北京八十中初二上期中数学教师版Word文件下载.docx
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,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= °
.
12.(3分)因式分解:
4ab﹣ab3= .
13.(3分)将一副直角三角板如图所示叠放在一起,则图中∠1= °
14.(3分)如图,AC=DB,欲使△ABC≌△DCB,只需添加一个条件 ,若AC=DB,∠A=∠D=90°
,可利用 判定方法证明△ABC≌△DCB.
15.(3分)若ax=6,ay=4,则a2x﹣3y= .
16.(3分)如图,△ABC中,∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,若点P到AC的距离为4,则点P到AB的距离为 ,推理出结论所用到的理论依据是 .
三、解答题(本题共52分,17-20每题3分,21-24每题4分,252每题5分,27题6分,28题8分)
17.(3分)计算:
(x+4)(4﹣x).
18.(3分)计算:
a5•(﹣a)4﹣(﹣a3)3.
19.(3分)计算:
﹣(﹣2+x)2.
20.(3分)计算:
(2a+3b)(2a﹣b).
21.(4分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,E,F为BD上两点,且BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
22.(4分)已知:
2x﹣y=10,求[(x2+y2)﹣(x﹣y)2+2y(x﹣y)]÷
4y的值.
23.(4分)若一个等腰三角形的周长为36cm,一边长为8cm,求其他两边的长.
24.(4分)如图,∠B=∠C=∠FDE=80°
,DF=DE,BF=1.5cm,CE=2cm,求BC的长.
25.(5分)在△ABC中,AD⊥BC.
求作:
△ABC,使AB=m,BC=n,AD=h.(作出所有满足条件的△ABC)
26.(5分)阅读下列材料:
某同学在计算时3(4+1)(42+1),把3写成4﹣1后,发现可以连续运用平方差公式计算:
3(4+1)(42+1)=(4﹣1)(4+1)(42+1)=(42﹣1)(42+1)=162+1.
请借鉴该同学的经验,计算下面式子的值:
(1+
)(1+
)+
27.(6分)如图,等边三角形AOB,点C为射线OA上一动点,连接BC,以线段BC为边在射线OA同侧作等边三角形△CBD,连接DA.
(1)求证:
△OBC≌△ABD;
(2)在点C的运动过程中,∠CAD的度数是否会变化?
如果不变,请求出∠CAD的度数;
如果变化,请说明理由.
28.(8分)在△ABC中,∠C=90°
,AC>BC,D是AB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)当点E在线段AC时,依题意补全图1,用等式表示线段AE+BF与EF的大小关系,并证明.
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE+BF与EF的大小关系,并证明.
2020北京八十中初二(上)期中数学
参考答案
1.【分析】根据幂的乘方,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方性质,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、(a2)3=a6,此选项正确;
B、a3•a4=a7,此选项错误;
C、a8÷
a2=a6,此选项错误;
D、(3a)3=27a3,此选项错误.
故选:
A.
【点评】本题考查了幂的乘方,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方性质,理清指数的变化是解题的关键.
2.【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析.
A、2+3=5,不能构成三角形,不符合题意;
B、3+3<7,不能构成三角形,不符合题意;
C、5+4<10,不能够组成三角形,不符合题意;
D、5+8=13>12,能构成三角形,符合题意;
D.
【点评】此题主要考查了三角形三边关系,根据第三边的范围是:
大于已知的两边的差,而小于两边的和是解决问题的关键.
3.【分析】根据全等三角形的性质,全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等,即可进行判断.
∵△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,
∴AB=AC,∠BAE=∠CAD,BE=DC,AD=AE,
故A、B、C正确;
AD的对应边是AE而非DE,所以D错误.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质,根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键.
4.【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式,从而可判断求解.
A、m3﹣m=m(m2﹣1)=m(m﹣1)(m+1),故此选项正确;
B、x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2),故此选项错误;
C、2a2+ab+a=a(2a+b+1),故此选项错误;
D、x2﹣y2=(x﹣y)(x+y),故此选项错误;
【点评】本题主要考查提公因式法与公式法分解因式综合运用,能熟练地运用提公因式法分解因式是解此题的关键.
5.【分析】根据∠A:
5,可设∠A=x°
,∠B=3x°
,∠C=5x°
,再根据三角形内角和为180°
可得方程x+3x+5x=180,解方程算出x的值,即可判断出△ABC的形状.
