新人教八年级数学上册第十三章轴对称导学案.docx
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新人教八年级数学上册第十三章轴对称导学案
第十三章轴对称
13.1轴对称
(1)导学案
一、学习目标:
1.理解轴对称图形及轴对称的定义,认识轴对称与全等的关系,了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,发展学生的观察、归纳、想象能力。
3.激情投入,快乐学习,感受对称美。
二、重点难点
重点:
对轴对称图形与轴对称概念的理解
难点:
轴对称图形与轴对称的联系与区别
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1、在一张半透明的纸上画△ABC,使AB=AC,作BC上的高AD,沿直线AD折叠,直线两旁的部分重合吗?
轴对称图形的定义:
叫做轴对称图形,这条直线叫做它的
2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系,并描出点A(-1,3)、B(-2,-4)、C(-3,-1)、
A1(1,3)、B1(2,-4)、C1(3,-1),画出△ABC和△A1B1C1,沿y轴折叠,这两个三角形重合吗?
轴对称的定义:
那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做,折叠后重合的点是对应点,叫做。
3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗?
把其中的△A1B1C1向下平移一个单位,得到△A2B2C2,△ABC和△A2B2C2全等吗?
折一折,△ABC和△A2B2C2成轴对称吗?
轴对称与全等的关系:
两个图形成轴对称,则它们一定;两个图形全等,
成轴对称。
4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗?
区别:
联系:
四、精讲精练
例1下列图案中,不是轴对称图形的是()
例2、下面四组图形中,右边与左边成轴对称的是()
A.
B.
C.
D.
例3、仔细观察下列图案,并按规律在横线上画出合适的图形
_________
例4、在镜中看到的一串数字是“
”,则这串数字是。
例5、下列图形中对称轴最多的是()
A、圆B、正方形C、等腰三角形D、线段
练习
1、在实际生活中,轴对称无处不在,请你用给定的图形“○○,△△,————”(两个圆,两个三角形,两条线段)为构件,尽可能多地构思独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形,并写出一两句诙谐、贴切的解说词。
如:
2、如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,
则所得图形大致是()
3、写出10个“轴对称”的汉字,如“十、中”。
5、课堂小结:
轴对称图形及轴对称的定义
13.1轴对称
(2)导学案
一、学习目标:
1、了解线段的垂直平分线的定义,了解轴对称的性质及轴对称图形的性质,掌握垂直平分线的性质,了解线段垂直平分线的画法。
2、发展学生观察、归纳及推理能力。
3、极度热情,全力以赴,享受成功。
二、重点难点
垂直平分线的性质
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1、如图1,△ABC和△A1B1C1关于y轴对称,点A的对应点是,y轴经过线段AA1的中点吗?
y轴垂直线段AA1吗?
线段的垂直平分线的定义:
,叫做这条线段的垂直平分线。
2、在图1中,y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗?
轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的。
类似地,轴对称图形的性质:
轴对称图形的对称轴,是的垂直平分线。
3、1)在一张半透明的纸上画线段AB,用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线CD,在CD上任取一点P,连结PA、PB,量一量PA、PB的长,你有什么发现?
沿直线CD对折,线段PA、PB重合吗?
垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段的距离相等。
你能证明这个性质吗?
2)、在一张纸上线段AB及点P1、P2,使P1A=P1B,P2A=P2B,再画线段AB的垂直平分线CD,你又有什么发现?
垂直平分线的性质:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
你能证明这个性质吗?
4、有一条线段AB,怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线?
你能说说其道理吗?
四、精讲精练
作出下列图形的对称轴。
例2、如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点,线段MN交OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm,求线段MN的长。
例3、△ABC中,DE是AC的垂直平分线,垂足为E,
交AB于点D,AE=5cm,△CBD的周长为24cm,
求△ABC的周长。
精练:
某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.
(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?
在所给的图形中画出你的设计方案;
(2)阐述你设计的理由.
