程 期末论文Word格式文档下载.docx
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3.1输入输出规则
离散系统所实现的就是将输入的离散抽样序列x(n),根据一定的输入/输出(I/O)规则转换成输出序列的运算。
I/O规定了怎样由已知的输入计算输出。
样值处理方法,我们可以认为其I/O规则就是一次处理一个输入抽样。
按块处理的方法,输入序列划分成块,每次处理一块。
因此其I/O规则也就是将输入向量根据某种函数映射成输出向量。
y=H[x]
对于线性系统,这种映射就是用矩阵H作线性变换。
线性定常系统,其变换矩阵H根据系统的冲激响应有特定的结构。
下面给出一些例子。
例3.1.1y(n)=2x(n).它对应于简单的缩放的输入
例3.1.2y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)
任何时刻的输出是此前连续三个输入抽样的加权和。
在任何n时刻,线性系统必须记住前两个时刻的抽样x(n-1)、x(n-2),然后使用他们。
例3.1.3将长度为L=4的输入抽样{x0,x1,x2,x3}视为一块,例3.1.2所示的线性系统将其转换成长度为6的输出序列。
输出序列的长度比输入序列长度大2,因为系统必须保存两个抽样,最后的两个输出可以认为是输入消失后(input-off)的过渡状态。
如果输入的抽样为L=5,那么,输出的序列为:
例3.1.4:
例3.1.2的输入输出方程也可以用下列样值处理的算法来实现:
y(n)=2x(n)+3w1(n)+4w2(n)
w2(n+1)=w1(n)
w1(n+1)=x(n)
附加的信号w1(n)、w2(n)可以视为系统的内部状态。
当前的输入结合当前的内部状态足以计算当前的输出。
由有下一个输入x(n+1)所产生的输出y(n+1)要求我们知道已经更新的内部状态。
而此时的内部状态(n+1时刻的内部状态)已经更新。
也就是说,n+1时刻,我们有:
y(n+1)=2x(n+1)+3w1(n+1)+4w2(n+1)
w2(n+2)=w1(n+1)
w1(n+2)=x(n+1)
这样的计算是从某个时刻开始并且不断重复,我们可以归结为以下算法:
foreachnewinputxdo:
y:
=2x+3w1+4w2
w2:
=w1
w1:
=x
一旦内部状态的当前值在计算输出y的时候使用过以后,他们就被后两个赋值的方程更新,用来计算下一个输入的抽样。
因此{w1、w2}必须在一次调用到下一次调用的过程中保存。
{w1、w2}更新的次序非常重要,也就是首先更新w2,接下来更新w1,以避免把正确的值覆盖。
这个和前面两个例子是同一个离散系统的等效描述方式。
究竟是采用哪一种形式取决于应用的场所,也就是要看输入序列是有限长还是无限长、输入抽样是否在接收到以后应该立刻处理还是可以延缓处理。
上面的例子实际上是用下述I/O方程描述的、具有更一般形式的状态空间的特例:
y(n)=g(x(n),s(n))————输出方程
s(n+1)=f(x(n),s(n))————状态更新方程。
其中s(n)是维数一定的状态方程矢量。
比如说前面的例子中,
。
I/O算法根据当前已知的输入x(n)和当前的状态s(n)计算出当前的输出y(n)和下一时刻的状态s(n+1)。
也可以将它表述成下面的重复演算形式:
y:
=g(x,s)
s:
=f(x,s)
线性时不变系统的状态空间实现是由函数f和g来表述的,而f和g又是其变量的线性函数,即:
f(x,s)=As+Bx
g(x,s)=Cs+Dx
ABCD维数各不相同。
对于上例,我们有:
例3.1.5y(n)=0.5y(n-2)+2x(n)+3x(n-1)
输出由常系数差分方程递归计算得到。
任意时刻n,系统必须记住前一个输入x(n-1)和前一个时刻的输出y(n-1)。
例3.1.6例3.1.5也可以将I/O方程表述为样值运算算法:
=0.5w1+2x+3v1
w1:
=y
v1:
它对应于所谓差分方程的直接实现形式,要求计算并且更新附加量{w1,v1}。
例3.1.5所示的I/O计算规则也可与下列所谓的规范形式相对应:
w0:
=x+0.5w1
=2w0+3w1
=w0
3.2线性与时不变性
一个系统是线性系统,则当输入是由两个抽样序列x1(n)、x2(n)的线性组合时,其输出序列也是其相应输出序列的线性组合。
即:
x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)(3.2.1)
时,其输出为
y(n)=a1y1(n)+a2y2(n)(3.2.2)
为了验证一个系统是否是线性系统,必须分别验证三个输出序列,y(n)、y1(n)、y2(n)满足(3.2.2)式。
例3.2.1
y(n)=2x(n)+3和y(n)=x2(n)
若
x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)。
则
y(n)=2[a1x1(n)+a2x2(n)]+3
而
[a1y1(n)+a2y2(n)]=a1[2x1(n)+3]+a2[2x2(n)+3]
显然输入为两个信号的线性叠加时,输出并不是两个信号单独作用时输出的线性叠加,既:
[a1x12(n)+a2x22(n)]
[a1x1(n)+a2x2(n)]2
所以为非线性系统。
时不变系统是指系统不随时间变化而改变。
相同的输入序列,无论在何时施加到系统上,将产生相同的输出。
输入信号延时(右移)或提前(左移)D单位时间,输出序列也将相应延时(右移)或提前(左移)D单位时间。
输入信号经系统先延时后变换和输入信号先经过系统变换后的输出再延时得到的输出序列应该是一样的。
