举一反三数学Word文档格式.docx
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1,在解此题时,运用了旋转的思想,即当有相邻两条边相等时,通常用旋转的方法将分散的三条线段(PA、PB、PC)放到一个三角形中去,这样有利于观察,当然,此题也可以将△ABP以点B为圆心,顺时针旋转60º
来解答;
2,此题也可设计成求∠APC的度数,或求∠APB的度数,只是要旋转的三角形要以点A为圆心,读者可试一试;
3,运用了直角三角形中特殊角(30º
,60º
)与边长之间的关系,求得∠APB=90º
,从而能直接求出边长。
如果不能使∠APB=90º
,我们还能求出△ABC的边长吗?
【推广1】如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=5,PB=4,PC=3。
【解析】∠BPC=150º
,解法和原题1一样;
但∠APB不再是90º
了,所以要用其他办法来求△ABC的边长。
我们用面积法来解决这个问题。
设一个正三角形的边长为a,则其面积S与边长的等量关系为:
S=√3a²
/4。
如图1-1①,
设S为△ABC的面积,S1为△BPC的面积,S2为△ABP的面积,设S3为△APC的面积,则:
S1+S2=S△PBD+S△ADP=√3×
4²
÷
4+3×
4÷
2=4√3+6;
同理,将△BPC以点C为圆心,顺时针旋转60º
,如图1-1②,
则:
S1+S3=S△PCE+S△AEP
=√3×
3²
2=9√3/4+6;
将△APC以点A为圆心,顺时针旋转60º
,如图1-1③,
S2+S3=S△PAF+S△BFP
5²
2=25√3/4+6;
将以上三式相加,得:
2(S1+S2+S3)
=(4√3+6)+(9√3/4+6)+(25√3/4+6)
=25√3/2+18
故S=(25√3/2+18)÷
2=25√3/4+9,即
25√3/4+9=√3a²
/4,∴a²
=25+12√3,
∴
如果△ABC
的边长为a,PA,PB,PC的长分别为m,n,p,且m²
=n²
+p²
,那么:
(1)∠BPC=150º
(2)
,利用这一结论,可解决下面的问题。
【推广2】如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA∶PB∶PC=5∶4∶3。
求∠BPC的度数及等边三角形的边长与PA的比。
,解法和【推广1】一样;
设PA=5x,PB=4x,PC=3x,根据【推广1】的研究成果,
【推广3】如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA∶PB∶PC=17∶15∶8,求∠BPC的度数及等边三角形的边长与PB的比。
【解析】因为17,15,8根据【推广1】的结论,∠BPC=150º
根据【推广1】的结论,
【推广4】如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA∶PB∶PC=√x∶√y∶√z,且x=z+y(x,y,z均为正数),求∠BPC的度数及等边三角形的边长与PC的比(用x,y,z的代数式表示)。
【解析】因为(√x)²
=(√y)²
+(√z)²
,所以根据【推广】1的结论,∠BPC=150º
根据【推广2】的结论,
举一反三
(二)
【原题2】如图2,在正方形ABCD内有一点P,且PA=√5,BP=√2,PC=1,求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长。
【解析】如图2-0①,
将△BPC以点B为圆心,逆时针旋转90º
,得到△BEA,连接EP。
则△BEP为等腰直角三角形,
∴EP=√2·
√2=2,
又AE=PC=1,BE=BP=√2,AP=√5,
故△AEP为Rt△,且∠AEP=90º
,
又∠BEP=45º
所以∠BEA=135º
,即∠BPC=135º
过点B作BF⊥AE,与AE的延长线交于点F,则∠FEB=45º
∴FB=FE=EB/√2=1,
在△AFB中,根据勾股定理,
AB²
=AF²
+FB²
=(1+1)²
+1=5,
∴AB=√5。
1,因为正方形有两条相邻边相等,所以在解此题时,运用了旋转的思想,将分散的三条线段(PA、PB、PC)放到一个三角形中去了。
同样,此题也可以将△BPC以点B为圆心,顺时针旋转90º
(如图2-0②)来解答;
2,如果还需求PD的长度,则要将△BPC以点C为圆心,顺时针旋转90º
(如图2-0③)来解答,读者可试一试。
【推广1】如图2,在正方形ABCD内有一点P,且PA=5,BP=3,PC=√7,求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长。
