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本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合要求的
1.直线y2x关于x对称的直线方程为()
(A)1
yx(B)
yx(C)y2x(D)y2x
2.已知,0
x,
cosx,则tg2x()
5
(A)
7(B)
24
7(C)
24(D)
7
3.抛物线
yax的准线方程是y2,则a的值为()
8
(B)
(C)8(D)8
4.等差数列
a中,已知125
a,aa4,a33,则n为()
nn
(A)48(B)49(C)50(D)51
5.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为
F1,F2,F1MF2120,则双曲线的离心率为()
(A)3(B)6
(C)
6
(D)
6.设函数
f(x)
x
x2
f,则x0的取值范围是()
,若(x)1
(A)(1,1)(B)(1,)
(C)(,2)(0,)(D)(,1)(1,)
7.已知
f(x)lgx,则f
(2)()
(A)lg2(B)lg32(C)
lg
32
lg2
8.函数ysin(x)(0)是R上的偶函数,则()
(A)0(B)(C)(D)
42
9.已知点(a,2)(a0)到直线l:
x-y30的距离为1,则a()
(A)2(B)22(C)21(D)21
10.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为
()
R,该圆柱的全面积为
2R(B)
9
85
R(C)R2(D)2
32
11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点
P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和
P(入射角等于反射角)若P4与P0重合,则tg=()
1(B)
(D)1
12.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
(A)3(B)4(C)33(D)6
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
13.不等式
4xxx的解集是____________________.
14.2)9
(
x的展开式中
2x
x系数是________.
15.在平面几何里,有勾股定理:
“设
222
ABC的两边AB,AC互相垂直,则ABACBC”拓
展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以
得出的正确结论是:
“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,
则______________________________________________.”
16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着
色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜
色可供选择,则不同的着色方法共有种
_______________________(以数字作答)
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知正四棱柱
ABCDA1B1C1D1,AB1,AA12,点E为CC1中点,点F为BD1点中点
(Ⅰ)证明
EF为BD与CC的公垂线
11
D
C
(Ⅱ)求点
D到面BDE的距离
A
B
EF
DC
M
B
18.(本小题满分12分)
已知复数z的辐角为60,且|z1|是|z|和|z2|的等比中项,求|z|.
19.(本小题满分12分)
已知数列
a满足
n
n1
a11,a3a1(n2).
(Ⅰ)求
aa;
2,3
(Ⅱ)证明
a
31
y
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数
yf(x)在区间,
上的图象
O2
北
东
O
xO
21.(本小题满分12分)
海
在某海滨城市附近海面有一台风,据监岸
测,当前台风中心位于城市O(如图)的东
线
偏南(cos2)
10
方向300km的海面P处,
Pr(t)
45
P
并以20km/h的速度向西偏北45方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,
并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
22.(本小题满分14分)
已知常数a0,在矩形ABCD中,AB4,BC4a,O为AB的中点,点E、F、G分别
在BC、CD、DA上移动,且
BE,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定
CFDC
BCCDDA
点,使P到这两点的距离的和为定值?
若存在,求出这两点的坐标及此定值;
若不存在,请说
明理由
CDF
E
G
AOBx
数学试题(文)参考解答及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果
考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;
如果
后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.D8.C9.C10.B11.C12.A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13.(2,4]14.
21
15.
2222
SABCSSS16.72
ACDADBBCD
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(I)证明:
取BD中点M,连结MC,FM,
∵F为BD1中点,∴FM∥D1D且FM=
D1D
又EC=
CC1,且EC⊥MC,
∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1,
∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线
(II)解:
连结ED1,有V
由(I)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d,
则S△DBC·
d=S△DCD1·
EF.
∵AA1=2·
AB=1.
BDBEED2,EF
S
1132
DBD222,S
(2)
1DBC
故点D1到平面BDE的距离为
23.
3
18.解:
设z=
r(cos60isin60),则复数z的实邻为
r
2zz
zzr,zzr由题设|z1||||2|
2rrrr
即(z1)(z1)|z|(z2)(z2)r124
2rrr
r210解得2121(舍去)即|z|=21
19.(I)解∵11,a314,a3413
23
(II)证明:
由已知ana3,故
an(anan1)(anan)(aa)a
12211
31n1n2
=.
3331
所以
20.解(I)f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x
12(sin2xcoscos2xsin)12sin(2x
44
)
所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为12.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
888
y1121121
故函数yf(x)在区
间]
[,上的图象是
21.解:
如图建立坐标系:
以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻:
t(h)台风中心P(x,y)的坐标为
x300
20
t,
y300
t.
此时台风侵袭的区域是
2()2[()]2
(xx)yyrt,其中r(t)10t+60,
若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
(0
2yt
x)(0)(10
60)
22722
2t2t
即)(1060),
(30020t)(30020
102102
即t236t2880,解得12t24.
答:
12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22.解:
根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点
P到定点距离的和为定值.
按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
BECFDC
设k(0k1)
,
由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为:
2ax(2k1)y0,①
直线GE的方程为:
a(2k1)xy2a0.②
2x2y2ay从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a20,
整理得()1
x.
ya
12
当
a时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
a时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
111
a2的距离之和为定值2.
2aaa
a时,点P到椭圆两个焦点(,),(,)
22aa
a时,点P到椭圆两个焦点(0,aa),(0,)的距离之和为定
值2a.
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