设yD(n)为先延时,后变换得到的输出。
y(n-D)为先变换,后延时得到的输出。
若yD(n)=y(n-D),那么,该系统是时不变系统。
例3.2.2
y(n)=nx(n)
yD(n)=nxD(n)=nx(n-D)
y(n-D)=(n-D)x(n-D)≠nx(n-D)=yD(n)
为时变系统。
同理,若:
yD(n)=xD(2n)=x(2n-D)
y(n-D)=x(2(n-D))=x(2n-2D)≠x(2n-D)=yD(n)
所以是时变系统。
这是一个下采样器。
我们可以从原信号的输出和延时信号的输出更直观的看出:
[x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,…]
[x0,x2,x4,x6,…]
[0,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,…]
[x0,x1,x3,x5,…]
第一种情况下,输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。
下面一种情况下,输入延时一个单位,输出同样每两个输入被丢掉一个,得到的输出并不是上面的输出延时一个单位。
所以为时变系统。
3.3冲激响应
(离散)线性时不变系统可以用其冲激响应序列h(n)来唯一表征。
而冲激响应h(n)就是系统对于单位冲激输入δ(n)的响应。
因此,我们有:
δ(n)⇒h(n)
或者说:
{1,0,0,0,…}⇒{h0,h1,h2,…}
若系统是时不变系统,就意味单位冲激输入延时一段时间,(比如说,D单位时间),其冲激响应输出将会是大小一样,但延时为D的输出h(n-D)。
δ(n-D)⇒h(n-D)
其中D可以正,也可以负。
线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。
δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)⇒h(n)+h(n-1)+h(n-2)
更一般性,三个输入的加权线性组合:
x(0)δ(n)+x
(1)δ(n-1)+x
(2)δ(n-2)
将会产生同样三个输出的加权线性组合:
x(0)h(n)+x
(1)h(n-1)+x
(2)h(n-2)
任意输入序列,{x(0),x
(1),x
(2),…}可以看作是延时并且权重为单位冲激函数的线性组合。
x(n)=x(0)δ(n)+x
(1)δ(n-1)+x
(2)δ(n-2)+…
上式中,n=0则只有第一项不为零,其余各项为零。
n=1则只有第二项不为零,其余各项为零等等。
因而得到。
y(n)=x(0)h(n)+x
(1)h(n-1)+x
(2)h(n-2)+…
或写作:
(LTIForm)(3.3.2)
上式又称为输出函数的LTI形式。
其实就是输入序列x(n)与滤波器冲激响应序列h(n)的离散时间卷积。
也可以说,LTI(线性时不变系统)就是一个卷积器。
一般说来,上式中的求和m值可以扩展到负数,主要取决于输入信号。
改变求和式当中求和项的次序,也可以写成另一种形式:
(DirectForm)(3.3.3)
3.4FIR和IIR滤波器
离散时不变系统根据其冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分成FIR(有限冲激响应)和IIR(无限冲激响应)两类。
FIR滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间,也就是说,0≤n≤M,其余均为零。
{h0,h1,h2,…,hM,0,0,0,…}
M称为滤波器的阶数。
FIR滤波器冲激响应矢量h的长度为:
Lh=M+1
冲激响应的系数{h0,h1,h2,…,hM}在不同的教科书上有不同的名称,比方说,滤波器系数、滤波器的权、filterstaps(滤波器的节拍)。
式3.3.3又成为卷积的直接形式。
当m>
M和m<
0时,h(m)都不存在,只有0<
m<
M的项不为零。
所以3.3.3式又可以写成为:
FIR卷积方程3.4.1
或者写成显式表达式:
y(n)=h(0)x(n)+h
(1)x(n-1)+h
(2)x(n-2)+…+h(M)x(n-M)3.4.2
因此,I/O方程可以由当前的输入抽样x(n)与过去的M个抽样x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)的加权和得到。
例3.4.1
y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2)
可以视为二阶滤波器,滤波器的系数h=[h0,h1,h2]=[2,3,4]
y(n)=h0x(n)-h1x(n-1)+h3x(n-2)
例3.4.3求下列FIR滤波器的冲激响应系数h。
y(n)=2x(n)+3x(n-1)+5x(n-2)+2x(n-3)
滤波器系数:
h=[h0,h1,h2,h3]=[2,3,5,2]为一个三阶滤波器
y(n)=x(n)-x(n-4)
h=[1,0,0,0,-1]为一个四阶滤波器
当输入为冲激序列时x(n)=δ(n),输出也是冲激响应序列:
h(n)=2δ(n)+3δ(n-1)+5δ(n-2)+2δ(n-3)
和
h(n)=δ(n)-δ(n-4)
另一方面,IIR滤波器冲激响应h(n)时限无限延长,0<
n<
∞,(3.3.3)式的求和项无限多。
IIR滤波方程3.4.3
I/O方程计算不可行,因为我们无法实现无限项求和。
我们只能局限于一类IIR滤波器,这类滤波器系数不是任意的,而是相互之间有藕合。