五、课堂小结:
垂直平分线的定义,轴对称的性质及轴对称图形的性质
13.2.作轴对称图形
(1)导学案
一、学习目标:
1、能作轴对称图形,能应用轴对称进行简单的图案设计,能用轴对称的知识解决相应的数学问题。
2、通过独立思考、交流讨论、展示质疑,发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。
3、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。
二、重点难点
重点:
作轴对称图形
难点:
用轴对称知识解决相应的数学问题。
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1、复习回顾:
线段公理;垂直平分线的性质。
2、自己动手在一张半透明的纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?
改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么?
归纳:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的 、________完全相同;
(2)新图形上的任意一点,都是原图形上某一点关于直线l的__________;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。
3、把图1补成关于直线l对称的图形
四、精讲精练
例1、如图2,如何在直线l上找一点P,使线段PA与PB的和最小?
练习:
1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。
2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽的图案。
例2、要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水(如图)。
修在河边什么地方,可使所用水管最短?
试在图中确定水泵站的位置,并说明你的理由。
练习1.城北中学八⑵班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子,再到OB桌面上拿糖果,然后回到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短。
2.开展你的想象,从一个或几个图形出发,利用轴对称或与平移进行组合,设计出一个图案,并与同学进行交流。
5、课堂小结:
13.2用坐标表示轴对称
(2)导学案
一、学习目标:
1、掌握一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律,并能利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
2、培养学生探索问题的能力,发展学生数形结合的思维意识。
3、激情参与,阳光展示。
二、重点难点
重点:
1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.
2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.
难点:
用坐标表示轴对称.
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1.如图一
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系?
(2)已知右边圆脸右眼B的坐标为(4,3),左眼A的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点C的坐标为(4,1),左端点D的坐标为(2,1).
请根据图形写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标
A1____________;B1______________;C1_____________;D1_____________
(3)A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。
四、精讲精练
例1、将一个点的纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系是;
将一个点的横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到的点与原来的点的位置关系是。
例2、已知点A(m+2,3)、B(-5,n+6)关于y轴对称,则m=,n=
例3、若点P(a,3)和P1(2,b)关于x轴对称,则方程ax+b=0的解为。
例4、已知点A(2m+1,m-3)关于y轴的对称点在第四象限,则m的取值范围是。
例5、若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A(a,b)关于x轴对称的点为B,点B关于y轴对称的点为C,则点C的坐标是。
例6、
(1)请画出
关于
轴对称的
(其中
分别是
的对应点,不写画法);
(2)直接写出
三点的坐标.
(3)△ABC的面积为
练习:
o
1、如图,每个小正方形的边长都是1,分别作出
△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=–1
(记为n)对称的图形。
它们的对应点的坐标之间
分别有什么关系?
2、若点P(a,b)、Q(c,d)两点关于直线x=2对称,则a、c间的关系是,b、d间的关系是;
若点P(a,b)、Q(c,d)两点关于直线y=–2对称,则a、c间的关系是,b、d间的关系是。
五、课堂小结:
1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)
2、对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形。
13.3等腰三角形
(1)导学案
一、学习目标:
1、巩固等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质,并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
2、通过独立思考,交流合作,体会探索数学结论的过程,发展推理能力。
3、激情投入,收获成功。
二、重点难点
学习重点:
等腰三角形性质的探索及应用
学习难点:
等腰三角形性质的应用
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1、复习回顾:
.三角形全等的判定方法
.有两条边相等的三角形,叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角
2、用剪刀按照49页介绍的方法,剪出一个等腰三角形,想一想,它是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折,找出重合的线段和角,由此你发现了等腰三角形的哪些性质?
性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
你能证明这两个性质吗?
4、填空:
如图1,在△ABC中
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD∴BD=,⊥。
∵AB=AC,BD=CD∴∠BAD=,⊥.
∵AB=AC,AD⊥BC∴∠BAD=,BD=.
四、精讲精练
例1、如图2,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数。
.
例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为。
例3、如图3,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,
且AD=AE.
