周世勋量子力学习题答案第六章散射Word文档格式.docx
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AJp(kr)BNp(kr)
NP(kr)在r
0时发散,因而当r
0时波函数
Np
,不符合波函数的标准条件。
所以必须有B0
R-
A才Jp(kr)
现在考虑波函数R在r处的渐近行为,以便和jl在r时的渐近行为比较,而求
当1很小时,即
得相角位移1,由于:
R(r)
1sin(krr
_P
2
)“in(kr
4r2
1)
12d1
p—
—1—
.1
-一2
24
V
222
较小时,把上式展开,略去高次项得到
又因
2i
12i1
f()
2ik1
1)(e2i11)R(cos)
(21
21
P(cos)
2R(cos)
k1o
r12
占2r222r1r2cos
如杲取单位半径的球面上的两点来看
I
—~p(COS)当R|
JoA
—匕R(cos)当r1r2
r210r2
则r1r21,即有
2(1cos)
R(cos)
1o
2sin
故
2sin—
微分散射截面为
f()d
4sin2—
2esc2d
8E2
由此可见,粒子能量E愈小,则
较小的波对微分散射截面的贡献愈大;
势能常数
愈大,
微分散射截面也愈大。
U(r)
2•慢速粒子受到势能为
Uo,当ra
0,当ra
的场的散射,若EUo,Uo0
,求散射截面。
慢速粒子的德布罗意波长很长,所以只需要考虑
S分波。
a处,
而波函数是
Xi
方程为
则有
2(UoE)
a的情况下,
Xo
其解分别为
a时,
当ra时,
由于在r
coskr
只故虑
S分波,
即I0的情况,上面两个方程变为
0时,
k2Xo
Bsin(kr°
)
AshkrAchkr
Ro
r有限,但
x0Ashkr(ra)
在ra处,波函数Ro及其微商必须连续,因此得出
AshkaBsin(ka
0)
Aa
kchka2shka
aa
用前式除后式可得
B
kcot(ka
—2sin(ka0)
kcothka
tgka
即
k
°
tg(ka
0tg1
ktgka
ka
因此S分波的辐射截面是
4
2sin
•2丄ik
sintg严
当速度较小时,
0,可以近似地认为
ko
2U。
2~
这时有
tghkatghkoa
—tghk0ak
Q0
024a2坦
k°
koa
假如U0
,相当于在受到球形无限深势阱散射的情况,这时由于
tg
2(tg如)2
kja2
tgkoa
当k01
3.只考虑S分波,求慢速粒子受到势能
U(r)r4的场散射时的散射截面。
[解]当只考虑I
R
0,即S分波时,令
r,则x满足的方程是:
11
2rf(r)
xrf(r)
f(r)
可将原方程化为
4r2
3
4r2
为了化简方程,再作变换,令
r」J2
df
dr
d£
£
ddr
idf
d2f
dr2
d、2
22i
dfdddr
3df
d
方程可以化为
这是2阶的贝塞尔方程,它的解是
f(r)H11)1
(1)
式中H表示第一类汉克尔函数,按定义为
H『()
1时,
1eipJp()
sinp
)2p(p1)
Jp()
h¥
)()
rf(r)
当r很大时,
常数
x(r)
另一方面
C1
当kr
sin—
-rH1
(1)
sin(kr0)
散射截面
kr
C2
上述解的条件是
—
2"
cos(kr
C1r
sin(kro)
—k2
亦即要求
2r2
4.用玻恩近似法求粒子在势能U(r)Uoe场中散射时的散射截面。
[解]按玻恩近似法计算微分散射截面的公式
q()
而f()
厂orsinkreF
[见教材(55-23)式]
K2
4ksin—
,为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。
在本题中
f(
re
U(r)U°
e
)2Uo
ore
rsinKre
or(e
iKr
rdr
)dr
iUo
7
iK
~2
xe
2x2
dx
iK一
L
Uo
iK、
而K2
4K2sin
f()2
5•利用玻恩近似法求粒子在势能
U(r)
Ze[£
rb
0,
场中散射的微分散射截面,式中
由势能U(r)的形状容易看出,
aze
rsinKr0r
a2
zes
计算
f()时只需计算由0
a的积分即可。
a2
zesinKrdr
rsinKrdr
ze2
—cosKrK
cosKrr2
cosKadr
r(coska
a2cosKa
sinKrdr
cosKa)
2b
a2cosKa
2a.sinK
Ka
2(1cosKa)
q(
422
芦ze(1
K2ksini
acosKa
2asinKa
K
尸(1cosKa)
6.用玻恩近似法求在势能U(r)
U°
ea(a0)场中散射时的微分散射截面,并讨论
在什么条件下,可以应用玻恩近似法。
[解]
(1)求微分散射截面
0rsinkr
eadr
r,ikr
(e
ikr、
e)e
adr
U0
ik
_r
adr
U。
(1
ika)2
ak)
4a3
162U0a
4^^\4
(1ak)
226
42224
4(14a2k2sin-)4
16
(2)讨论玻恩近似法可以应用的条件。
显然,这个条件是
u()
1。
由教材(55-25)式
(55-26)
u(0)
2U
2k
0V(r)(e2ikr1)dr
U0_2a2k_k2J4a2k2
k24
U0ea(e2ikr1)dr
242
04ak
14ak
4U°
4a
k22
U0a2
这就是玻恩近似法的适用条件。
4a42U
4~
8a2
0V(r)(e2ikr1)dr
14a2k2
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