这种系数与系数之间的耦合关系又称为常系数线性差分方程。
对于这一类IIR滤波器,(3.4.3)式(IIR滤波方程)又可以重新排列为差分方程,差分方程允许我们以递归方式计算y(n)。
专业名词部分
1.cutofffrequency截止频率
2.transitionbandwidth过渡带宽
3.symmetric对称
4.antisymmetric反对称
5.Bilineartransformation双线性变换
6.mapping映射
7.nonlinear非线性
8.first-orderlowpass/highpassfilter一阶低通/高通滤波器
9.high-orderfilter高阶滤波器
10.magnituderesponse幅度响应
11.prototype原型
12.inversediscreteFouriertransform序列傅氏反变换
13.inversefastFouriertransform快速傅立叶反变换
14.windowmethod窗口法
15.linearphase线性相位
16.guaranteesability保证稳定性
17.lowpass低通
18.highpass高通
19.bandpass带通
20.bandstop带阻
21.transitionband过渡带
22.passband通带
23.stopband阻带
24.differentiator微分器
25.double-sided双边
26.real实部
27.imaginary虚部
28.even偶
29.odd奇
30.zeropadding补零
31.biasingerror偏移误差
32.roundingerror舍入误差
33.matrixform矩阵形式
34.twiddlefactor旋转因子
35.modulo-N模N
36.periodicextention周期延拓
37.computationalcost计算代价
38.merging组合
39.FFT(fastFouriertransform)快速傅立叶变换
40.shuffling重排
41.bitreversal码位倒置
42.fastconvolution快速卷积
43.zero-meanwhiteGaussiannoise零均值高斯白噪声
44.minimizing最小化
45.maximizing最大化
46.piece-wiselinear分段线性
47.time-windowing时域加窗
48.finite-duration有限长
49.samplingrate采样率
50.samplingtimeinterval采样间隔
51.rectangularwindow矩形窗
52.hammingwindow汉明窗
53.windowfunction窗函数
54.frequencyleakage频率泄露
55.mainlobe主瓣
56.sidelobe旁瓣
57.mainlobewidth主瓣宽度
58.relativesidelobelevel相对旁瓣水平
59.physicalfrequencyresolution物理频率分辨率
60.computationalfrequencyresolution计算频率分辨率
61.resolvabilitycondition可分辨条件
62.initialize初始化
63.cascadeform级联型
64.register寄存器
65.canonicalform(directformII)正准型(直接二型)
66.second-order-section(SOS)二阶基本节
67.complexconjugatepairs复共轭对
68.quantizationeffectsindigitalfilters数字滤波器中的量化效应
69.roundofferror舍入误差
70.sample-by-sampleprocessingalgorithm逐个样本处理算法
71.digitalwaveformgenerator数字波形产生器
72.periodicsquarewave周期方波
73.sinusoidalgenerator正弦波产生器
74.computationaloverhead额外的计算开销
75.exponentiallydecayingsinusoid包络按指数衰减的正弦波
76.wavetablesynthesis波表合成
77.periodicsequence周期序列
78.periodicwaveformgenerator周期波形产生器
79.combfilter梳状滤波器
80.reverberator混响器
81.noisereduction降噪
82.additivenoise加性噪声
83.compromise折衷
84.directform直接型
85.differenceequation差分方程
86.adder加法器
87.multiplier乘法器
88.feedingforward前馈
89.feedingback反馈
90.numerator分子
91.denominator分母
92.polynomial多项式
93.coefficient系数
94.recursiveterm递归项
95.non-recursiveterm非递归项
96.negative负的
97.order滤波器的阶
98.internalstate内部状态
99.stateupdating状态更新
100.transferfunction传递函数
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