河南省洛阳市高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案docWord文档格式.docx
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.21
6.在正方体ABCD
A1B1C1D1中,E为棱AB的中点,F是棱BB1上的点,且
BF:
FB1
1:
3,则异面直线
EF与AD1
所成角的余弦值为(
A.
10
.15
C.310
D.
15
5
7.若正数
a,b满足ab
2a
b
0,则ab的最小值为(
A.22
B.4
.8D.9
8.“k3
”是“方程
x2
y
k
1表示图形为双曲线”的(
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不
必要条件
9.在中,角A,B,C所对的边分别是
a,b,c,若bx
ycosAsinB
0与
ax
ycosB
cosB
0平行,则
ABC一定是(
A.等腰直角三角形
.直角三角形
.等腰或直角三角形
.等腰三角
形
10.已知平行六面体
ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,
AA1
1,
A1ABA1AD
1200,则AC1与底面ABCD所成角的正弦值为(
A.310
C.
D.1
y2
1的焦点分别为
F1,F2,弦AB过F1,若ABF2的内切圆面积为
,A,B
11.椭圆
9
两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|x1x2
|的值为(
A.6
.3
C.9
D.3
12.已知数列{an}满足a1
4且a1
a2
an
an1,设bn
log2
an,则
1
的值是(
b1b2
b2b3
b2017b2018
A.2017
.3025
.2017
.2016
4038
4036
2018
2017
二、填空题(每题
4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.各项为正数的等比数列
{an}中,a2与a9的等比中项为22
,则
log4a3
log4a4
log4a8
.
14.若命题“a满足2a
1”为真命题,则实数
a的取值范围是.
15.若双曲线x2
1(a
0,b0)
的渐近线方程是y
1x,则双曲线的离心率
b2
为.
16.下列命题:
(1)已知a
(x,
5,1
x),b
(3,2
x,2),且a与b的夹角为钝角,则
x的取值范围是
(,);
(2)已知向量
p在基底{a,b,c}下的坐标是(2,1,3),则向量p在基底{a
b,c
b,ac}下
的坐标为(3,2,
1)
;
()在三棱锥
A
BCD
中,各条棱长均相等,
E
是
BC
的中点,那么AE
AECD;
(4)已知三棱锥
BCD,各条棱长均相等,则其内切球与外接球的体积之比为
1:
27.
其中真命题是
(填序号)
三、解答题(本大题共
6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)
17.已知a,b,c分别是
ABC的三个内角
A,B,C的对边,S是
ABC的面积,
4Sa2
(bc)2,且bc6.
(1)求角A的大小;
(2)求ABC的面积S的最大值.
18.已知动点P在抛物线x2
2y上,过点P作x轴的垂线,垂足为
H,动点Q满足
PQ
1PH.
(1)求动点Q的轨迹E的方程;
(2)过点M(0,1)的直线l交轨迹E于A,B两点,设直线OA,OB的斜率为k1,k2,求
k1
k2的值.
19.已知数列{an}中,a1
1,an1
(n
N*).
an4
(1)求证:
{1
1}是等比数列,并求
{an}d通项公式an;
(2)数列{bn}满足bn
(4n
1)n
1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
3n
20.精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保
障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中,准备投入资金将当地农产品进行二次加
工后进行推广促销,预计该批产品销售量
w万件(生产量与销售量相等)与推广促销费
x万
元之间的函数关系为w
x3
(其中推广促销费不能超过
5千元).已知加工此农产品还要
投入成本3(w
3)万元(不包括推广促销费用)
,若加工后的每件成品的销售价格定为
w
(4
30)元/件.
(1)试将该批产品的利润
y万元表示为推广促销费
x万元的函数;
(利润=销售额-成本-
推广促销费)
(2)当推广促销费投入多少万元时,此批产品的利润最大?
最大利润为多少?
21.在三棱锥PABC中,AB
AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落
在线段AD上,已知BC4,PO3,AO
2,OD
1.
(1)证明:
AP
BC;
(2)在线段AP上是否存在一点
M,使得二面角
AMCB为直二面角?
若存在,
求出AM的长;
若不存在,请说明理由.
22.设圆x2
y2
4x320的圆心为A,直线l过点B(
2,0)且与x轴不重合,l交圆A
于C,D两点,过
B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明:
|EA||EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,O为坐标原点,求
OMN面积
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CDABC
6-10:
ACADC
11-12:
DB
二、填空题
516.
