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A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l,m相交于点A
l∩m=A
平面α、β相交于直线l
α∩β=l
思考 若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α?
答 根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
知识点三 平面的基本性质及作用
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内,又能说明平面是无限延展的
公理2
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒存在惟一的平面α,使A,B,C∈α
一是确定平面;
二是证明点、线共面问题;
三是判断两个平面重合的依据
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l
一是判断两个平面相交的依据;
二是证明点共线问题的依据;
三是证明线共点问题的依据
思考
(1)两个平面的交线可能是一条线段吗?
(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗?
答
(1)不可能.由公理3知,两个平面的交线是一条直线.
(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.
题型一 三种语言间的相互转化
例1 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示如图①.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图②.
跟踪训练1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B∉α;
(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;
(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.
解
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图③.
题型二 共面问题
例2 证明:
空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.
证明
(1)如图①,设直线a,b,c相交于点O,直线d和直线a,b,c分别交于点M,N,P,直线d和点O确定平面α.
因为O∈a,M∈a,所以a⊂α.
同理可证b⊂α,c⊂α.
(2)如图②,设直线a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G.
因为a∩b=M,所以直线a和b确定平面α.
因为a∩c=N,b∩c=Q,所以点N,Q都在平面α内,
所以c⊂α.
同理可证d⊂α,所以直线a,b,c,d共面于α.
综合
(1)
(2),知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.
跟踪训练2 已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:
过a,b,l有且只有一个平面.
证明 如图所示.由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,∴l⊂α.即过a,b,l有且只有一个平面.
题型三 点共线与线共点问题
例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:
D、A、Q三点共线.
证明 ∵MN∩EF=Q,
∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又∵M∈直线CD,N∈直线AB,
CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD,
∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理,可得EF⊂平面ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D、A、Q三点共线.
跟踪训练3 如图所示,在四面体A-BCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:
EF,GH,BD交于一点.
证明 ∵E,G分别为BC,AB的中点,∴GE∥AC.
又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
∴FH∥AC,从而FH∥GE.
故E,F,H,G四点共面.
∵FH∥AC,DH∶DA=2∶5,
∴FH∶AC=2∶5,即FH=
AC.
又∵E,G分别为BC,AB的中点,
∴GE=
AC,∴FH≠GE,
∴四边形EFHG是一个梯形,
GH和EF交于一点,设为O.
∵O∈GH,GH⊂平面ABD,O∈EF,EF⊂平面BCD,
∴O在平面ABD内,又在平面BCD内,
∴O在这两个平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,
∴点O在直线BD上.
故EF,GH,BD交于一点.
分类讨论思想
例4 三个平面将空间分成几部分?
请画出图形.
分析 平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决.
解
(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时,将空间分成4部分,如图①所示.
(2)当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与其相交)时,将空间分成6部分,如图②所示.
(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时,将空间分成6部分,如图③所示.
(4)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成8部分,如图④所示.
(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交,且三条交线平行时,将空间分成7部分,如图⑤所示.
1.在下列各种面中,不能被认为是平面的一部分的是( )
A.黑板面B.乒乓球桌面
C.篮球的表面D.平静的水面
2.点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为( )
A.P⊂l⊂αB.P∈l∈α
C.P⊂l∈αD.P∈l⊂α
3.若一直线a在平面α内,则正确的作图是( )
4.下列图形表示两个相交平面,其中,画法正确的是( )
5.
(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定_______个平面.
一、选择题
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
2.如图,用符号语言可表示为( )
A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈a,m∩n=A
C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n
D.α∩β=m,n∈a,A∈m,A∈n
3.下列说法正确的是( )
A.经过三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.不共面的四点可以确定4个平面
4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A.1个或3个
B.1个或4个
C.1个,3个或4个
D.1个,2个或4个
5.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合
6.空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
7.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
二、填空题
8.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M_______l.
9.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ=_______.
10.若直线l与平面α相交于点O,A、B∈l,C、D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.
11.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.
三、解答题
12.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>
CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q,求证:
B,Q,D1三点共线.
当堂检测答案
1.答案 C
解析 平面的各部分都是“平”的,那么不能作为平面的部分只能是“曲”的,所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分,而篮球的表面是一个曲面,不能作为平面的一部分.
2.答案 D
解析 点与线之间是元素与集合的关系,用∈表示;
线与面之间是集合与集合的关系,用⊂表示.
3.答案 A
解析 B中直线a不应超出平面α;
C中直线a不在平面α内;
D中直线a与平面α相交.
4.答案 D
解析 A中没有画出平面α与平面β的交线,也没有完全按照实、虚线的画法法则作图,故A不正确;
B,C中交线的画法不对,且实、虚线的画法也不对,故B,C都不正确.
5.答案
(1)4
(2)7
解析
(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
课时精练答案
1.答案 D
解析 我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故A项不正确;
平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故B项不正确;
太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故C项不正确;
在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面,故D项正确.
2.答案 A
解析 α与β交于m,n在α内,m与n交于A.
3.答案 D
解析 对于A,若三点共线,则错误;
对于B项,若两条直线既不平行,也不相交,则错误;
对于C项,空间四边形就不止确定一个平面.
4.答案 C
解析 若三点在同一直线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定的平面内,则均确定1个平面;
若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面;
若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定4个平面.
5.答案 C
解析 ∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.
6.答案 B
解析 如图①②所示,A、C、D均不正确,只有B正确.
7.答案 D
解析 在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,
A1C∩平面C1BD=M.
∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
∴选项A,B,C均正确,D不正确.
8.答案 ∈
解析 因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
9.
答案 直线PR
解析 如图,MN⊂γ,R∈MN,
∴R∈γ.
又∵R∈l,∴R∈β.
又∵P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.
10.答案 共线
解析 ∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
∵l∩α=O,∴O∈α.
又∵O∈AB⊂β,
∴O∈直线CD,
∴O,C,D三点共线.
11.答案 36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;
正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
12.解 很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.
由于AB>
CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,
∵E∈AC,AC⊂平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
13.证明 如图所示,连接A1B,CD1.显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.
所以BD1⊂平面A1BCD1.
同理BD1⊂平面ABC1D1.
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
因为A1C∩平面ABC1D1=Q,
所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C⊂平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1.
所以Q∈BD1,即B,Q,D1三点共线.
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