∵∠A:
5,
∴设∠A=x°
,
∴x+3x+5x=180,
解得:
x=20,
∴∠C=5×
20°
=100°
∴△ABC是钝角三角形,
C.
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理,关键是利用方程思想列出三个角的关系式.
6.【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE,又CD=BC,∠ACB=∠DCE,由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC.
∵BF⊥AB,DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC,∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC(ASA)
B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法;
需注意根据垂直定义得到的条件,以及隐含的对顶角相等,观察图形,找着隐含条件是十分重要的.
7.【分析】把a﹣
进行平方,然后整理即可得到a2+
的值.
∵a﹣
=1,
∴a2﹣4+
∴a2+
=4+1=5.
【点评】本题考查了完全平方公式,关键是把a﹣
平方后乘积二倍项不含字母,这就要求同学们在学习时要仔细观察,灵活运用.
8.【分析】由AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥AG,可以得到∠EAF=∠ABG,而AE=AB,∠EFA=∠AGB,由此可以证明△EFA≌△ABG,所以AF=BG,AG=EF;
同理证得△BGC≌△DHC,GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积.
∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH,
∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°
∵∠EAF+∠BAG=90°
,∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EAF=∠ABG,
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG,
∴△EFA≌△AGB,
∴AF=BG,AG=EF.
同理证得△BGC≌△CHD得GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=
(6+4)×
16﹣3×
4﹣6×
3=50.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识,是中考常见题型.
9.【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可.
x5•x2=x5+2=x7.
故答案为:
x7
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
10.【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°
计算;
根据多边形的外角和等于360°
计算.
设这个多边形为n边形,
(n﹣2)•180=900,
n=7;
∵一个多边形的每一个内角都等于120°
∴这个多边形的每一个外角都等于60°
∴360÷
60=6;
七,六.
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和,掌握多边形的内角和公式(n﹣2)•180°
是解题的关键.
11.【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线,然后根据角平分线的定义解答即可.
∵QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,QC=QD,
∴OQ是∠AOB的平分线,
∵∠AOB=70°
∴∠AOQ=
∠A0B=
×
70°
=35°
35.
【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义,根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键.
12.【分析】先提取公因式ab,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
4ab﹣ab3=ab(4﹣b2)=ab(2﹣b)(2+b).
ab(2﹣b)(2+b).
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.
13.【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
如图,∵∠ABC=30°
,∠BCD=45°
∴∠1=∠ABC+∠BCD=30°
+45°
=75°
75.
【点评】本题考查了三角形外角的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
14.【分析】添加一个条件AB=DC可以利用SSS定理证明△ABC≌△DCB;
可以利用HL定理证明△ABC≌△DCB.
添加一个条件AB=DC;
在△ABC≌△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SSS);
在Rt△ABC与Rt△DCB中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL);
AB=DC;
HL.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
15.【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法运算性质计算即可.
∵ax=6,ay=4,
∴a2x﹣3y
=
【点评】本题考查了同底数幂的除法,幂的乘方,熟记法则是解题的关键.
16.【分析】过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH,从而得解.
如图,过点P作PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,PH⊥AB于H,
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,
∴PF=PG=4,PG=PH,
∴PF=PG=PH=4.
推理出结论所用到的理论依据是角平分线的性质,
4,角平分线的性质.
【点评】本题考查了角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键.
17.【分析】直接利用平方差公式计算即可.
(x+4)(4﹣x)
=(4+x)(4﹣x)
=16﹣x2.
【点评】本题考查平方差公式,掌握平方差公式的熟练应用.
18.【分析】原式利用同底数幂的乘法法则计算,合并即可得到结果.
a5•(﹣a)4﹣(﹣a3)3
=a9+a9
=2a9.
【点评】本题考查了积的乘方,同底数幂的乘法,熟记法则是解题的关键.
19.【分析】根据完全平方公式:
(a±
b)2=a2±
2ab+b2,将所求式子展开即可.
﹣(﹣2+x)2=﹣(4+x2﹣4x)=﹣4﹣x2+4x.
【点评】本题考查完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
20.【分析】用多项式乘以多项式法则计算即可.
原式=4a2﹣2ab+6ab﹣3b2
=4a2+4ab﹣3b2.
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算,掌握运算法则,合并同类项是解题关键
21.【分析】根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF,进而利用SAS证明△ABE≌△CDF即可.
【解答】证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
【点评】本题考查三角形全等的判定求解,熟练掌握性质和判定定理并灵活运用是解题的关键.