(2)(4)
13.14.(1,2]615.
三、解答题
17.解:
(1)已知4Sa2(bc)2
∴2bcsinA
c2
2bc
由余弦定理a2
c2
2bccosA
得2bcsinA2bc2bccosA∴sinAcosA1
∴A900,即A的大小为900.
(2)由
(1)知S1bc
∵bc6,
∴S
1bc
1(bc)2
当且仅当b
c
3时,
ABC面积的最大值为.
18.解:
(1)设Q(x,y),P(x0,y0),则H(x0,0)
∴PQ
(x
x0,y
y0),PH
(0,
y0),
1PH,∴
x
x00
x0
∵PQ
,∴
y0
而x02
2y0,
∴x2
2y.
(2)由题意知直线
l的斜率存在,设为
k,直线l的方程为y
kx1,设A(x1,y1),
B(x2,y2),
由x2
3y
得x2
3kx3
0,
kx
∴
(3)2
12
,x1
3k,x1x2
∴y1
(x1x2)
∴k1
k2
y1
x1
,
故k1
k2的值为.
19.解:
(1)∵an
(n
N*)
∴1
4(nN*)
4(1
1),(nN*)
∵a1
1,
4,
a1
∴{1
1}是以4为首项,以
4为公比的等比数列
4n1,
4n
∴an
,(n
(2)bn
1)n1
an,an
bn
n1
3n1
Tnb1b2bn
∴Tn
n
①
n2
3Tn
31
32
②
①-②得2Tn
11
2n
20.解:
(1)由题意知y
30)w
3(w
3)x
30
18
∴y
(0
x5).
(2)∵y
1(x
36)
33
1[(x3)
36
]
3)
27.
当且仅当x3时,上式取“”
∴当x
3时,ymax
答:
当推广促销费投入
3万元时,利润最大,最大利润为
27万元.
21.
(1)法一:
∵AB
AC,D为BC的中点,
∴AD
BC,
∵PO平面ABC,
∴POBC,
∵垂足O落在线段AD上,
∴BC平面PAD,
∴APBC.
法二:
如图,以O为原点,分别以过O点与DB共线同向的向量,OD,OP方向上的单位
向量为单位正交基建立空间直角坐标系Oxyz,则
O(0,0,0),A(0,2,0),B(2,1,0),C(2,1,0),P(0,0,3),
AP(0,2,3),BC(4,0,0),AC(2,3,0)
∴APBC0
∴APBC
(2)假设M点存在,设AMAP,M(x,y,z),则AM(x,y2,z),
∴(x,y2,z)(0,2,3),
2,
z
∴M(0,2
2,3
),
∴BM
2,2
3,3
设平面MBC的法向量为n1
(x1,y1,z1),平面APC的法向量为n2
(x2,y2,z2)
由
n1
BM0
2x1
(2
3)y1
3z1
得
4x1
令y1
1,可得n1
(0,1,3
n2
AC
2x2
3y2
2y2
3z2
AP
6,可得n2(9,6,
4),
若二面角A
MC
B为直二面角,则n1
0,得6
432
解得
6
,∴AM
13
故线段AP上是否存在一点
M,满足题意,AM的长为613.
22.
解:
因为|AD|
|AC|,EB//AC
故
EBD
ACD
ADC,所以|EB||ED|,
故|EA||EB||EA|
|ED||AD|,
又圆A的标准方程为(x
2)2
36,从而|AD|
由椭圆定义可得点
E的轨迹方程为
1(y0).
l
与x
轴不垂直时,设
的方程为
yk(x2)(k0)
M(x1,y1),N(x2,y2)
()当直线
1得(9k2
5)x2
36k2x36k2
450,
由9
k(x
2)
36k
45
则x1x2
x1x2
9k
所以|MN|1k2|x1x2|1k2
(x1x2)2
4x1x2
36k2
30(k2
9k2
O到直线MN距离为d,则d
2|k|
1k2
则SOMN
1|MN|d
|k|
30(k2
30k2(k2
(9k2
5)2
令t9k2
5,则t
(5,
则k2(k2
t2
t20
20[
(1)2
1]
5)2
81t2
81
t
20t
20
20[(1
1)2
],1
(0,1),
40
1600
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