06-5-马尔科夫可修系统.doc
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第六章马尔可夫型可修系统
§1马尔可夫型可修系统的一般模型
§2.单部件可修系统
单部件组成的可修系统是最简单的可修系统,为了有助于理解§1中一般结果的实际背景,我们在这节中将详细地讨论这个系统,并求出各种可靠性指标.
假设系统由一个部件构成.当部件工作时系统工作,当部件故障时系统故障.部件的寿命X服从指数分布
部件故障后的修理时间Y服从指数分布
假定X和Y相互独立,故障部件修复后的寿命分布与新的部件相同,简称为修复如新.初始时刻系统处于工作状态.
上述系统可由工作和故障两个状态不断交替的过程来描述.假定用状态0表示系统正常,用状态1表示系统故障,因此
E={0,1},W={0},F={1}
令
显然{X(t),t³0}是一个连续时间t³0,有限状态空间E={0,1}的随机过程.由于指数分布的无记忆性,可以证明,{X(t),t³0}是一个齐次马尔可夫过程.事实上,若已知X(t)=0(时刻t系统工作)或X(t)=1(时刻t系统故障),由于部件的寿命分布和修理时间分布是指数分布,因此时刻t以后系统发展的概率规律完全由时刻t系统是工作还是故障所完全决定,而与该部件在时刻t已工作了多长时间或已修理了多长时间无关.即时刻t以后系统发展的概率规律,完全由X(t)=0还是X(t)=1所决定,而与时刻t以前的历史无关.还可类似地说明过程的齐次性.
系统的状态及其转移情况由下图所示.
0
1
工作状态
故障状态
[[进而可写出系统的转移率矩阵
]]
由上图可得系统状态的微分方程组:
(1)
对方程
(1)的两端关于t作Laplace变换可得
(2)
利用初始条件,由
(2)解出
反演上式,得到
(3)
1)系统的可用度
复习:
定理1.1当给定初始状态分布
P0(0),P1(0),…,PN(0)
则系统的瞬时可用度为
其中Pj(t),jÎW是下列微分方程组的解
0
1
工作状态
故障状态
由定理1.1和上图可知,系统的瞬时可用度就是系统在时刻t处于工作状态的概率,即
(4)
系统的稳态可用度
注系统的稳态可用度也可以利用Laplace变换极限定理求出:
(5)
2)系统的故障频度
复习:
定理1.7当时刻0系统的初始分布为
则时刻t系统的瞬时故障频度为
其中是方程组
的解.
0
1
工作状态
故障状态
由定理1.7和上图可知,系统在时刻t的瞬时故障频度
(6)
系统在(0,t]中的平均故障次数为
(7)
系统稳态故障额度
(8)
注系统的稳态可用度也可以利用Laplace变换的极限定理求出:
3)修理设备忙的概率
修理设备忙的状态只有状态1,即U={1},故时刻t修理设备忙的概率及其稳态概率分别为
(9)
4)系统平均开工时间、平均停工时间
和平均周期
复习:
定理1.9在系统已经处于稳态的条件下,系统平均开工时间、平均停工时间和平均周期分别为
其中A和M分别由定理1.3和定理1.8而得,.
由定理1.9和1),3)的结果,立得在系统已经处于稳态的条件下,系统的
5)系统可靠度
下面求系统的可靠度R(t).我们令系统的故障状态1为吸收状态,即令.这就构成一个新的马尔可夫过程.这个过程的状态转移图如下:
0
1
由上图可得新系统状态的微分方程组:
(10)
将式(10)的第一式两端作Laplace变换,并利用初始条件,可得线性方程
容易解出
反演上式,得到
(11)
系统的可靠度就是系统在时刻仍然处于工作状态的概率,即
(12)
系统首次故障前平均时间是
(13)
注系统的首次故障前平均时间也可以利用Laplace变换求出:
公式(10)和(11)是十分显然的,因为系统由一个部件构成,所以,系统的首次故障前时间分布也就是部件的寿命分布.用上述求法只是为了说明§1.5中的方法.
§3串联系统
设系统由n个部件串联而成.第i个部件的寿命Xi的分布为,故障后的修理时间Yi的分布为,其中
i=1,2,¼,n
若n个部件都正常工作,则系统处于工作状态.当某个部件发生故障,则系统处于故障状态,此时修理工立即对故障的部件进行修理,其余部件停止工作.当故障的部件修复,所有部件立即进入工作状态,此时系统进入工作状态.进一步假定,所有随机变量相互独立,故障部件修复如新,在初始时刻系统处于工作状态.
为了区别系统的不同情形,我们定义系统的状态:
状态0:
n个部件都正常
状态i:
第i个部件故障,其余部件都正常,i=1,2,¼,n.显然
E={0,1,2,¼,n},W={0},F={1,2,¼,n}
令X(t)表示时刻t系统所处的状态,即令,
可以证明,是状态空间为E的齐次马尔可夫过程.
