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即Sn=a1
当q≠1时,有Sn=,
注意:
错位相减法,合比定理法,拆项法及an与Sn的关系的应用,在今后解题中要时常用到,要领会这些技巧.
错位相减法适用于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求{an•bn}的前n项和.
等比数列前n项和公式的应用
衡量等比数列的量共有五个:
a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时,这五个量中只要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量.
公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分q=1和q≠1的讨论.
等比数列前n项和公式与函数的关系
当公比q≠1时,令A=,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函数.
当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
等比数列前n项和公式
等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn==;
当q=1时,Sn=.
推导等比数列前n项和公式的方法是.
公式特点
若数列{an}的前n项和Sn=p,且q≠0,q≠1,则数列{an}为
在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量,在这五个量中知 求.
[答案] 1.
na1 错位相减法
等比数列 三 二
思路方法技巧
命题方向 等比数列前n项和公式的应用
[例1] 设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
[分析] 应用等比数列前n项和公式时,注意对公比q的讨论.
[解析] 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
当q≠1时,=3a1q2,
因为a1≠0,所以1-q3=3q2,
q3-3q2+1=0,2=0,
解得q=-.
综上所述,公比q的值是1或-.
[说明] 在等比数列中,对于a1,an,q,n,Sn五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量.
等比数列前n项和问题,必须注意q是否等于1,如果不确定,应分q=1或q≠1两种情况讨论.
等比数列前n项和公式中,当q≠1时,若已知a1,q,n利用Sn=来求;
若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1 在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
[解析] ∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3,∴q≠1.
=
①
∴
②
②÷
①得 1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①,得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向 等比数列前n项的性质
[例2] 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
[分析] 利用等比数列前n项的性质求解.
[解析] ∵{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
∴2=Sn
∴S3n=+S2n=+60=63.
[说明] 等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2 等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4.
[解析] 解法一:
∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,
∴2=7×
,解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2>
0,
∴S4=28.
解法二:
∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±
.
当q=时,a1=,
∴S4==28.
当q=-时,a1=-,
探索延拓创新
命题方向 等比数列前n项和在实际问题中的应用
[例3] 某公司实行股份制,一投资人年初入股a万元,年利率为25%,由于某种需要,从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
分别写出年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和;
写出第n年年底,此投资人的本利之和bn与n的关系式;
为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标,若a=395,则x的值应为多少?
[解析] 年年底本利和为a+a•25%=1.25a,
第二年年底本利和为+×
25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为+25%=1.253a-x.
第n年年底本利和为
bn=1.25na-x.
依题意,有
5×
1.2520-x=4×
395,
∴x=
=.
设1.2520=t,∴lgt=20lg=20=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房,银行货款的年利息为10%,按复利计算.若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?
[解析] 第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
XX0-x=XX0×
1.1-x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行[XX0-x]-x
=XX0×
1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后,还欠银行XX0×
1.110-1.19x-1.18x-…-x,
依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得
XX0×
1.110-x=0,
解得x=≈3255.
名师辨误做答
[例4] 求数列1,a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
[误解] 所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
[辨析] 所给数列除首项外,每一项都与a有关,而条件中没有a的范围,故应对a进行讨论.
[正解] 由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项,2项,3项,4项,……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时,Sn=1.②当a=1时,Sn=.③当a≠0且a≠1时,Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=
A.2B.4c.D.
[答案] c
[解析] 由题意得==.故选c.
等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为
A.-2B.1c.-2或1D.2或-1
[解析] 由题意可得,a1+a1q+a1q2=3a1,
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
等比数列{2n}的前n项和Sn=
A.2n-1B.2n-2c.2n+1-1D.2n+1-2
[答案] D
[解析] 等比数列{2n}的首项为2,公比为2.
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
若数列{an}满足:
a1=1,an+1=2an,则a5=;
前8项的和S8=.