【解析】解法和“原题2”一样,如图2-0①,
EP=3√2,又AE=PC=√7,AP=5,
,所以∠BEA=135º
同样的方法可得:
=
∴AB=
*思考:
还可求得PD=
请读者根据思考2的方法试一试。
【推广2】如图2-1,在正方形ABCD内有一点P,且PA∶PB∶PC=x∶y∶z,且x²
=2y²
+z²
,(x,y,z均为正数),求PD∶CD的值。
【解析】虽然没有要求解出∠BPC的度数和正方形ABCD的边长,但我们仍然要把∠BPC的度数和正方形ABCD的边长先求出来。
思维导图:
(1)如图2-0①,将△BPC以点B为圆心,逆时针旋转90º
则△BEP为等腰直角三角形;
依题意设PA=mx,PB=my,PC=mz,
∴EP=√2my,又AE=PC=mz,
AP=mx,
∵AE²
+EP²
=m²
z²
+2m²
y²
(2y²
),
又x²
∴AE²
x²
=PA²
∴FB=FE=EB/√2=my/√2,在△AFB中,根据勾股定理:
∴
(2)如图2-0③,将△BPC以点C为圆心,顺时针旋转90º
,得到△DEC,连接PE,
根据
(1)的结论,∠DEC=∠BPC=135º
,△PCE为等腰直角三角形,
∴∠PEC=45º
,故∠DEP=90º
PE=√2mz,DE=BP=my,
∴PD²
=(√2mz
)²
+(my)²
即PD=
(3)AB∶PD=
故CD∶PD=
举一反三(三)
原题:
如图1,在等腰Rt△ABC内有一点P,BA=BC=PC=5,PA=√5,求PB的长。
【解析】如图1-1,过点P作PD⊥AB于点D,作PE⊥BC于点E,
设PD=x,PE=y,在△PDA中,根据勾股定理:
+(5-y)²
=(√5)²
……①
在△PCE中,根据勾股定理:
+(5-x)²
=5²
……②
②-①得:
10(y-x)=20,y=x+2
……③
将③代入②:
(x+2)²
=25,
解得:
x1=1,x2=2,代入③得:
y1=3,y2=4;
当x=2,y=4时,AD=1,所以AD<PD,这时点P不在Rt△内部,故舍去。
∴PB²
=x²
+y²
=10,即PB=√10。
1,被舍去的那一对x,y的解虽然导致点P在三角形外部,可是能满足“PA=√5,PC=5”的条件,所以如果将条件改成“点P在某一正方形内部”(见【推广1】),则此解不能舍去;
2,√20,√5,5这三个数满足勾股定理,我们会有怎样的发现?
能否求出∠APB的度数?
3,将此图例放到平面直角坐标系中,相当于求点P的坐标。
【推广1】如图T1,在正方形ABCD内有一点P,BC=PC=5,PA=√5,求PB的长。
【解析】如图T1-1,连接AC,
则此题解题方法和【原题】一致,解得的结果为:
P1B=√10,或P2B=√20。
(详解略)
【推广2】如图T2,在等腰Rt△ABC内有一点P,BA=BC=PC=5,PA=√5,求∠APB的度数。
【解析】第一步,按照【原题】的思路和方法,求出PB=√10;
第二步,将△APB以点B为圆心,顺时针旋转90º
(如图T2-1),
点A和点C重合,得到△CDB,连接PD,则△PBD为等腰直角三角形,PD=√2·
√10=√20,∠BDP=45º
CD=PA=√5,PC=5,
+CD²
=PC²
,即△PCD为直角三角形,∠PDC=90º
,∴∠BDC=90º
+45º
=135º
,即∠APB=135º
【推广3】如图T1,在正方形ABCD内有一点P,
BC=PC=5,PA=√5,求∠APB的度数。
【解析】第一步:
按照【推广1】求出P1B=√10,P2B=√20;
第二步:
如图T3,
按照【推广2】,将△AP1B以点B为圆心,顺时针旋转90º
,点A和点C重合,得到△CFB,连接P1F,求出∠AP1B=135º
第三步:
如图T3,在△AP2B中,AP2=√5,P2B=√20,AB=5,∴AP2²
+P2B²
=AB²
,即△AP2B为直角三角形,∠AP2B=90º
综上所述,∠APB的度数为135º
或90º
【推广4】如图T4,在平面直角坐标系中,直线y=-x+5与y轴和x轴分别交于点A、B,P是平面上一点,使得PA=√5,PB=5。
(1)求点P的坐标;
(2)求∠APO的度数。
【解析】
(1)点A的坐标为(0,5),点B的坐标为(5,0),设点P的坐标为(x,y),根据【原题】中的解析,可知:
(x,y)=(1,3),或(x,y)=(2,4),所以点P的坐标为:
(1,3),或(2,4);
(2)如图T4-1,将△AOB,补全为正方形AOBC,则根据【推广3】的结论,∠APO的度数为135º
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