系统的状态及其转移情况由下图所示.
0
1
n
2
系统状态转移图
[[进而可得系统的转移率矩阵为
其中.]]
由系统状态转移图可得系统状态概率的微分方程组:
0
1
n
2
(1)
对式
(1)两端作Laplace变换,并利用初始条件得
其中.
解此线性方程组,得到
(2)
为了求系统的瞬时可用度和瞬时故障频度,我们来讨论
(2)式的反演问题.将改写成
令
H(s)是n次多项式.不妨假设
显然有
它们是正负交替出现的.因而H(s)有n个负实根,记为
其中
()
故
因此
将上式(真分式)化为简单部分分式之和:
(3)
其中为待定系数.用标准方法可得
反演得
(4)
系统瞬时可用度和瞬时故障额度分别为
(5)
系统的稳态可靠度和故障频度分别为
(6)
注系统的稳态可用度和稳态故障频度也可以利用Laplace变换的极限定理求出:
由此可进一步求得其它可靠性指标,例如,在系统已经处于稳态的条件下,系统的
(7)
在时刻t修理设备忙的概率及其稳态概率分别为
特例当n=2时,
(2)式中的第一式:
变为
将其化为部分分式
其中s1,s2是方程
的两个根.反演得瞬时可用度和故障频度
其对应的稳态指标为
为求系统的可靠度,仅需将故障状态视为吸收状态,此时状态转移图变为
0
1
n
2
系统状态转移图
由上图可得系统状态概率微分方程组
(8)
对上式两端作L变换,得
解此线性方程组,得到
容易反演解出
(9)
因此易得
(10)
§4并联系统
§4.3两个不同型部件的情形
设系统由两个不同型部件和一个修理设备并联组成,2个部件中只要有一个部件工作系统就能工作.部件i的寿命分布是,其故障后的修理时间分布是
部件故障后先坏先修,修复如新.所有随机变量相互独立,初始时刻系统处于2个部件均工作状态.
这个系统共有五个不同的状态:
状态0:
部件1和部件2都在工作.
状态1:
部件1在工作,部件2在修理.
状态2:
部件2在工作,部件1在修理.
状态3:
部件1在修理,部件2待修.
状态4:
部件2在修理,部件1待修.
状态0、状态1和状态2是系统的工作状态,状态3和状态4是系统的故障状态,故
E={0,1,2,3,4},W=(0,1,2},F={3,4}
令X(t)=j,若时刻t系统处于状态j,j=0,1,2,3,4.可以证明{X(t),t³0}是齐次马尔可夫过程.
工作状态
修理状态
系统状态转移图
3
4
2
1
0
系统的转移情况如下图所示.
由系统状态转移图可得系统的状态概率方程组:
上述方程组关于t取Laplace变换可得
解上述微分方程组,可得系统状态概率的Laplace变换式:
其中
1)系统的可用度
系统的瞬时可用度就是系统在时刻t处于工作状态的概率,即
将上式两端关于t取Laplace变换可得 变换可得
根据Laplace变换的极限定理,系统的稳态可用度
2)系统的故障频度
由定理1.7和系统状态转移图
工作状态
修理状态
系统状态转移图
3
4
2
1
0
可知,系统在时刻t的瞬时故障频度
将上式两端关于t取Laplace变换可得 变换可得
根据Laplace变换的极限定理,系统的稳态故障频度
3)修理设备忙的概率
由系统状态转移图
工作状态
修理状态
系统状态转移图
3
4
2
1
0
可知,修理设备不忙的状态只有状态0,即U={1,2,3,4},故在时刻t修理设备忙的概率
将上式两端关于t取Laplace变换可得 变换可得
根据Laplace变换的极限定理,在系统稳态下修理设备忙的概率
4)系统平均开工时间、平均停工时间
和平均周期
在系统已经处于稳态的条件下,系统的平均工作时间、平均故障时间和平均周期分别为
5)系统可靠度
工作状态
吸收状态
系统状态转移图
3
4
2
1
0
下面求系统的可靠度R(t).我们令系统的故障状态3和状态4为吸收状态,这就构成一个新的马尔可夫过程.这个过程的状态转移图如下:
由上图可得新系统状态的微分方程组:
对方程两端作Laplace变换,得线性方程组
容易解出
系统的可靠度就是系统在时刻t仍然处于工作状态的概率,即
将上式两端关于t取Laplace变换可得
系统首次故障前平均时间是
用类似的方法,可以求出其它感兴趣的系统运行指标.
作业
n部件串联单向关闭系统模型1(关键部件1)
n部件串联单向关闭系统模型2(难修部件1)
0
1
n
2
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- 06 马尔科夫可修 系统