[答案] 16 255
[解析] 考查等比数列的通项公式和前n项和公式.
q==2,a5=a1•q4=16,
S8==28-1=255.
在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
[答案] 3
[解析] ∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,
两式相减,得a3-a4=-2a3,
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3•a5=64,求数列{an}的前8项和.
设数列{an}的公比为q,根据通项公式an=a1qn-1,由已知条件得
a6-a4=a1q3=24,①
a3•a5=2=64,②
∴a1q3=±
8.
将a1q3=-8代入①式,得q2=-2,没有实数q满足此式,故舍去.
将a1q3=8代入①式,得q2=4,∴q=±
2.
当q=2时,得a1=1,所以S8==255;
当q=-2时,得a1=-1,所以S8==85.
因为{an}是等比数列,所以依题意得
a24=a3•a5=64,
∴a4=±
8,a6=24+a4=24±
8.
因为{an}是实数列,所以>0,
故舍去a4=-8,而a4=8,a6=32,从而a5=±
=±
16.
公比q的值为q==±
2,
当q=2时,a1=1,a9=a6q3=256,
∴S8==255;
当q=-2时,a1=-1,a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为
A.81B.120c.168D.192
[答案] B
[解析] 公式q3===27,q=3,a1==3,
S4==120.
已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=
A.-4B.-1c.0D.1
[解析] 设等比数列为{an},由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1•a3,
即144=×
48,∴a=-1.
已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于
A.31B.33c.35D.37
S5===1
∴a1=
∴S10===33,故选B.
∵a1+a2+a3+a4+a5=1
∴a6+a7+a8+a9+a10=•q5=1×
25=32
∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
已知等比数列{an}中,公比q是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为
A.514B.513c.512D.510
[答案] D
a1+a1q3=18
[解析] 由已知得,
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数,∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=
A.B.c.D.
[解析] 设公比为q,则q>
0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,
∴q=或q=-,
∴a1==4.
∴S5==8=.
在等比数列{an}中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为
A.2-B.2-c.2-D.2-
[解析] ∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.
∴S10==2[1-10]=2-,故选B.
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于
A.2 B.-2 c. D.-
[答案] A
S3==3,
[解析]
S6==27,
得=9,解得q3=8.
∴q=2,故选A.
正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前10项和是
A.65B.-65c.25D.-25
[解析] ∵{an}为正项等比数列,a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,
解得q=.
∴an=a3qn-3=n-3=33-n,
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10===-25.
等比数列,-1,3,…的前10项和为.
[答案] -
[解析] S10==-.
0.在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=;
a1+a2+…+an=.
[答案] 2,2n-1-
[解析] 本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前n项和公式可解得.
=q3==8,所以q=2,所以a1+a2+……+an==2n-1-.
n-1
1.已知数列{an}中,an=,则a9=.
n-1
设数列{an}的前n项和为Sn,则S9=.
[答案] 256 377
[解析] a9=28=256,
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
在等比数列{an}中,已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.
[答案] ×
4n-
[解析] ∵a1+a2+…+an=2n-1,
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1,
两式相减,得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,
∴a2n=2=22n-2=4n-1,
∴a21+a22+…+a2n==×
4n-.
3.在等比数列{an}中,已知a3=1,S3=4,求a1与q.
S3==4
[解析] 若q≠1,则,
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
若q=1,则,∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得,或.
a1=6a1=1
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
[分析] 设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.
[解析] 设{an}的公比为q,由已知有:
a1q=6a1=3a1=2
解得或
a1+a1q2=30q=2q=3
当a1=3,q=2时,
an=a1•qn-1=3×
2n-1
Sn===3×
当a1=2,q=3时,an=a1•qn-1=2×
3n-1
Sn===3n-1.
综上,an=3×
2n-1,Sn=3×
或an=2×
3n-1,Sn=3n-1.
已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
求数列{an}的通项公式;
数列{an}的前n项和记为Sn,证明:
SnT10,故王明选择了A公司
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