机械优化设计第三章(2).ppt
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机械优化设计第三章
(2),机电工程学院机械教研室高自成,第四节一维搜索的插值方法,假定问题是在某一确定区域内寻求函数的极小点的位置,虽然没有函数表达式,但能给出若干实验点处的函数值。
我们可以根据这些函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,进而求出函数的极小点,并用它作为原来函数极小点的近似值,这种方法叫插值方法。
一种方法是牛顿法(切线法),它是利用一点的函数值,一阶导数值和二阶导数值来来构造二次函数的。
另一种方法是抛物线法(二次插值法),它是利用三个点的函数值形成一个抛物线来构造二次函数的。
第四节一维搜索的插值方法,一、牛顿法(切线法),对于一维搜索函数y=f()假如已经给出极小点的一个较好的近似点0,因为一个联系可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近,所以可以在0用一个二次函数()来逼近函数f()即在0点将f()进行泰勒展开并保留到二次项,有,然后以二次函数()的极小点作为f()的一个新近似点1,根据极值必要条件有:
第四节一维搜索的插值方法,第四节一维搜索的插值方法,牛顿法的计算步骤:
给定初始点x0,控制误差,并令k=0,,第四节一维搜索的插值方法,例3-2给你f(x)=4-43-62-16+4,试用牛顿法求其极小点。
解为计算方便,先求出函数一阶、二阶导函数,给定初始点0,控制误=0.001。
第四节一维搜索的插值方法,二、二次插值法二次插值法也叫抛物线法,它是利用y=f(x)在单谷区间中的三点1f
(2)f(3),作出如下插值多项式P()=a0+a11+a22,它满足条件,多项式P()的极值点可以从极值的必要条件求得:
第四节一维搜索的插值方法,为了确定这个极值点,只需算出系数1和2。
其算法是利用a0,a1,a2,联立的方程组中相邻两个方程消去a0,从而得到对于a1、a2的方程组。
这样就得到了f()的极小点的近似解p,,第四节一维搜索的插值方法,如果区间长度|3-1|足够小,则由|P-|yp,取2,3为缩短以后的搜索区间。
在新的搜索区间内再用二次插值法插入新的极小点,如此不断进行下去,直到满足精度要求为止。
二次插值法的八种换名情况,第四节一维搜索的插值方法,在进行上述二次插值法进行一维搜索以前,同样需要进行一维搜索的外推法确定初始搜索区间。
即在此区间上函数值形成“高-低-高”的单谷形态,程序框图中的h就是在外推法求初始搜索区间过程中形成的最后步长。
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