求证:
BD=CE
练习:
1、如图4,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD,垂足为点M
求证:
CM=DM
2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o,则底角为。
3、如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=30o,BF=CE,BD=CF,
求∠DFE的度数。
五、课堂小结:
腰三角形的哪些性质?
性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
13.3等腰三角形
(2)导学案
一、学习目标:
1、掌握等腰三角形的判定方法,并能灵活运用解决实际问题;
2、通过独立思考,交流讨论,发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力;
3、极度热情,高度责任,享受学习的快乐;
二、重点难点
学习重点:
等腰三角形的判定方法
学习难点:
等腰三角形的判定和性质的区别,等腰三角形的判定的应用。
使用说明:
先由学生自学课本51页练习以后至53页练习,经历自主探索总结的过程,然后独立认真完成学案,用红笔标记出疑点与盲点,以备上课时展示和质疑。
三、合作探究(同学合作,教师引导)
1、复习回顾:
等腰三角形的性质,平行线的性质,三角形全等的判定
2、用直尺和量角器画△ABC,使∠B=∠C,再用刻度尺量一量线段AB、AC的长,你有什么发现?
猜想:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也想等。
3、你能验证2中的猜想吗?
已知:
如图在△ABC中,∠B=∠C
求证:
AB=AC
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也想等(简写成:
等角对等边”)。
4、等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系?
区别:
联系:
四、精讲精练
例1.如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OC=OD,
求证:
OA=OB
例2.求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。
精练:
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36O,D、E是BC上的两点,
且∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中的等腰三角形共有()个。
A.3个B.4个C.5个D.6个
2.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F
求证:
EF=EB+FC.
5、课堂小结:
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也想等(简写成:
等角对等边)
补充练习:
如图:
E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE。
求证:
△ABC是等腰三角形(提示:
过点D作AE的平行线)。
13.3等边三角形
(1)导学案
一、学习目标:
1.掌握含30o角的直角三角形的性质,并能灵活运用这一性质解决实际问题。
2.培养学生的推理能力和数学语言表达能力.
3.感受数学的严谨性,激发学生的好奇心和求知欲。
二、重点难点:
重点:
含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用.
难点:
含30°角的直角三角形的性质定理的证明。
三、合作探究
1.复习回顾:
等边三角形的性质与判定
2.问题:
用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
3.由2你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗?
4.由3,我们得到下面的性质定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
5.
填空:
如右图,在△ABC中,
∵∠C=90o,∠A=30o
∴BC=
()
四精讲精练
例1、如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?
例2、等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,则腰上的高为。
精练:
1.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,
∠A=30°.
求证:
BD=
AB.
2.如图, △ABC为等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,
且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F
求证:
BP=2PF
五、课堂小结
直角三角形中,30度叫所对直角边等于斜边的一半
六、作业
1、如图:
等边三角形ABC的边长为4cm,点D从点C出发沿CA向A运动,点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动,已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动,运动过程中DE与BC相交于点P
(1).运动几秒后,△ADE为直角三角形?
(2).求证:
在运动过程中,点P始终为线段DE的
中点。
(提示:
过点D作AF的平行线)
第十三章轴对称复习导学案
学习目标:
1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质。
2.结合生活实例,欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象,感受对称的美学价值,体验几何图形与自然、社会、人类的生活,增强学习数学的兴趣。
3.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用。
4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。
5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形,初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的轴对称图案。
重点:
掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。
难点:
轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用,镜面对称下图形的变化。
导学过程:
课前预习与导学
欣赏下面几张美丽的图片,回顾本单元的知识结构
1.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线,两侧的图形能够,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做______。
图形上能够重合的点叫。
分别在上面图形中画出它们的对称轴。
2.轴对称:
欣赏下面几幅图片,并完成问题。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成,这条直线叫做。
两个图形中的对应点叫。
如图,写出一对对称点是。
3.轴对称的性质
上图中点A和F的连线与直线MN有什么样的关系?
同理,点C和D,点B和E的连线也被直线MN,图中相等的线段有:
,相等的角有:
。
可以概括为:
如果两个图形关于某条直线成轴对称,那么对应点的连线被对称轴,对应线段,对应角。
4.欣赏下面的图片,完成对镜面对称的回顾。
一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示,你能确定该车车牌的号码吗?