22.【分析】先算括号内的乘法,再合并同类项,算除法,最后变形后代入求出即可.
∵2x﹣y=10,
∴[(x2+y2)﹣(x﹣y)2+2y(x﹣y)]÷
4y
=[x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2]÷
=(4xy﹣2y2)÷
=x﹣
y
(2x﹣y)
=5.
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键,用了整体代入思想.
23.【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为8cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
∵当腰为8cm时,
底边长是36﹣8﹣8=20(cm),
又∵8+8<20,
不能构成三角形;
当底为8cm时,
三角形的腰是(36﹣8)÷
2=14(cm),
∴其他两边长为14cm,14cm.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;
已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
24.【分析】根据三角形的内角和及平角的定义推出∠BDF=∠CED,即可利用AAS证明△BDF≌△CED,根据全等三角形的性质即可得解.
∵∠C=∠FDE=80°
∴∠CED+∠CDE=100°
,∠CDE+∠BDF=100°
∴∠BDF=∠CED,
在△BDF和△CED中,
∴△BDF≌△CED(AAS),
∴BD=CE,BF=CD,
∵BF=1.5cm,CE=2cm,
∴BC=BD+CD=2+1.5=3.5cm.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键.
25.【分析】作图步骤如下:
(1)作直线EF;
(2)作EF的垂线MN交EF于点D;
(3)在DM上截取DA=h;
(4)以点A为圆心,以m长为半径画弧交EF于点B;
(5)以点B为圆心,以n长为半径画弧交EF于C,C'
;
(6)连接AB,AC,AC'
,则△ABC和△ABC'
即为所求.
【点评】本题考查尺规作图,熟练在尺规法作三角形,并保留作图痕迹是关键.
26.【分析】根据平方差公式计算即可.
原式=2(1﹣
)+⋯+
=2×
(1﹣
=2﹣
+
=2.
【点评】本题主要考查了平方差公式,掌握平方差公式的熟练应用,读懂材料是解题关键.
27.【分析】
(1)根据等边三角形的性质得出OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC=60°
,进而得出∠OBC=∠ABD,即可利用SAS证明△OBC≌△ABD;
(2)根据等边三角形的性质得到∠BOA=∠OAB=60°
,根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BOC=60°
,再根据平角的定义得出∠CAD=60°
【解答】
(1)证明:
∵△AOB,△CBD都是等边三角形,
∴OB=AB,CB=DB,∠ABO=∠DBC=60°
∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC,
即∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,
∴△OBC≌△ABD(SAS);
(2)在点C的运动过程中,∠CAD的度数不变,为60°
,理由如下:
∵△AOB是等边三角形,
∴∠BOA=∠OAB=60°
由
(1)知△OBC≌△ABD,
∴∠BAD=∠BOC=60°
∴∠CAD=180°
﹣∠OAB﹣∠BAD=60°
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质,熟记全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质是解题的关键.
28.【分析】
(1)补全图形如图1,延长FD到H,使DH=DF,连接AH,EH,利用SAS证明△BDF≌△ADH,得到BF=AH,∠B=∠DAH,等量代换得到∠EAH=90°
,根据等腰三角形三线合一的逆定理得出EH=EF,再根据勾股定理得结果;
(2)过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△ADE≌△BDM得AE=BM,DE=DM,由垂直平分线的判定定理得EF=MF,进而根据勾股定理得结论.
(1)补全图形如图1,AE2+BF2=EF2,理由如下:
延长FD到H,使DH=DF,连接AH,EH,
∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
在△BDF和△ADH中,
∴△BDF≌△ADH(SAS),
∴BF=AH,∠B=∠DAH,
∵DF⊥DE,DF=DH,
∴EH=EF,
在△ABC中,∠C=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∴∠DAH+∠BAC=90°
即∠EAH=90°
在Rt△EAH中,AE2+AH2=EH2,
∴AE2+BF2=EF2;
(2)补全图形如图2,AE2+BF2=EF2,理由如下:
证明:
过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,
则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90°
∵D点是AB的中点,
在△ADE和△BDM中,
∴△ADE≌△BDM(AAS),
∴AE=BM,DE=DM,
∵DF⊥DE,
∴EF=MF,
∵BM2+BF2=MF2,
∴AE2+BF2=EF2.
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,垂直平分线的判定,关键在于构造全等三角形.
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