在照镜子时,镜子外的物体和镜子内的成像不变,
发生相反变化。
5.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
6.角的平分线的性质
角的平分线的性质上的点到的距离相等。
7.等腰三角形的性质
等腰三角形是图形,它的对称轴是,
等腰三角形的两个底角,互相重合。
等边三角形的各角都是,有条对称轴。
课上探究
激情导入:
送一句话给全体同学
对称是一种思想,通过它,人们毕生追求,并创造次序、美丽和完善……
------赫尔曼·外尔
一、独立完成发现问题(自主学习)
1.自主梳理
(一)轴对称和轴对称图形的联系和区别
区别:
轴对称是两个图形能沿对称轴折叠后能重合,指的是个图形的位置关系。
而轴对称图形是指个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合,指的是具有对称性的个图形。
联系:
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形。
如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两部分图形就成轴对称。
(二)线段垂直平分线的性质应用:
三角形三边垂直平分线的交点到
距离相等。
(三)角的平分线的性质应用:
三角形三个内角平分线的交点到距离相等。
(四)等腰三角形的三线合一性是指:
。
2.自我诊断:
(1)下列说法中,正确的个数是()
①轴对称图形只有一条对称轴,②轴对称图形的对称轴是一条线段,③两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,④全等的两个图形一定成轴对称,⑤轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言。
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(2)轴对称图形的对称轴的条数()
(A)只有一条 (B)2条 (C)3条 (D)至少一条
(3)下列图形中,不是轴对称图形的是()
(A)两条相交直线(B)线段
(C)有公共端点的两条相等线段(D)有公共端点的两条不相等线段
(4)下列图案是几种名车的标志,在这几个图案中是轴对称图形的共有()
丰田三菱雪佛兰雪铁龙
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4
(5)下列图形是不是轴对称图形?
如果是轴对称图形的,说出对称轴的条数.
(6)小强站在镜前,从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是__________。
(7)等腰三角形两腰分别为3和7,那么它的周长为()
(A)10(B)13(C)17(D)13或17
(8)到三角形三个顶点距离相等的是()
(A)三边高线的交点(B)三条中线的交点
(C)三条垂直平分线的交点(D)三条内角平分线的交点
(9)等腰△ABC中∠A=80°,若∠A是顶角,则∠B=______°;若∠B是顶角,则∠B=_______°;若∠C是顶角,则∠B=________°
(10)△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为()
(A)300(B)360(C)450(D)700
(11)如果△ABC与△A/B/C/关于直线MN对称,且∠A=500,∠B/=700,那么∠C/=____。
自我总结:
你对以上问题感到还有疑惑的是:
,
是哪个知识点没有掌握好呢?
。
二、合作探究解决问题
小组合作解决以下问题:
(12)如图:
由四个小正方形组成的图形中,请你添加一个小正方形,
使它成为一个轴对称图形
(13)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A`B`C`
(14)如图,A、B是安达公路边两个新建的居民小区,某镇需在公路边增加一个公共汽车站,这个公共汽车站建在什么位置,才能使两个小区到车站的路程一样,找出汽车站的位置并说明理由。
(15)哪些英文字母在镜中的像与原字母一样?
哪些发生了改变?
说说它们的对称性。
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
(16)数的运算中会有一些有趣的对称形式,如12×231=132×21,仿照这一形式,写出下列等式,并演算:
12×462=,18×891=。
自我反思
在以上问题中,你对那个问题巩固的最扎实?
那个问题你是接受了同学的帮助?
你有哪些新的收获?
。
三、精讲点拨完善问题
(17)在矩形ABCD中,将△ABC绕AC对折至△AEC
位置,CE与AD交于点F,如图.试说明EF=DF.
(18)如图,己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=49º,求△BCE的周长和∠EBC的度数.
我的收获:
说明两条线段相等可以运用的方法主要是:
1.
2.
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